既約成分

要点：1 は閉集合 $F_i$ を補集合の開集合 $X\setminus F_i$ に取り替えるだけであり、2 は相対位相の閉集合が $Y\cap F$ の形であることから従う。

要点：閉集合 $F$ について $Y\subset F$ と $\overline{Y}\subset F$ は同値なので、lem-irreducible-component-equivalent の 2 の条件は $Y$ と $\overline{Y}$（および間の $W$）で同じになる。3 は、既約成分 $Z$ の閉包が既約で $Z$ を含むので、極大性から $Z=\overline{Z}$ となることによる。

要点：どれも lem-irreducible-component-equivalent の言い換えから直ちに従う。1 は「空でない開集合どうしが交わる」ことが開集合に遺伝すること、2 は閉集合の逆像が閉であること、3 は交わらない空でない開集合がないことによる。

既約な部分集合 $Y$ を固定し、$Y$ を含む既約な部分集合の全体 $\mathcal{S}$ を包含で順序づける。$\mathcal{S}$ は $Y$ を含むので空でない。$\mathcal{S}$ の空でない全順序部分集合（鎖）$\{Z_\alpha\}_{\alpha}$ をとり、$Z:=\bigcup_\alpha Z_\alpha$ とおく。$Z$ が既約であることを示す。$Z\supset Y\neq\emptyset$ である。閉集合 $F_1,F_2$ について $Z\subset F_1\cup F_2$ で、$Z\not\subset F_1$ かつ $Z\not\subset F_2$ であったとする。$Z_\alpha\not\subset F_1$、$Z_\beta\not\subset F_2$ となる $\alpha,\beta$ がある。鎖なので、たとえば $Z_\alpha\subset Z_\beta$ とすると、$Z_\beta\not\subset F_1$ かつ $Z_\beta\not\subset F_2$ であるが、$Z_\beta\subset F_1\cup F_2$ であり、$Z_\beta$ の既約性（lem-irreducible-component-equivalent の 2）に反する。$Z_\beta\subset Z_\alpha$ の場合も同様である。よって $Z\in\mathcal{S}$ は鎖の上界である（空の鎖の上界は $Y$ である）。Zornの補題により $\mathcal{S}$ は極大元 $Z_0$ をもつ。$Z_0\subset W$ となる既約な $W$ は $Y$ を含むので $\mathcal{S}$ に属し、極大性から $W=Z_0$ である。よって $Z_0$ は $Y$ を含む既約成分である。
1 点集合 $\{x\}$ は既約である（空でなく、$\{x\}\subset F_1\cup F_2$ なら $x$ はどちらかの $F_i$ に属する）。したがって各点はある既約成分に属する。$\square$

要点：$Z\cap U$ は既約な $Z$ の空でない開集合なので既約で $Z$ の中で稠密であり、$\overline{Z\cap U}=Z$ となる。この等式と閉包をとる操作が既約性を保つこと（prop-irreducible-component-closure の 1）から、極大性が $X$ と $U$ の間で行き来する。

1. 有限個の既約閉集合の和に書けない空でない閉集合の全体を $\mathcal{F}$ とし、$\mathcal{F}\neq\emptyset$ と仮定する。Noether 性（def-irreducible-component-noetherian-space の後で述べた極小元の存在）により $\mathcal{F}$ は極小元 $F$ をもつ。$F$ は 1 個の既約閉集合の和ではないので既約でなく、空でもないから、$F=F_1\cup F_2$ と真の閉部分集合の和に書ける。$F_i$ が空なら $F$ は他方に等しくなるので、$F_i$ は空でない。極小性から $F_i\notin\mathcal{F}$ なので、$F_1,F_2$ はそれぞれ有限個の既約閉集合の和であり、$F$ もそうなって矛盾する。よって $\mathcal{F}=\emptyset$ である。得られた表示で、他の成員に含まれる $Z_i$ を順に取り除けば、残りの和は変わらず、条件を満たす表示になる。
2. $X=Z_1\cup\cdots\cup Z_n$ をこの条件を満たす表示とする。まず、$X$ の既約な部分集合 $Y$ はある $Z_i$ に含まれる。実際 $Y\subset Z_1\cup(Z_2\cup\cdots\cup Z_n)$ で右辺の 2 つは閉なので、lem-irreducible-component-equivalent の 2 により $Y\subset Z_1$ または $Y\subset Z_2\cup\cdots\cup Z_n$ であり、これを繰り返せばよい。
   各 $Z_i$ が既約成分であることを示す。$Z_i\subset Y$ となる既約な $Y$ は、ある $Z_j$ に含まれるので $Z_i\subset Y\subset Z_j$ であり、条件から $j=i$、したがって $Y=Z_i$ である。逆に既約成分 $Z$ は、ある $Z_i$ に含まれ、$Z_i$ は既約なので極大性から $Z=Z_i$ である。よって $\{Z_1,\dots,Z_n\}$ は既約成分の全体に一致し、表示は既約成分の集合として一意に決まる。最後に、$Z_i\subset\bigcup_{j\neq i}Z_j$ とすると、既約な $Z_i$ はある $Z_j$（$j\neq i$）に含まれることになり、条件に反する。$\square$

$\operatorname{Spec}A$ の閉集合の降鎖 $V(I_1)\supset V(I_2)\supset\cdots$ をとり、$J_m:=\sqrt{I_m}$ とおく。Zariski位相 の記事の命題「イデアルと閉集合の対応」の 1 により、$V(I_{m+1})\subset V(I_m)$ は $I_m\subset\sqrt{I_{m+1}}$、したがって $J_m\subset J_{m+1}$ を意味する。Noether 環のイデアルの昇鎖 $J_1\subset J_2\subset\cdots$ はある番号から先で一定であり、$V(I_m)=V(J_m)$（同命題）なので、閉集合の降鎖も一定になる。後半は prop-irreducible-component-noetherian の 2 と、極小素イデアル の記事の命題「極小素イデアルと既約成分」による。$\square$

1. 既約成分は閉で既約である（prop-irreducible-component-closure の 3）。既約成分は既約閉集合のうち包含について極大なものであり、逆に既約閉集合のうち極大なもの $Z$ は既約成分である（既約な $Y\supset Z$ の閉包 $\overline{Y}$ は既約閉集合（同命題の 1）で $Z$ を含むので $\overline{Y}=Z$、したがって $Y\subset Z$）。点 $x,\eta$ について、$\overline{\{\eta\}}\subset\overline{\{x\}}$ は $\eta\in\overline{\{x\}}$ と同値である。したがって $\overline{\{\eta\}}$ が極大な既約閉集合であることは、「$\eta\in\overline{\{x\}}$ ならば $\overline{\{x\}}=\overline{\{\eta\}}$」と同値であり、点と既約閉集合の全単射により、これは「$\eta\in\overline{\{x\}}$ ならば $x=\eta$」と同値である。
2. $Z$ を $U$ と交わる既約成分、$\eta$ をその生成点とする。$\eta\notin U$ なら $\eta\in Z\setminus U$ で、$Z\setminus U$ は閉集合なので $Z=\overline{\{\eta\}}\subset Z\setminus U$ となり、$Z\cap U\neq\emptyset$ に反する。よって $\eta\in U$ であり、$U$ での $\{\eta\}$ の閉包は $\overline{\{\eta\}}\cap U=Z\cap U$ である。prop-irreducible-component-open-subset により $Z\mapsto Z\cap U$ は $U$ と交わる $X$ の既約成分から $U$ の既約成分への全単射なので、$U$ と交わる $X$ の既約成分の生成点は、$U$ の既約成分の生成点と一致する。$U\cong\operatorname{Spec}A$ の既約成分は極小素イデアル $\mathfrak{p}$ による $V(\mathfrak{p})=\overline{\{\mathfrak{p}\}}$ であり（極小素イデアル の記事の命題「極小素イデアルと既約成分」）、その生成点は $\mathfrak{p}$ である。
3. $x$ を含むアフィン開集合 $U\cong\operatorname{Spec}A$ をとり、$x$ に対応する素イデアルを $\mathfrak{p}$ とする。$x$ を含む既約成分は $U$ と交わるので、2 により、$x$ が既約成分の生成点であることは $\mathfrak{p}$ が $A$ の極小素イデアルであること、すなわち $\mathfrak{p}$ に含まれる素イデアルが $\mathfrak{p}$ だけであることと同値である。$\mathcal{O}_{X,x}\cong A_{\mathfrak{p}}$ であり（スキーム の記事の注意「アフィンスキームから使う事実」の 2）、$A_{\mathfrak{p}}$ の素イデアルは $\mathfrak{p}$ に含まれる $A$ の素イデアルと 1 対 1 に対応する（局所化 の記事の定理「素イデアルの対応」）。よって条件は $A_{\mathfrak{p}}$ の素イデアルがただ 1 つ（極大イデアル $\mathfrak{p}A_{\mathfrak{p}}$）であることと同値である。$\square$