双正則写像

恒等写像は双正則で、双正則写像の逆写像は定義から双正則である。正則写像の合成は正則だから（正則写像 の「正則写像の連鎖律」）、双正則写像の合成は双正則である。これで同値関係であることと、$\operatorname{Aut}(U)$ が群であることが分かる。正則写像は連続なので $F$ と $F^{-1}$ は連続であり、$F$ は同相写像である。$G:=F^{-1}$ として $G\circ F=\mathrm{id}$ を連鎖律で微分すると $JG(F(a))\,JF(a)=I$ となるので、正方行列 $JF(a)$ は可逆である。$\square$

$f$ を $0$ のまわりで冪級数に展開すると $f(0)=0$ より $f(z)=\sum_{k\geq1}a_kz^k$ である。$g(z):=f(z)/z$（$z\neq0$）、$g(0):=f'(0)=a_1$ とおくと、$g(z)=\sum_{k\geq1}a_kz^{k-1}$ だから $g$ は $\mathbb D$ 上の正則関数である。
$0< r<1$ を固定する。$\lvert z\rvert=r$ では $\lvert f(z)\rvert<1$ なので $\lvert g(z)\rvert<1/r$ である。最大値原理（開写像定理(複素解析) の「正則関数の最大値原理」）により、閉円板 $\lvert z\rvert\leq r$ 上でも $\lvert g(z)\rvert\leq1/r$ である。任意の $z\in\mathbb D$ について、$\lvert z\rvert\leq r<1$ となる $r$ で上の不等式を使い $r\to1$ とすれば $\lvert g(z)\rvert\leq1$ を得る。これは $\lvert f(z)\rvert\leq\lvert z\rvert$ と $\lvert f'(0)\rvert=\lvert g(0)\rvert\leq1$ を意味する。
等号の場合、$\lvert g\rvert$ は $\mathbb D$ の内部の点（$z_0$ または $0$）で最大値 $1$ をとる。最大値原理により $g$ は定数 $c$ で、$\lvert c\rvert=1$、$f(z)=cz$ となる。$\square$

この形の写像が $\mathbb D$ の自己同型であることは、Möbius変換 の例「単位円板の自己同型」で確かめられている（$\mathbb D$ を $\mathbb D$ の上に移す全単射で、逆写像も同じ形なので正則である）。
逆に $f\in\operatorname{Aut}(\mathbb D)$ とする。まず $f(0)=0$ の場合を考える。$f$ と $f^{-1}$ はどちらも $\mathbb D$ から $\mathbb D$ への正則写像で原点を固定するから、lem-bh-schwarz を両方に使うと、すべての $z\in\mathbb D$ について
$$ \lvert f(z)\rvert\leq\lvert z\rvert,\qquad \lvert z\rvert=\lvert f^{-1}(f(z))\rvert\leq\lvert f(z)\rvert $$
である。よって $\lvert f(z)\rvert=\lvert z\rvert$ がすべての $z$ で成り立ち、等号の場合により $f(z)=cz$、$\lvert c\rvert=1$ となる。$c=e^{i\theta}$ と書けば回転である。
一般の場合、$a:=f^{-1}(0)\in\mathbb D$ とし、$\varphi_a(z):=\dfrac{z-a}{1-\bar az}$ とおく。前半により $\varphi_a\in\operatorname{Aut}(\mathbb D)$ で $\varphi_a(a)=0$ である。$h:=f\circ\varphi_a^{-1}$ は自己同型の合成なので自己同型で（prop-bh-group）、$h(0)=f(a)=0$ を満たす。前段により $h(w)=e^{i\theta}w$ であり、$f=h\circ\varphi_a$ は $f(z)=e^{i\theta}\varphi_a(z)$ の形になる。$\square$

$f\colon\mathbb C\to\mathbb D$ が正則なら、$f$ は $\lvert f\rvert<1$ を満たす有界な整関数なので、Liouvilleの定理(複素解析) により定数である。定数写像は全単射でないから、双正則写像ではない。$\square$

この形の写像は逆写像 $w\mapsto(w-\beta)/\alpha$ をもつ自己同型である。逆に $f\in\operatorname{Aut}(\mathbb C)$ とする。
$f$ は多項式である。 $f$ は定数でないので、開写像定理(複素解析) により $f(\mathbb D)$ は開集合であり、ある開円板 $B(w,\varepsilon)$ を含む。$f$ は単射なので、$\lvert z\rvert>1$ のとき $f(z)\notin f(\mathbb D)$、特に $\lvert f(z)-w\rvert\geq\varepsilon$ である。そこで $0<\lvert\zeta\rvert<1$ で $h(\zeta):=1/\bigl(f(1/\zeta)-w\bigr)$ とおくと、$h$ は正則で $\lvert h\rvert\leq1/\varepsilon$ である。有界なので $h$ は $\zeta=0$ で正則に延長される（Riemannの拡張定理）。$h$ は恒等的に $0$ ではないから、$h(\zeta)=\zeta^m u(\zeta)$（$m\geq0$、$u(0)\neq0$）と書ける。$0$ の近くで $\lvert u\rvert\geq\lvert u(0)\rvert/2$ だから、十分大きい $\lvert z\rvert$ について
$$ \lvert f(z)-w\rvert=\frac{1}{\lvert h(1/z)\rvert}\leq\frac{2}{\lvert u(0)\rvert}\lvert z\rvert^{m} $$
となる。ある $R$ 以上の $\lvert z\rvert$ でこの評価が成り立ち、$\lvert z\rvert\leq R$ では連続関数 $\lvert f\rvert$ は有界なので、定数 $A,B$ によって $\lvert f(z)\rvert\leq A+B\lvert z\rvert^m$ がすべての $z$ で成り立つ。このように多項式程度にしか増大しない整関数は多項式なので（Liouvilleの定理(複素解析) の「多項式増大の整関数」）、$f$ は多項式である。
次数は 1 である。 次数 $0$ なら定数で単射でない。次数が $2$ 以上なら、代数学の基本定理により $f'$ は零点 $z_1$ をもつ。単射な正則関数の導関数は $0$ にならないので（前節）、これは矛盾である。よって $f(z)=\alpha z+\beta$、$\alpha\neq0$ である。$\square$