Noether–Castelnuovoの定理
概要
Noether–Castelnuovoの定理（Noether–Castelnuovo theorem）とは、複素射影平面の双有理自己写像の群（平面 Cremona 群）が、射影変換の群 $PGL_3(\mathbb{C})$ と標準 2 次変換 $[x:y:z]\mapsto[yz:zx:xy]$ で生成されるという定理である。証明の基本は、重複度の大きい 3 つの基点で 2 次変換を合成して次数を下げることにあり、それらの基点が無限に近い点や一直線上の点になる場合の扱いが要点になる。3 次元以上の射影空間では同じ形の定理は成り立たない。
Noether–Castelnuovo の定理（Noether–Castelnuovo theorem）は、複素射影平面の双有理自己写像（平面 Cremona 変換）がすべて、射影変換と標準 2 次変換
$$
\sigma\colon[x:y:z]\longmapsto[yz:zx:xy]
$$
の合成で書けることを述べる定理である。M. Noether が 19 世紀の終わりに主張し、最初の完全な証明は G. Castelnuovo（1901 年）による。
平面 Cremona 群は射影変換の群 $PGL_3(\mathbb C)$ よりはるかに大きく、どの次数の変換も現れる（Cremona変換 の例「射影変換でない Cremona 変換」）。定理は、その巨大な群がたった 1 つの非線形な変換 $\sigma$ と線形な変換とで生成されることを主張する。Noether の考えは、うまく選んだ 2 次変換を合成して次数を 1 ずつでも下げていけば、最後は次数 $1$、すなわち射影変換に至る、というものであった。この記事では、次数を下げる仕組みを完全に証明し、それだけでは足りない場合があることを例で示す。
| 問い | 答え |
|---|---|
| 何を主張するか | $\operatorname{Bir}(\mathbb P^2_{\mathbb C})=\langle PGL_3(\mathbb C),\sigma\rangle$（thm-nct-main。この記事では証明しない） |
| 2 次の変換は | 3 点を通る 2 次曲線で与えられる変換は $A\circ\sigma\circ B$ の形（prop-nct-quadratic） |
| 次数はどう下がるか | $\sigma$ と合成すると、次数 $d$ は $2d$ から 3 つの座標点での重複度の和を引いた値以下になる（lem-nct-degree） |
| なぜ下がるのか | 重複度の大きい 3 つの和は次数より大きい（Noether の不等式、lem-nct-inequality） |
| 何が難しいか | 重複度の大きい点が無限に近い点や一直線上の点になる場合（ex-nct-tau） |
| 高次元では | 同じ形の定理は成り立たない（ex-nct-counter） |
定義
この記事では、とくに断らない限り基礎体を $\mathbb C$ とし、$\mathbb P^2$ の斉次座標を $[x:y:z]$ とする。Cremona 変換・Cremona 群 $\operatorname{Bir}(\mathbb P^2)$・標準 2 次変換 $\sigma$ は Cremona変換 の定義のとおりとする。
既約な表示と次数．有理写像 $f\colon\mathbb P^2\dashrightarrow\mathbb P^2$ は、同じ次数 $d$ の斉次多項式 $F_0,F_1,F_2$ で共通因子をもたないものを使って $f=[F_0:F_1:F_2]$ と書ける。この表示は定数倍を除いて一意である。実際、$[F_0:F_1:F_2]=[G_0:G_1:G_2]$ で両方が共通因子をもたなければ、$F_iG_j=F_jG_i$ がすべての $i,j$ で成り立ち、多項式環の素元分解の一意性から各 $F_i$ が $G_i$ を割り、逆も成り立つので、$G=cF$（$c\in\mathbb C^\times$）である。この $d$ を $f$ の次数といい、$\deg f$ と書く。
重複度と基点．点 $p\in\mathbb P^2$ に対し、$F_0,F_1,F_2$ の $p$ での重複度（点の重複度）の最小値を $m_p(f)$ と書き、$f$ の $p$ での重複度という。これは一般の $\lambda\in\mathbb C^3$ に対する曲線 $\lambda_0F_0+\lambda_1F_1+\lambda_2F_2=0$ の $p$ での重複度に等しい。$m_p(f)\ge1$、すなわち $F_0,F_1,F_2$ がすべて $p$ で $0$ になる点を $f$ の（$\mathbb P^2$ の点としての）基点という。$f$ を射に延ばすためにブローアップが必要な点として、基点の上に「無限に近い基点」も現れ、それにも重複度が定まる（Des20 §1.3, pp. 10–11）。
$\operatorname{Bir}(\mathbb P^2)$ の中で $PGL_3(\mathbb C)=\operatorname{Aut}(\mathbb P^2)$ と $\sigma$ が生成する部分群を $\langle PGL_3,\sigma\rangle$ と書く。その元は、射影変換 $A_0,\dots,A_r$ によって $A_r\circ\sigma\circ A_{r-1}\circ\dots\circ\sigma\circ A_0$ と書ける Cremona 変換である。
主定理
平面 Cremona 群 $\operatorname{Bir}(\mathbb P^2_{\mathbb C})$ は $PGL_3(\mathbb C)$ と標準 2 次変換 $\sigma$ で生成される。すなわち $\operatorname{Bir}(\mathbb P^2_{\mathbb C})=\langle PGL_3,\sigma\rangle$ である。
以下では、定理の証明の基本的な道具を記事の中で証明する。
次数 1 と次数 2
Cremona 変換 $f$ について、$\deg f=1$ であることと $f\in PGL_3(\mathbb C)$ であることは同値である。
射影変換は正則な $3\times3$ 行列による 1 次式で書けるので次数 $1$ である。逆に $f=[F_0:F_1:F_2]$ が 1 次式で与えられるとき、$F_i=\sum_ja_{ij}x_j$ と書く。行列 $(a_{ij})$ が正則でなければ、ある $\mu\ne0$ について $\sum_i\mu_iF_i=0$ となり、$f$ の像は直線 $\{\sum\mu_iX_i=0\}$ に含まれて支配的でなく、双有理写像でありえない。よって $(a_{ij})$ は正則で、$f$ は射影変換である。$\square$
$Q_0,Q_1,Q_2$ を 2 次の斉次多項式で、共通因子をもたず、$\mathbb C$ 上 1 次独立であり、相異なる 3 点 $p_1,p_2,p_3$ でそろって $0$ になるものとする。このとき $p_1,p_2,p_3$ は一直線上になく、射影変換 $A,B$ によって
$$
[Q_0:Q_1:Q_2]=A\circ\sigma\circ B
$$
と書ける。とくに $[Q_0:Q_1:Q_2]$ は Cremona 変換で、$\langle PGL_3,\sigma\rangle$ に属する。
一直線上にない．3 点が直線 $\ell$ の上にあるとする。$Q_i$ を $\ell$ に制限すると、$\ell\cong\mathbb P^1$ 上の 2 次形式が 3 点で $0$ になるので恒等的に $0$ であり、$\ell$ の 1 次式 $L$ がすべての $Q_i$ を割る。これは共通因子をもたないという仮定に反する。
座標点に移す．一直線上にない 3 点は射影変換で座標点 $e_1=[1:0:0]$、$e_2=[0:1:0]$、$e_3=[0:0:1]$ に移せるので、$B(p_i)=e_i$ となる $B\in PGL_3$ をとる。$Q_i':=Q_i\circ B^{-1}$ は $e_1,e_2,e_3$ で $0$ になる 2 次形式である。2 次形式 $ax^2+by^2+cz^2+uyz+vzx+wxy$ が $e_1,e_2,e_3$ で $0$ になることは $a=b=c=0$ と同値なので、各 $Q_i'$ は $yz,zx,xy$ の 1 次結合である：$Q_i'=\sum_ja_{ij}M_j$、$(M_1,M_2,M_3)=(yz,zx,xy)$。$Q_i$ が 1 次独立なので $Q_i'$ も 1 次独立で、行列 $(a_{ij})$ は正則である。その行列が定める射影変換を $A$ とすれば $[Q_0':Q_1':Q_2']=A\circ\sigma$、すなわち $[Q_0:Q_1:Q_2]=A\circ\sigma\circ B$ である。$\sigma$ は Cremona 変換なので（Cremona変換 の定義「標準 2 次変換」のあとの説明）、合成も Cremona 変換である。$\square$
次数を下げる仕組み
$f=[F_0:F_1:F_2]$ を次数 $d$ の Cremona 変換とし、座標点 $e_1,e_2,e_3$ での重複度を $m_i:=m_{e_i}(f)$ とする。このとき
$$
\deg(f\circ\sigma)\le 2d-m_1-m_2-m_3
$$
である。
$\sigma$ は $U=\{xyz\ne0\}$ を $U$ に写すので、$f\circ\sigma$ は $[F_0(yz,zx,xy):F_1(yz,zx,xy):F_2(yz,zx,xy)]$ で表され、これらは $2d$ 次の斉次多項式である（$\sigma$ は支配的なので、すべてが恒等的に $0$ にはならない）。
$F:=F_i$ とし、$F$ を $x$ の冪で展開して $F=\sum_{j=0}^dx^{d-j}G_j(y,z)$（$G_j$ は $y,z$ の $j$ 次斉次式）と書く。$e_1$ を原点とするアフィン座標 $(y/x,z/x)$ で見ると、$F$ の $e_1$ での重複度が $m_1$ 以上であることは $j< m_1$ のとき $G_j=0$ であることと同値である。代入すると
$$
F(yz,zx,xy)=\sum_{j\ge m_1}(yz)^{d-j}\,G_j(zx,xy)=\sum_{j\ge m_1}(yz)^{d-j}x^jG_j(z,y)
$$
となり、各項は $x^{m_1}$ で割り切れる。座標の置換により、$F(yz,zx,xy)$ は $y^{m_2}$、$z^{m_3}$ でも割り切れる。よって 3 つの成分はすべて $x^{m_1}y^{m_2}z^{m_3}$ で割り切れ、それで割った $2d-m_1-m_2-m_3$ 次の多項式で $f\circ\sigma$ が表される。共通因子をさらに除けば次数はさらに下がりうるので、不等式が成り立つ。$\square$
次数 $d\ge2$ の Cremona 変換について、基点（無限に近い基点を含む）を $p_1,\dots,p_k$、重複度を $m_1\ge m_2\ge\dots\ge m_k\ge1$ とすると、
$$
\sum_{i=1}^km_i=3(d-1),\qquad \sum_{i=1}^km_i^2=d^2-1
$$
が成り立つ（Des20 §1.3, pp. 10–11。基点をブローアップした曲面の上で、一般の直線の逆像の自己交点数が $1$、標準因子との交点数が $-3$ であることから従う。この記事では証明しない）。また各 $m_i$ は $d-1$ 以下である（Des20 Remarks 4.12, p. 75）。
$d\ge2$ とし、整数 $m_1\ge m_2\ge\dots\ge m_k\ge0$（$k\ge3$）が $m_1\le d-1$、$\sum_im_i=3(d-1)$、$\sum_im_i^2=d^2-1$ をみたすとする。このとき
$$
m_1+m_2+m_3\ge d+1
$$
である。
$i\ge3$ では $m_i\le m_3$ なので $m_i(m_3-m_i)\ge0$ である。よって
$$
m_3\sum_im_i-\sum_im_i^2=\sum_im_i(m_3-m_i)\ge m_1(m_3-m_1)+m_2(m_3-m_2)
$$
である。左辺は $3(d-1)m_3-(d^2-1)=(d-1)(3m_3-d-1)$ である。右辺は、$m_1-m_3\ge0$、$m_2-m_3\ge0$ と $m_1,m_2\le d-1$ から
$$
-m_1(m_1-m_3)-m_2(m_2-m_3)\ge-(d-1)(m_1-m_3)-(d-1)(m_2-m_3)
$$
で下から抑えられる。合わせて $(d-1)(3m_3-d-1)\ge-(d-1)(m_1+m_2-2m_3)$ であり、$d-1>0$ で割ると $3m_3-d-1\ge-m_1-m_2+2m_3$、すなわち $m_1+m_2+m_3\ge d+1$ である。$\square$
基点が 3 個未満の場合も、足りない $m_i$ を $0$ とおけば補題はそのまま当てはまる。ただし実際にはそうはならない：基点が 2 個以下なら $m_1+m_2\le2(d-1)< 3(d-1)$ で、最初の等式に反する。
$f$ を次数 $d\ge2$ の Cremona 変換とし、重複度が最大の 3 つの基点 $p_1,p_2,p_3$（重複度 $m_1\ge m_2\ge m_3$、残りの基点の重複度は $m_3$ 以下）が $\mathbb P^2$ の点で、一直線上にないとする。このとき射影変換 $A$ を $A(e_i)=p_i$ となるようにとると、
$$
\deg(f\circ A\circ\sigma)\le d-1
$$
である。
$f\circ A$ は次数 $d$ の Cremona 変換で、その $e_i$ での重複度は $f$ の $p_i=A(e_i)$ での重複度 $m_i$ に等しい（射影変換は点の重複度を保つ）。lem-nct-degree により $\deg(f\circ A\circ\sigma)\le2d-(m_1+m_2+m_3)$ であり、上に引用した 2 つの等式と $m_1\le d-1$ により lem-nct-inequality が当てはまって $m_1+m_2+m_3\ge d+1$ である。よって次数は $d-1$ 以下である。$\square$
もし prop-nct-step の仮定がいつも成り立てば、次数についての帰納法と prop-nct-degree-one により、どの Cremona 変換も $\langle PGL_3,\sigma\rangle$ に属することになる。これが Noether の議論である。ところが、重複度の大きい点が無限に近い点であったり、一直線上に並んだりして、仮定が成り立たない変換がある（ex-nct-tau）。Alexander の証明は、そのような場合にも「複雑さ」を表す別の整数が下がるように 2 次変換を選べることを示して、この隙間を埋める（Des20 §4.1, pp. 74–）。
例
$\tau(a,b):=(a,\,b+a^2)$（$a=x/z$、$b=y/z$）は $\mathbb A^2$ の自己同型で、逆は $(a,b-a^2)$ なので Cremona 変換である。斉次座標では
$$
\tau=[xz:\ yz+x^2:\ z^2]
$$
と書ける。
- 既約な表示で次数 $2$．共通因子は $z^2$ を割るので $z$ に限られるが、$z$ は $yz+x^2$ を割らない。よってこの表示は共通因子をもたず、$\deg\tau=2$ である。とくに prop-nct-degree-one により $\tau$ は射影変換ではない。
- 基点は 1 点．$xz=yz+x^2=z^2=0$ から $z=0$、$x=0$ で、基点は $[0:1:0]$ だけである。
- $A\circ\sigma\circ B$ の形ではない．$A\circ\sigma\circ B$ の既約な表示は $A\cdot(M_1,M_2,M_3)\circ B$（$M=(yz,zx,xy)$）で、共通因子をもたない（$yz,zx,xy$ は共通因子をもたず、正則な行列で 1 次結合をとっても共通因子は変わらない）。その基点は $B^{-1}(e_1),B^{-1}(e_2),B^{-1}(e_3)$ の 3 点である。既約な表示は定数倍を除いて一意なので、基点の集合は変換だけで決まり、1 点しか基点をもたない $\tau$ は $A\circ\sigma\circ B$ の形にならない。
したがって $\tau$ には prop-nct-step の仮定が当てはまらず、1 回の 2 次変換で次数を下げることはできない（重複度の等式の 3 つの基点 $m_1=m_2=m_3=1$ のうち 2 つは無限に近い点である）。それでも thm-nct-main により、$\tau$ は射影変換と $\sigma$ の何回かの合成で書ける。同じ現象は 3 次の変換 $[y^3-xz^2:yz^2:z^3]$ でも起こり、Déserti はこれを Noether の議論が通らない例として挙げている（Des20 p. 71）。
$p_1=e_1=[1:0:0]$、$p_2=e_2=[0:1:0]$、$p_3=[1:1:1]$ を通る 2 次曲線を考える。$e_1,e_2$ で $0$ になる 2 次形式は $cz^2+uyz+vzx+wxy$ の形で、さらに $p_3$ で $0$ になる条件は $c+u+v+w=0$ なので、3 点を通る 2 次形式の空間は 3 次元である。基底
$$
Q_0=yz-z^2,\qquad Q_1=zx-z^2,\qquad Q_2=xy-z^2
$$
をとる。共通因子は $Q_0=z(y-z)$ と $Q_1=z(x-z)$ の共通因子 $z$ に限られるが、$z$ は $Q_2$ を割らないので、共通因子はない。prop-nct-quadratic により $[Q_0:Q_1:Q_2]$ は $A\circ\sigma\circ B$ の形の Cremona 変換である。具体的には、$e_1,e_2$ を動かさず $e_3$ を $p_3$ に移す射影変換 $C\colon[x:y:z]\mapsto[x+z:y+z:z]$ について
$$
Q_0\circ C=yz,\qquad Q_1\circ C=zx,\qquad Q_2\circ C=xy+zx+yz
$$
なので、$[Q_0:Q_1:Q_2]\circ C=A\circ\sigma$（$A\colon[X:Y:Z]\mapsto[X:Y:X+Y+Z]$）、すなわち $B=C^{-1}$ として $[Q_0:Q_1:Q_2]=A\circ\sigma\circ B$ である。
反例：条件を外すと
| 外す条件・誤解 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 生成系から $\sigma$ を外す | $\tau=[xz:yz+x^2:z^2]$（ex-nct-tau） | $PGL_3(\mathbb C)$ だけでは生成されない |
| 次元 $2$ を $3$ に替える | $\operatorname{Bir}(\mathbb P^3_{\mathbb C})$ | $PGL_4(\mathbb C)$ と 1 つの変換では生成されない |
| 誤解「2 次の Cremona 変換はすべて $A\circ\sigma\circ B$」 | $\tau$ | 次数 $2$ だが $A\circ\sigma\circ B$ の形でない |
1 行目．$PGL_3(\mathbb C)$ の元の合成は射影変換で次数 $1$ だが、$\tau$ の次数は $2$ である（ex-nct-tau）。満たす性質は「Cremona 変換」、満たさない性質は「射影変換の合成」であり、破る含意は「Cremona 変換はすべて射影変換」である。
2 行目．$n\ge3$ では、$\operatorname{Bir}(\mathbb P^n_{\mathbb C})$ のどの生成系も、射影変換でない元を非可算個含む（Hudson と Pan の定理。Des20 Theorem 4.35, p. 94。この記事では証明しない）。$PGL_4(\mathbb C)$ に変換を 1 つ（あるいは可算個）加えた集合は、射影変換でない元を可算個しか含まないので、$\operatorname{Bir}(\mathbb P^3_{\mathbb C})$ を生成しない。満たす性質は「射影空間の Cremona 群」、満たさない性質は「射影変換と 1 つの変換で生成される」であり、破る含意は Noether–Castelnuovo の定理を次元 $3$ に広げた主張である。
3 行目．ex-nct-tau の 3 つ目の項目である。prop-nct-quadratic の仮定「3 点でそろって $0$ になる」を、$\tau$ はみたさない。
関連項目
参考文献
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