核型空間

$(e_i)$ を $H_2$ の正規直交基底とする。$x\in H_1$ について $Ax=\sum_i\langle Ax,e_i\rangle e_i$ であり、$B$ は連続なので
$$ BAx=\sum_i\langle Ax,e_i\rangle Be_i=\sum_i\langle x,A^*e_i\rangle Be_i $$
である。$\varphi_i(x):=\langle x,A^*e_i\rangle$ とおくと $\|\varphi_i\|=\|A^*e_i\|$ であり、Cauchy–Schwarz の不等式と Hilbert–Schmidt作用素 の命題「基底によらないことと随伴」により
$$ \sum_i\|A^*e_i\|\,\|Be_i\|\le\Bigl(\sum_i\|A^*e_i\|^2\Bigr)^{1/2}\Bigl(\sum_i\|Be_i\|^2\Bigr)^{1/2}=\|A\|_{\mathrm{HS}}\|B\|_{\mathrm{HS}}< \infty $$
となる。項が $0$ でない $i$ は可算個なので、これは def-nuc-operator の表示である。$\square$

$r$ を連続な半ノルムとし、1 により $r\le Cp$（$p\in\mathcal{P}$）とする。2 を 2 回使って $p\le q\le s$（$q,s\in\mathcal{P}$）で $\iota_{p,q}$、$\iota_{q,s}$ が Hilbert–Schmidt 作用素であるものをとる。$\iota_{p,s}=\iota_{p,q}\circ\iota_{q,s}$ は lem-nuc-hs により核型である。$r\le Cs$ なので $\iota_{r,s}=\iota_{r,p}\circ\iota_{p,s}$ は核型作用素と有界な写像の合成として核型であり、def-nuc-space の後の注意により $E$ は核型である。$\square$

どれも thm-nuc-hilbert を、増大する Hilbert 的なノルムまたは半ノルムの列 $p_1\le p_2\le\cdots$ に使う。この列が位相を定めれば条件 1 は満たされるので、各 $k$ について $\iota_{p_k,p_l}$ が Hilbert–Schmidt 作用素になる $l$ を見つければよい。
1．$H_k:=\{x\mid\|x\|_k< \infty\}$ は重みつき $\ell^2$ 空間で Hilbert 空間である。有限個の項だけが $0$ でない列は $s$ に属し $H_k$ で稠密なので、$s$ の局所 Banach 空間は $H_k$ で、$\iota_{k,k+1}$ は包含写像 $H_{k+1}\to H_k$ である。$e_n$ を第 $n$ 項だけが $1$ の列とすると、$u_n:=n^{-(k+1)}e_n$ は $H_{k+1}$ の正規直交基底で、$\|u_n\|_k=n^{-1}$ だから $\sum_n\|u_n\|_k^2=\sum_nn^{-2}< \infty$ である。
2．$f\in C^\infty(\mathbb{T})$ の Fourier 係数を $\hat f(m)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-imx}dx$ とし、$h_k(f):=\bigl(\sum_{m\in\mathbb{Z}}(1+m^2)^k|\hat f(m)|^2\bigr)^{1/2}$ とおく。部分積分により $\widehat{f^{(j)}}(m)=(im)^j\hat f(m)$ である。$(1+m^2)^k=\sum_{j\le k}\binom kjm^{2j}$ と Parsevalの等式 の定理「Riemann 積分可能な関数の Parseval の等式」の 2 から
$$ h_k(f)^2=\sum_{j\le k}\binom kj\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|f^{(j)}|^2dx\le2^k\max_{j\le k}\sup|f^{(j)}|^2 $$
である。逆に Cauchy–Schwarz の不等式から $\sum_m|m|^j|\hat f(m)|\le h_{j+1}(f)\bigl(\sum_m(1+m^2)^{-1}\bigr)^{1/2}$ であり、$f^{(j)}$ の Fourier 級数は一様に絶対収束する。その和は $f^{(j)}$ と同じ Fourier 係数をもつ連続関数なので、同記事の系「係数による一意性」により $f^{(j)}$ に等しい。よって $\sup|f^{(j)}|\le Ch_{j+1}(f)$ であり、$(h_k)$ は同じ位相を定める。$f\mapsto(\hat f(m))_m$ は $h_k$ について等長で、像は有限個の項だけが $0$ でない列（三角多項式の係数）を含むから、局所 Banach 空間は $\{a\mid\sum_m(1+m^2)^k|a_m|^2< \infty\}$ と同一視され、$\iota_{h_k,h_{k+1}}$ は包含写像になる。正規直交基底 $(1+m^2)^{-(k+1)/2}e_m$ について $\sum_m\|(1+m^2)^{-(k+1)/2}e_m\|_{h_k}^2=\sum_m(1+m^2)^{-1}< \infty$ である。
3．相対コンパクトな開集合 $U_1\subset U_2\subset\cdots$ で、$\overline{U_j}\subset U_{j+1}$、$\bigcup_jU_j=U$ となるものをとり（正則凸包 の補題「コンパクト集合による取り尽くし」の $L_j$ の内部をとればよい）、
$$ q_j(f):=\Bigl(\int_{U_j}|f|^2\,d\lambda\Bigr)^{1/2} $$
とおく（$\lambda$ は $\mathbb{C}^n=\mathbb{R}^{2n}$ の Lebesgue 測度）。$q_j$ は Hilbert 的で $q_j\le q_{j+1}$ である。$r_j>0$ を、$\overline{U_j}$ の各点を中心とする半径 $r_j$ の閉球が $U_{j+1}$ に含まれるようにとる（$\overline{U_j}$ はコンパクトで $U_{j+1}$ に含まれる）。正則関数の実部と虚部は $\mathbb{R}^{2n}$ の調和関数なので、調和関数の平均値の性質 の定理「平均値の性質」と Cauchy–Schwarz の不等式により、$z\in\overline{U_j}$、$f\in\mathcal{O}(U)$ について
$$ |f(z)|=\Bigl|\frac{1}{\lambda(B)}\int_{B(z,r_j)}f\,d\lambda\Bigr|\le\lambda(B)^{-1/2}q_{j+1}(f)=:c_jq_{j+1}(f) $$
となる（平均値による評価。$\lambda(B)$ は半径 $r_j$ の球の体積）。$q_j(f)\le\lambda(U_j)^{1/2}\sup_{\overline{U_j}}|f|$ と平均値による評価、およびコンパクト集合がある $U_j$ に含まれることから、$(q_j)$ はコンパクト一様収束の位相を定める。
局所 Banach 空間 $H_j$ は、$\{f|_{U_j}\mid f\in\mathcal{O}(U)\}$ の $L^2(U_j)$ での閉包と同一視され、$\iota_{q_j,q_{j+1}}$ は $U_j$ への制限である。$(e_i)$ を可分な Hilbert 空間 $H_{j+1}$ の正規直交基底とする。平均値による評価により、$\mathcal{O}(U)$ の関数で $L^2(U_{j+1})$ の中で $e_i$ に近づく列は $\overline{U_j}$ の上で一様 Cauchy なので、$e_i$ の $U_j$ への制限は連続な代表 $\tilde e_i$ をもち、有限和について $\bigl|\sum_ia_i\tilde e_i(z)\bigr|\le c_j\bigl(\sum_i|a_i|^2\bigr)^{1/2}$（$z\in U_j$）が成り立つ。$a_i:=\overline{\tilde e_i(z)}$（$i\le N$）とおくと $\sum_{i\le N}|\tilde e_i(z)|^2\le c_j\bigl(\sum_{i\le N}|\tilde e_i(z)|^2\bigr)^{1/2}$、すなわち $\sum_{i\le N}|\tilde e_i(z)|^2\le c_j^2$ である。単調収束定理 により
$$ \sum_i\|\iota(e_i)\|^2_{H_j}=\int_{U_j}\sum_i|\tilde e_i|^2\,d\lambda\le c_j^2\,\lambda(U_j)< \infty $$
となり、$\iota_{q_j,q_{j+1}}$ は Hilbert–Schmidt 作用素である。$\square$

$E$ の位相を定める連続な半ノルムの増大列 $p_1\le p_2\le\cdots$ をとり（Fréchet空間 の定理「可算個の半ノルムと距離」の 3 と、その前の注意）、同定理の距離 $d$ を使う。$B\subset E$ を有界集合とする。
$k$ を固定する。核型性により $q\ge p_k$ で $\iota_{p_k,q}$ が核型、したがってコンパクトであるものがある。$B$ は有界なので $\sup_Bq< \infty$ であり、$\pi_q(B)$ は $E_q$ の有界集合である。よって $\pi_{p_k}(B)=\iota_{p_k,q}(\pi_q(B))$ は $E_{p_k}$ で相対コンパクト、とくに全有界である。すなわち任意の $\varepsilon>0$ について、$B$ は有限個の点 $b_1,\dots,b_N\in B$ を中心とする集合 $\{x\mid p_k(x-b_i)< \varepsilon\}$ で覆われる。
$\varepsilon>0$ に対し $2^{-k}< \varepsilon/2$ となる $k$ をとり、上のように $p_k(x-b_i)< \varepsilon/2$ で $B$ を覆う。$l\le k$ では $p_l\le p_k$ なので、同じ点 $x$ について
$$ d(x,b_i)\le\sum_{l\le k}2^{-l}p_l(x-b_i)+\sum_{l>k}2^{-l}< \frac\varepsilon2+\frac\varepsilon2=\varepsilon $$
となる。よって $B$ は距離 $d$ について全有界である。$E$ は完備なので、$B$ の閉包は完備かつ全有界でコンパクトである。$\square$

$E$ の完備化 $\hat E$ は Banach 空間で、ノルム $p$ について $E_p=\hat E$ である。核型性から $q\ge p$ で $\iota_{p,q}$ がコンパクトなものがあり、$q$ は連続なので $q\le C p$ である。$E$ の単位球 $B$ について $\pi_q(B)$ は有界なので、$B$ は $\hat E$ で全有界である。$\hat E$ の閉単位球は $B$ の閉包なので全有界かつ完備でコンパクトであり、Fredholm作用素 の補題「Rieszの補題」の 2 により $\hat E$ は有限次元である。$\square$