小平の埋め込み定理

要点：基底の中に都合のよい切断を入れ、$\Phi_F$ をアフィン座標で書く。

要点：1 は $W_\nu$ 上のトートロジカルな切断 $(z,[t])\mapsto z$、2 は $\sigma^*(dz_1\wedge\cdots\wedge dz_n)=\pm w_j^{n-1}dw_1\wedge\cdots\wedge dw_n$、3 は例外因子の上で正則関数が定数であることと Riemann の拡張定理による。

$\mathcal O(-E)$ に次の計量を入れる。1 の同型により $W_\nu$ 上で $\mathcal O(-E)\cong\mathrm{pr}_2^*\mathcal O_{\mathbb P^{n-1}}(1)$ で、$\mathcal O(1)$ に $\mathbb C^n$ の標準計量から誘導される計量 $h_1$ を入れて引き戻す。$\tilde X\setminus E$ の上では $\mathcal O(-E)$ は切断 $h^{-1}$ で自明化され、$|h^{-1}|=1$ となる計量 $h_2$ を入れる。$U'_\nu\Subset U_\nu$ を $x_\nu$ のより小さい球とし、$U_\nu$ に台をもち $U'_\nu$ で $1$ になる関数 $\chi_\nu\ge0$ をとって、$h_E:=\sum_\nu(\sigma^*\chi_\nu)\,\mathrm{pr}_2^*h_1+\bigl(1-\sum_\nu\sigma^*\chi_\nu\bigr)h_2$ とおく（計量の凸結合は計量である）。このとき $\sigma^{-1}(U'_\nu)$ の上で $i\Theta(\mathcal O(-E),h_E)=\mathrm{pr}_2^*\,i\Theta(\mathcal O(1),h_1)$ で、これは各点で半正である（Chern接続 の命題「射影空間の $\mathcal O(-1)$ と $\mathcal O(1)$ の曲率」）。
$\sigma^{-1}(U'_\nu)$ の上．$\sigma^*i\Theta(L)$ も半正で、その核は $\ker d\sigma$ である。$\mathrm{pr}_2^*i\Theta(\mathcal O(1))$ の核は $\ker d\,\mathrm{pr}_2$ である。$W_\nu$ は $U_\nu\times\mathbb P^{n-1}$ の部分多様体で $(\sigma,\mathrm{pr}_2)$ はその包含写像なので、$\ker d\sigma\cap\ker d\,\mathrm{pr}_2=0$ である。核が $0$ でしか交わらない 2 つの半正な $(1,1)$ 形式の和は正なので、任意の $c>0$ について $i\Theta(\mathcal O(-E))+c\,\sigma^*i\Theta(L)$ はここで正である。
残りの部分．$B:=\tilde X\setminus\bigcup_\nu\sigma^{-1}(U'_\nu)$ はコンパクトで、$\sigma$ は $B$ の近くで双正則なので $\sigma^*i\Theta(L)$ は $B$ の上で正である。$i\Theta(\mathcal O(-E),h_E)$ は $B$ 上の連続な実 $(1,1)$ 形式なので、単位球面束のコンパクト性から、$c$ が大きければ $B$ の上でも和は正である。$\square$

$\sigma\colon\tilde X\to X$ を $S$ での爆発とし、$F_k:=\mathcal O(-2E)\otimes\sigma^*L^k$ とおく。
段 1：$H^{0,1}(\tilde X,F_k)=0$．lem-ke-blowup の 2 により
$$ F_k\cong K_{\tilde X}\otimes G_k,\qquad G_k:=\sigma^*\bigl(L^k\otimes K_X^{-1}\bigr)\otimes\mathcal O\bigl(-(n+1)E\bigr) $$
である。lem-ke-positive により $P:=\mathcal O(-E)\otimes\sigma^*L^c$ が正になる $c$ をとり、小平の消滅定理 の節「正の直線束」により $L^{k_1}\otimes K_X^{-1}$ が正になる $k_1$ をとる。$k_S:=(n+1)c+k_1$ とすると、$k\ge k_S$ で
$$ G_k=P^{\otimes(n+1)}\otimes\sigma^*\bigl(L^{k-(n+1)c}\otimes K_X^{-1}\bigr) $$
であり、$L^{k-(n+1)c}\otimes K_X^{-1}=L^{k-k_S}\otimes(L^{k_1}\otimes K_X^{-1})$ は正なので、第 2 因子は正の直線束の引き戻しで、引き戻しの計量について曲率は各点で半正である。正と半正の和は正なので $G_k$ は正である。$\tilde X$ はコンパクトなので、小平の消滅定理（小平の消滅定理 の定理「小平–中野の消滅定理」の 2）と Dolbeault の定理から $H^{0,1}(\tilde X,F_k)\cong H^1(\tilde X,K_{\tilde X}\otimes G_k)=0$ である。
段 2：近似の切断を作る．$x_\nu$ で指定するジェットを $(a_\nu,b_\nu)$、$b_\nu=\sum_lb_{\nu l}dz_l$ とし、$U_\nu$ 上の $L^k$ の正則な枠 $e_\nu$ について $v_\nu:=\bigl(a_\nu+\sum_lb_{\nu l}z_l\bigr)e_\nu$ とおく。$U_\nu$ に台をもち $x_\nu$ の近くで $1$ になる滑らかな関数 $\chi_\nu$ をとり、$v:=\sum_\nu\chi_\nu v_\nu$ とする。$v$ は $L^k$ の滑らかな切断で、$\bar\partial v=\sum_\nu\bar\partial\chi_\nu\,v_\nu$ は $S$ の近くで $0$ である。
段 3：$\bar\partial$ 方程式で補正する．$\beta:=\sigma^*(\bar\partial v)$ は $\sigma^*L^k$ に値をとる滑らかな $(0,1)$ 形式で、$E$ の近くで $0$ である。$h^{-2}$ は $\tilde X\setminus E$ 上の $\mathcal O(-2E)$ の正則切断なので、$E$ の外で $w:=h^{-2}\beta$、$E$ の近くで $w:=0$ とおくと、$w$ は $F_k$ に値をとる滑らかな $(0,1)$ 形式で、$E$ の外では $\bar\partial w=h^{-2}\sigma^*(\bar\partial\bar\partial v)=0$、$E$ の近くでは $w=0$ なので、$\bar\partial w=0$ である。段 1 により、$F_k$ の滑らかな切断 $u$ で $\bar\partial u=w$ となるものがある。$\tilde g:=\sigma^*v-h^2u$ は $\sigma^*L^k$ の滑らかな切断で
$$ \bar\partial\tilde g=\beta-h^2w=0 $$
なので正則である。lem-ke-blowup の 3 により $\tilde g=\sigma^*g$ となる $g\in H^0(X,L^k)$ がある。
段 4：ジェットを確かめる．$x_\nu$ の近くで $v=v_\nu$ なので、$g-v_\nu=fe_\nu$ と書くと $f$ は $x_\nu$ の近くの正則関数で、$\sigma^*f=-h^2u$（$e_\nu$ についての係数）である。$\xi\in\mathbb C^n$、$\xi_l\neq0$ とする。$t\neq0$ が小さいとき、点 $t\xi$ の $\sigma$ による逆像は座標 $w$（$j=l$）で $w_l=t\xi_l$、$w_k=\xi_k/\xi_l$（$k\neq l$）の点であり、$h=w_l\varepsilon_l$ だから
$$ f(t\xi)=(t\xi_l)^2\,\psi(t) $$
で、$\psi$ は $t\to0$ で有界である（$u$ は $E$ の点 $(0,[\xi])$ の近くで連続）。よって $f(0)=0$ で、$t\mapsto f(t\xi)$ の $t=0$ での微分 $df(x_\nu)(\xi)$ も $0$ である。$\xi_l\neq0$ となる $l$ はつねにあるので $df(x_\nu)=0$ であり、$j_{x_\nu}(g)=j_{x_\nu}(v_\nu)=(a_\nu,b_\nu)$ である。$\square$

1．$L^k$ の切断が定める写像を $\Phi_k$ と書く。$X\times X$ の部分集合 $G(k)$ を、次をみたす $(x,y)$ の全体とする：$x,y$ は $L^k$ の基点でなく、$x\neq y$ なら $\Phi_k(x)\neq\Phi_k(y)$、$x=y$ なら $\Phi_k$ は $x$ ではめ込みである。
(i) $G(k)$ は開集合である。基点の集合は閉じているので、$x\neq y$ の点では $\Phi_k$ の連続性から明らかである。$(x,x)\in G(k)$ なら、$\Phi_k$ は $x$ ではめ込みなので、逆関数定理により $x$ の近傍 $V$ で $\Phi_k$ は基点をもたず、単射なはめ込みである。よって $V\times V\subset G(k)$ である。
(ii) $c\ge1$ について $G(k)\subset G(ck)$ である。$(x,y)\in G(k)$、$x\neq y$ なら、lem-ke-jets-embedding の 3 により $s(x)=0$、$s(y)\neq0$ となる $s\in H^0(X,L^k)$ があり、$s^c\in H^0(X,L^{ck})$ も同じ性質をもつ。基点でない点の切断の $c$ 乗は $0$ にならないので $x,y$ は $L^{ck}$ の基点でもなく、同補題の 2 により $\Phi_{ck}(x)\neq\Phi_{ck}(y)$ である。$x=y$ なら、同補題の 3 の $s_0,\dots,s_n$ について $s_0^c$ と $s_0^{c-1}s_i$ を考えると、比 $f_{s_0^{c-1}s_i}/f_{s_0^c}=f_{s_i}/f_{s_0}$ は変わらないので、$\Phi_{ck}$ も $x$ ではめ込みである（同補題の 1 の証明と同じ）。
(iii) 任意の $(x,y)$ はある $G(k)$ に属する。$x\neq y$ なら $S=\{x,y\}$、$x=y$ なら $S=\{x\}$ として lem-ke-jets を当てると、$k\ge k_S$ で 1 次のジェットを自由に指定できる。とくに $j_x$ は全射なので lem-ke-jets-embedding の 1 により $x$ は基点でなく $\Phi_k$ は $x$ ではめ込みで、$x\neq y$ なら $s(x)=0$、$s(y)=1$（枠について）となる $s$ があるので、同補題の 2 により $\Phi_k(x)\neq\Phi_k(y)$ である。
(iv) $X\times X$ はコンパクトなので、(i)・(iii) により有限個の $G(k_1),\dots,G(k_r)$ で覆われる。$k_0:=k_1k_2\cdots k_r$ とおくと、$k_0$ の倍数 $k$ は各 $k_i$ の倍数なので、(ii) により $G(k)\supset G(k_i)$ がすべての $i$ について成り立ち、$G(k)=X\times X$ である。すなわち $L^k$ は基点をもたず、$\Phi_k$ は単射なはめ込みである。$X$ はコンパクトなので $\Phi_k$ は像への同相写像で、像は閉複素部分多様体である。
2．1 により正の直線束をもてば $X$ は射影空間の閉複素部分多様体と双正則である。逆に $X\subset\mathbb P^N$ が閉複素部分多様体なら、$\mathcal O(1)$ に $\mathbb C^{N+1}$ の標準計量から誘導される計量の曲率は $i\Theta=2\,\omega_{\mathrm{FS}}$ で正であり（Chern接続 の命題「射影空間の $\mathcal O(-1)$ と $\mathcal O(1)$ の曲率」とその後の段落）、その $X$ への制限 $\mathcal O(1)|_X$ は正である（Chern 曲率は制限と両立し、正の形式の制限は正）。最後の主張は、射影空間の解析的部分集合は斉次多項式の共通零点である、という Chow の定理による（Dem12 Ch. II Theorem (8.10)、p. 121。この記事では証明しない）。$\square$

要点：Hodge 計量の類の整数倍を第 1 Chern 類にもつ直線束をとり、$\partial\bar\partial$-補題で計量を取り替えて曲率形式をその Kähler 形式に一致させる。