p階数とFrobeniusの安定階数

像の列 $V\supset FV\supset F^2V\supset\cdots$ の次元は減少する。一度 $F^mV=F^{m+1}V$ となれば、その先も同じ像になる。各段で真に減るなら次元は少なくとも $1$ 減るので、遅くとも $d$ 回で安定する。従って $S=F^dV$。$F|_S$ は全射であり、スカラーを Frobenius で捻った線形写像としては同次元間の全射なので単射でもある。固定元 $v$ は全 $m$ で $v=F^m(v)$ を満たすため $S$ に入る。
$r=\dim_kS$ とする。$r=0$ なら固定空間も零で、結論は従う。以下 $r>0$ とし、基底に関して $F|_S(x)=Bx^{(p)}$、$B\in\mathrm{GL}_r(k)$ と書く。固定点の座標環は
$$ C=k[x_1,\ldots,x_r]\Big/ \left(x_i^p-\sum_j(B^{-1})_{ij}x_j\right)_{i=1}^r $$
である。この代数の $k$ 次元は $p^r$ となる。実際、次数優先の単項式順序では各関係式の先頭単項式は $x_i^p$ であり、これらは相互に素である。二つの関係式の先頭項を消去した式は、残る $x_i^p$ を対応する線形式に置き換えると、その線形式の積の差となり零に帰着する。従って関係式は Gröbner 基底であり、$0\le e_i< p$ を満たす単項式 $x_1^{e_1}\cdots x_r^{e_r}$ が商の基底となる。
もとの方程式 $Bx^{(p)}-x=0$ の Jacobian は $-I$ で、全点で可逆である。従って $C$ は有限エタール $k$ 代数。代数閉体上では $p^r$ 個の相異なる点からなり、固定元はちょうど $p^r$ 個ある。固定元全体 $W$ は加法と $\mathbb F_p$ 倍で閉じるから、$\dim_{\mathbb F_p}W=r$ となる。
最後に、$W$ の $\mathbb F_p$ 上独立な元は $k$ 上も独立であることを示す。そうでなければ、最小個数の元による非自明な $k$ 線形関係を選び、一つの係数を $1$ にする。$F$ を作用させた関係から元の関係を引けば、係数 $1$ の項が消えて、より少数の元の関係になる。最小性により他の全係数 $a$ は $a^p-a=0$、すなわち $\mathbb F_p$ に属する。これは元の $\mathbb F_p$ 独立性と矛盾する。従って $W$ の基底は $S$ の $k$ 基底でもあり、主張を得る。$\square$

Artin–Schreier の注入。 エタールサイト上の完全列
$$ 0\longrightarrow\mathbb F_p\longrightarrow\mathcal O_A \xrightarrow{F-1}\mathcal O_A\longrightarrow0 $$
を使う。核が局所定数 $\mathbb F_p$ になることは、$T^p-T$ が相異なる $p$ 個の根に分解することから分かる。任意の局所切断 $a$ に対して、$T^p-T-a$ を添加する代数はモニックな次数 $p$ 多項式の商であり自由階数 $p$、微分が $-1$ なのでエタールである。全ファイバーが非空なので被覆となり、その上で $a$ は $F-1$ の像になる。これで層としての全射性も分かる（StkAS）。
$A$ は固有で幾何的に連結なので $H^0(A,\mathcal O_A)=k$。代数閉体上では $a\mapsto a^p-a$ は全射である。長完全列と、準連接層の通常コホモロジー・エタールコホモロジーの自然比較（StkQC）から、引き戻しと可換な注入
$$ j_A\colon H^1_{\mathrm{\acute et}}(A,\mathbb F_p) \hookrightarrow H^1(A,\mathcal O_A) $$
を得る。その像はちょうど $F=1$ の固定部分である。この同型は $\mathbb F_p$ 線形であり、$k$ 線形とはいわない。
足し算の作用。 $m\colon A\times A\to A$ を群の足し算とする。体上のコヒーレント Künneth 公式（StkKun）は、両射影による自然な同型
$$ H^1(A\times A,\mathcal O) =\operatorname{pr}_1^*H^1(A,\mathcal O_A) \oplus\operatorname{pr}_2^*H^1(A,\mathcal O_A) $$
を与える。必要な次数1の計算を記す。有限アフィン被覆を取り、分離性によりその有限交叉もアフィンとする。積に対する二重 Čech 解像度の各項は、二つの切断代数の $k$ テンソル積になる。体上の複体は境界・コホモロジーの代表・補空間に分裂するので、そのテンソル積のコホモロジーは $\bigoplus_{i+j=1}H^i\otimes H^j$ となる。$H^0(A,\mathcal O_A)=k$ だから上の直和を得る。通常の積被覆の Čech 複体そのものを、単純にテンソル積と同一視してはいない。
二つの軸 $a\mapsto(a,0)$、$a\mapsto(0,a)$ への制限が、この直和の逆写像になる。両軸に沿って $m$ は恒等写像なので、任意の $\xi\in H^1(A,\mathcal O_A)$ に対して
$$ m^*\xi=\operatorname{pr}_1^*\xi+\operatorname{pr}_2^*\xi. $$
$r$ 回の足し算を対角写像と合成すると、全整数 $r\ge1$ について $[r]^*\xi=r\xi$ を得る。特に $[p]^*=0$。先の $j_A$ の自然性と単射性から、$[p]^*$ は $H^1_{\mathrm{\acute et}}(A,\mathbb F_p)$ 上でも零になる。
$p$ 倍写像に沿う降下。 $q=[p]\colon A\to A$ と置き、$G=A[p]$ とする。整数倍写像が有限平坦全射であることを使う（Mil86b §8、pp. 115–116、アーベル多様体 の定理「$n$ 倍写像と捩れ点」）。したがって $q$ は一つの忠実平坦かつ準コンパクトな被覆、すなわち fpqc 被覆である。
さらに、二重の重なりは
$$ G\times A\xrightarrow{\sim}A\times_{q,A,q}A, \qquad(g,a)\longmapsto(a,a+g) $$
と書ける。逆は $(a,b)\mapsto(b-a,a)$ であり、任意の試験スキームの点について成立する。これは $q$ が $G$ の torsor であることを意味する。ここで $G$ は非被約でもよく、$q$ がエタールであることは要求していない。
任意の $\mathbb F_p$-torsor $T\to A$ を取る。$q^*=0$ なので、引き戻し $q^*T$ は作用付きで $A\times\mathbb F_p$ と自明化できる。この自明化を一つ選ぶと、二重の重なり $G\times A$ 上での二つの表示の違いは $\mathbb F_p$ の平行移動であり、あるスキーム射
$$ c\colon G\times A\longrightarrow\mathbb F_p $$
で表せる。標的は離散的な $p$ 個の点なので、この射は局所定数である。
代数閉体上の有限スキーム $G$ の各連結成分 $G_s$ は、唯一の $k$ 点を持つ有限局所スキームである。$G_s\times A$ は $A$ の冪零肥厚と同じ台を持つので連結である。従って $c$ は各 $G_s\times A$ 上で定数となり、$A$ 因子に依存しない。一意な射 $\chi\colon G\to\mathbb F_p$ によって $c(g,a)=\chi(g)$ と書ける。
三重の重なりで、自明化の変換を二回行うのと一回で行うのとが一致する条件は
$$ c(g+h,a)=c(g,a)+c(h,a+g) $$
である。これは $\chi(g+h)=\chi(g)+\chi(h)$ を意味するから、$\chi$ は群スキーム準同型になる。自明化を変えた場合の違いは射 $A\to\mathbb F_p$ だが、$A$ は連結なので定数である。その余境界は零となり、$\chi$ は選んだ自明化によらない。
逆に任意の群スキーム準同型 $\chi\colon G\to\mathbb F_p$ から、$A\times\mathbb F_p$ の重なり上の変換を
$$ (g,a,u)\longmapsto(a+g,u+\chi(g)) $$
と定める。$\chi$ の加法性が三重の重なりでの整合条件である。有限エタール代数の忠実平坦降下の有効性により、このデータは $A$ 上の有限エタール射 $T\to A$ へ降下する。$\mathbb F_p$ 作用と torsor の同型も降下し、$q^*T$ は元の自明 torsor となる。二つの構成は互いに逆であり、torsor の和は $\chi$ の加法に対応する。これで
$$ H^1_{\mathrm{\acute et}}(A,\mathbb F_p) \cong\operatorname{Hom}_{k\text{-grp}}(G,\mathbb F_p) $$
を得る。
この降下で使う対象は、基底 $A$ 上で相対的にアフィンな有限エタール射に限る。アフィン射の fpqc 降下が有効であることに加え、有限性とエタール性が fpqc 基底局所であることを使った（StkDes、StkFin、StkEt）。$A$ 自身がアフィンである必要はなく、一般の全スキームの降下が無条件に有効だとも主張していない。
点群を数える。 離散標的 $\mathbb F_p$ への射は、$G$ の各連結成分で定数である。従って群スキーム準同型は群準同型 $G(k)\to\mathbb F_p$ を与える。逆にそのような点群の準同型を各成分の定数値として定めれば、スキーム射になる。二つの成分の積も連結であり、その像の成分は点の和で決まるので、群法も保つ。従って
$$ \operatorname{Hom}_{k\text{-grp}}(G,\mathbb F_p) \cong\operatorname{Hom}_{\mathbb F_p}(G(k),\mathbb F_p). $$
$G(k)$ の $\mathbb F_p$ 次元が $f(A)$ だから、その線形双対も次元 $f(A)$。先の Artin–Schreier の同型と合わせれば命題が従う。$\square$

まず $k$ が代数閉体なら、幾何的固定部分の命題と半線形固定基底の命題によって
$$ f(A)=\dim_{\mathbb F_p}H^1(A,\mathcal O_A)^{F=1} =\dim_kF^dH^1(A,\mathcal O_A). $$
一般の完全体 $k$ については、代数閉包 $K$ へ底変換する。準連接層の平坦底変換（StkBC）により
$$ H^1(A_K,\mathcal O_{A_K})\cong H^1(A,\mathcal O_A)\otimes_kK. $$
この比較は有限アフィン Čech 複体を $K$ とテンソルし、平坦性によりコホモロジーと交換して得られる自然な写像である。絶対 Frobenius の作用も $v\otimes a\mapsto F(v)\otimes a^p$ に対応する。従って反復行列の階数は変わらない。幾何 $p$ 階数はもともと $A_K[p](K)$ で定義したので、代数閉体の場合の等式を $A_K$ に適用すればよい。行列積の式は先の反復計算から従う。$\square$