Rieszの表現定理

2 次以下の実係数多項式の空間 $V$ に内積 $\langle p,q\rangle=\int_{-1}^1p(t)q(t)\,dt$ を入れ、$\varphi(p):=p(0)$ とする。$V$ の正規直交基底
$$ e_1=\frac1{\sqrt2},\qquad e_2=\sqrt{\frac32}\,t,\qquad e_3=\sqrt{\frac{45}8}\Bigl(t^2-\frac13\Bigr) $$
（内積空間 の例「Gram–Schmidtの直交化の計算」）を使うと、$\varphi(e_1)=\frac1{\sqrt2}$、$\varphi(e_2)=0$、$\varphi(e_3)=-\frac13\sqrt{\frac{45}8}$ なので
$$ q(t)=\frac12-\frac{45}{8}\cdot\frac13\Bigl(t^2-\frac13\Bigr)=\frac98-\frac{15}8t^2 $$
である。すなわち、すべての 2 次以下の多項式 $p$ について $p(0)=\int_{-1}^1p(t)\Bigl(\frac98-\frac{15}8t^2\Bigr)dt$ が成り立つ。両辺とも $p$ について線形なので、$p=1,t,t^2$ で確かめれば十分であり、実際 $\int_{-1}^1q=\frac94-\frac54=1$、$\int_{-1}^1tq=0$（奇関数）、$\int_{-1}^1t^2q=\frac34-\frac34=0$ である。$\|\varphi\|=\|q\|=\sqrt{9/8}$ である（$\|q\|^2=\langle q,q\rangle=\varphi(q)=q(0)$）。

$\mathbb{R}^3$ の線形汎関数 $\varphi(x)=2x_1-x_2+2x_3$ は $h=(2,-1,2)$ で表され、$\|\varphi\|=\|h\|=3$ である。点 $p=(1,1,1)$ と平面 $P:\ 2x_1-x_2+2x_3=6$ について、次の cor-rrt-distance から距離は $\frac{|\varphi(p)-6|}{\|\varphi\|}=\frac{|3-6|}3=1$ であり、最も近い点は $p-\frac{\varphi(p)-6}{\|h\|^2}h=(1,1,1)+\frac13(2,-1,2)=\bigl(\frac53,\frac23,\frac53\bigr)$ である（$2\cdot\frac53-\frac23+2\cdot\frac53=6$）。高校数学の点と平面の距離の公式は、この等式の $\mathbb{R}^3$ の場合である（超平面 の記事の定理「点と超平面の距離、超平面の両側」）。

$\ell^2$ 上の $\varphi(x):=\sum_{n=1}^\infty x_n/n$ は、$u:=(1,\frac12,\frac13,\dots)\in\ell^2$ について $\varphi=\varphi_u$ であり、$\|\varphi\|=\|u\|=\bigl(\sum_n1/n^2\bigr)^{1/2}=\pi/\sqrt6$ である（Basel問題 の定理「平方数の逆数の和」）。$\ell^2$ の標準的な完全正規直交系 $e_k$ について prop-rrt-onb の係数は $\varphi(e_k)=1/k$ である。
区間 $[0,1]$ 上の 2 乗可積分な関数の空間 $L^2([0,1])$（Hilbert空間 の例「2 乗可積分関数の空間」）では、$g\in L^2([0,1])$ について $\varphi(f):=\int_0^1f(t)g(t)\,dt$ は有界な線形汎関数で、$h=\overline g$ で表される。thm-rrt-main は逆に、$L^2([0,1])$ 上の有界な線形汎関数がすべてこの形であることを述べている。

$b\in\ell^2$ に対し、未知数列 $x=(x_1,x_2,\dots)$ の方程式
$$ 2x_n+x_{n+1}-x_{n-1}=b_n\qquad(n\ge1,\ x_0:=0) $$
を考える。左辺を $(Ax)_n$ とおくと、$A=2I+L-R$（$L$ は左ずらし $(Lx)_n=x_{n+1}$、$R$ は右ずらし $(Rx)_n=x_{n-1}$）は $\ell^2$ 上の有界線形作用素で $\|A\|\le4$ である。$z:=\langle Rx,x\rangle=\sum_{m\ge1}x_m\overline{x_{m+1}}$ とおくと $\langle Lx,x\rangle=\bar z$ なので
$$ \operatorname{Re}\langle Ax,x\rangle=2\|x\|^2+\operatorname{Re}(\bar z-z)=2\|x\|^2 $$
である。$a(v,u):=\langle v,Au\rangle$ は半双線形形式で、$|a(v,u)|\le4\|u\|\,\|v\|$、$\operatorname{Re}a(u,u)=\operatorname{Re}\overline{\langle Au,u\rangle}=2\|u\|^2$ を満たす。thm-rrt-lax-milgram を $\varphi=\langle\cdot,b\rangle$ に使うと、$\langle v,Au\rangle=\langle v,b\rangle$（すべての $v$）、すなわち $Au=b$ を満たす $u\in\ell^2$ がただ 1 つあり、$\|u\|\le\|b\|/2$ である。$A$ は自己随伴でない（$A^*=2I+R-L\ne A$）ので、内積を取り替えるだけでは Riesz の表現定理に帰着しない。
$b=(1,0,0,\dots)$ のとき、解は $u_n=r^n$（$r:=\sqrt2-1$）である。$r^2+2r-1=0$ なので $n\ge2$ では $2r^n+r^{n+1}-r^{n-1}=r^{n-1}(r^2+2r-1)=0$、$n=1$ では $2r+r^2=1$ であり、$\|u\|^2=\frac{r^2}{1-r^2}$ から $\|u\|=0.4550\ldots\le\frac12$ である。

有限個の項以外が $0$ の数列の空間 $c_{00}$ に $\ell^2$ の内積を入れ、$\varphi(x):=\sum_nx_n/n$（有限和）とおく。$u=(1,\frac12,\frac13,\dots)\in\ell^2$ について $\varphi(x)=\langle x,u\rangle$ なので、Cauchy–Schwarz の不等式から $\varphi$ は有界である。しかし $\varphi=\varphi_h$ となる $h\in c_{00}$ はない。あれば $\overline{h_n}=\langle e_n,h\rangle=\varphi(e_n)=\frac1n$ がすべての $n$ で成り立ち、$h$ の項がすべて $0$ でないことになるからである（Hilbert空間 の記事の例「反例：完備でない内積空間 $c_{00}$」と同じ汎関数）。満たす性質は内積空間であることと $\varphi$ の有界性、満たさない性質は空間の完備性である。$c_{00}$ を完備化した $\ell^2$ では $\varphi$ は $u$ で表され、$u\notin c_{00}$ である。証明で使った直交分解 $c_{00}=N\oplus N^\perp$（$N=\ker\varphi$）が成り立たないことは 直交補空間 の例「反例：完備でない内積空間」にある。

lem-rrt-norm により $\varphi_h$ はつねに有界なので、有界でない線形汎関数はどの元との内積としても表せない。無限次元のノルム空間には有界でない線形汎関数がつねに存在し（Axl20 6.62）、$\ell^2$ も例外でない。ただしその存在証明は、Zornの補題（選択公理 と同値）による線形代数の意味の基底の存在を使い、具体的な式では与えられない。
完備でない空間では具体的な例がある。$[-1,1]$ 上の実数値連続関数の空間 $C([-1,1])$ に内積 $\langle f,g\rangle=\int_{-1}^1fg$ を入れ、$\varphi(f):=f(0)$ とする。$f_n(x):=\max(0,1-n|x|)$ は $\varphi(f_n)=1$ だが $\|f_n\|^2=2\int_0^{1/n}(1-nx)^2dx=\frac2{3n}\to0$ なので、$\varphi$ は有界でなく、どの $g$ についても $f(0)=\int_{-1}^1fg$ とは書けない。ex-rrt-poly の直後に挙げた $\|q_n\|$ は、$\varphi$ を $n$ 次以下の多項式に制限したときのノルムであり（lem-rrt-norm）、それが次数とともに大きくなっていくのは、制限を外した $\varphi$ が有界でないことと符合している。

$1< p<2$ とし、$p':=p/(p-1)$ とおく。$\ell^p$ は Banach 空間だが、そのノルムはどの内積からも来ない（Hilbert空間 の例「反例：Hilbert 空間でない空間」）。$\ell^p$ の有界な線形汎関数は、$\ell^{p'}$ の元 $b$ によって $a\mapsto\sum_na_nb_n$ とただ 1 通りに表される（Axl20 7.26）。$b_n:=n^{-1/p}$ とすると、$p'/p=1/(p-1)>1$ なので $\sum_nb_n^{p'}=\sum_nn^{-p'/p}<\infty$ であり、$\varphi(a):=\sum_na_nn^{-1/p}$ は $\ell^p$ 上の有界な線形汎関数である。しかし $\varphi(a)=\sum_na_nc_n$ となる $c$ を $\ell^p$ の中にとることはできない。そのような $c$ があれば $c_n=\varphi(e_n)=n^{-1/p}$ であり、$\sum_n|c_n|^p=\sum_n1/n=\infty$ となるからである。表す列は $\ell^{p'}$ に住み、空間 $\ell^p$ 自身とは一致しない。満たす性質は完備性と $\varphi$ の有界性、満たさない性質はノルムが内積から来ること（Hilbert 空間であること）である。