森の定理(Hartshorne予想)

前提知識: 曲げ折り法, 接束, 豊富な可逆層, Grothendieckの分解定理(射影直線上のベクトル束), Euler列

森の定理（Mori's theorem）は、接束が豊富な滑らかな射影多様体は射影空間に限る、という定理である。Hartshorne が予想し（Hartshorne 予想）、森重文（Shigefumi Mori）が 1979 年に証明した。射影空間の接束は豊富で、この定理はその逆を述べる。つまり「接束の正値性」というただ 1 つの条件が、多様体を同型を除いて決めてしまう。
定理の意味は結果そのものよりも方法にある。多様体の上に有理曲線を作る手段として森はこの証明で 曲げ折り法 を見いだし、これがのちの極小モデル理論の出発点になった。この記事では、複素数体上で、有理曲線の存在を 曲げ折り法 から引いたうえで、次数最小の有理曲線の族から射影空間を組み立てる証明の全体を書く。

定理

$k$ を代数閉体とする。$X$ を $k$ 上の射影スキーム、$E$ を $X$ の上の階数 $r$ のベクトル束とする。

$r=1$ なら $\mathbb{P}(E)=X$ で、これは 豊富な可逆層 の定義と同じである。使う性質をまとめる。いずれも Har66 にある。

$\mathbb{P}^1$ の上では、ベクトル束は $\bigoplus_i\mathcal{O}(a_i)$ と分解し（Grothendieckの分解定理(射影直線上のベクトル束)）、2 により、これが豊富であることはすべての $a_i$ が正であることと同値である。

複素数体上の微分幾何には対応する予想があった。Frankel は、正の双断面曲率をもつ $n$ 次元コンパクト Kähler 多様体は $\mathbb{CP}^n$ と双正則であると予想した。この予想は、森が代数幾何によって、また Siu と Yau が微分幾何によって、独立に解決した（HS16 §1, p. 1）。Ros10 §1（p. 1）は Hartshorne 予想を Frankel 予想の代数的な類似と呼んでいる。

例

次の補題が定理の入口である。接束の豊富さは、有理曲線の上に降ろすと、接束の分解の形を強く制限する。

次の反例は、lem-mt-splitting が thm-mt-main の仮定を試す道具にもなることを示す。

次の表は、ここまでの例を分解の型で比べたものである。$\mathbb{P}^2$ の 1 点の爆発の例外曲線 $e$ では、$T_e=\mathcal{O}(2)$ と法束 $\mathcal{O}(-1)$ の拡大は分裂する（$H^1(\mathbb{P}^1,\mathcal{O}(3))=0$）。直線 $\ell\subset Q$ では、法束の列 $0\to N_{\ell/Q}\to\mathcal{O}(1)^{\oplus n}\to\mathcal{O}(2)\to0$ の全射が 2 つの 1 次式で書けることから、$N_{\ell/Q}\cong\mathcal{O}(1)^{\oplus(n-2)}\oplus\mathcal{O}$ となる。

表の 1 行目だけが lem-mt-splitting の結論をみたす。森の定理は、この形の曲線がすべて揃うのは射影空間だけであることを述べている。

複素数体上の証明

以下 $k=\mathbb{C}$、$X$ は次元 $n\ge2$ で $T_X$ は豊富とする。$-K_X=\det T_X$ は豊富なので、$X$ は Fano 多様体である。証明は 4 段からなる。次数最小の有理曲線を見つけ（段 1）、1 点を通るその族が $\mathbb{P}^{n-1}$ でパラメータづけられることを示し（段 2、3）、族を $\mathbb{P}^n$ からの被覆に組み立てる（段 4）。
$X=\mathbb{P}^n$ で見ると、これは当たり前のことを言っている。$x$ を通る直線の全体は $\mathbb{P}(T_x\mathbb{P}^n)=\mathbb{P}^{n-1}$ で、直線を接方向で区別でき、$x$ で爆発すると直線たちは互いに交わらない $\mathbb{P}^1$ 束になる。証明は、この描像を $X$ の接束の豊富さだけから再現する。
段 1 から段 4 で外から使う結果は 4 つで、どれもこの記事では証明しない。曲げ折り法 の系「Fano 多様体は有理曲線で覆われる」、同じ記事の補題「ファイバーの中の $(-1)$ 曲線」、射の空間の次元の下界（同じ記事の命題「変形の空間の次元」）、1 点を通る有理曲線の空間 $H/B$ の存在（Keb02 §2.1）である。

段 1：次数 $n+1$ の有理曲線

森の証明でいちばん意外なのはこの段である。複素数体上の問題なのに、有理曲線は正標数で作られる。Frobenius 写像を合成すると、曲線の種数を変えずに $-K_X$ との交点数だけを大きくでき、変形の次元の下界が正になる。すると固定点をもつ曲がる族ができ、それが折れて有理曲線が現れる。その有理曲線の次数は標数によらない上界をもつので、複素数体上にも同じ上界をみたす有理曲線がある。

点 $x\in\Gamma$ を固定する。$H$ を、射 $f\colon\mathbb{P}^1\to X$ で $f(0)=x$、$-K_X\cdot f_*[\mathbb{P}^1]=n+1$ をみたすものの空間 $\operatorname{Hom}(\mathbb{P}^1,X;0\mapsto x)$ の開かつ閉部分スキームとする。$H$ は空でない。lem-mt-splitting の 4 により、$H$ のすべての点 $f$ は像の上に双有理で、
$$ f^*T_X\cong\mathcal{O}(2)\oplus\mathcal{O}(1)^{\oplus(n-1)} $$
であり、$f$ は至るところ微分が $0$ でない。したがって $f^*T_X(-0)\cong\mathcal{O}(1)\oplus\mathcal{O}^{\oplus(n-1)}$ は大域切断で生成され、$H^1$ は $0$ である。曲げ折り法 の命題「変形の空間の次元」により、$H$ は滑らかで、次元は $h^0(f^*T_X(-0))=n+1$ である。

段 2：族のコンパクト性

$0$ を固定する $\mathbb{P}^1$ の自己同型の群を $B$（次元 $2$）とする。$H$ の点は双有理なので、$B$ は $H$ に自由に作用する。$M:=H/B$ は次元 $n-1$ の滑らかな複素多様体で、$U:=(H\times\mathbb{P}^1)/B\to M$ は $\mathbb{P}^1$ 束である（Keb02 §2.1, pp. 1–2）。評価写像 $\iota\colon U\to X$、$[f,t]\mapsto f(t)$ と、$t=0$ の切断 $\sigma\subset U$ を考える。$\iota(\sigma)=x$ である。

段 3：接方向の写像

$M$ の連結成分 $M_0$ を 1 つとり、$U_0\to M_0$ をその上の $\mathbb{P}^1$ 束、$\sigma_0\subset U_0$ を切断とする。$E:=\mathbb{P}(T_xX)$ を、$T_xX$ の 1 次元部分空間の空間（$\cong\mathbb{P}^{n-1}$）とし、$X$ の $x$ での ブローアップ $\widehat X\to X$ の例外因子と同一視する。

段 4：$\mathbb{P}^n$ からの被覆

この証明で豊富さを使ったのは、$-K_X$ が豊富であること（段 1 の有理曲線の存在）と lem-mt-splitting だけである。$H$ のすべての点で同じ分解が成り立つので、族全体が滑らかでコンパクトになる。分解が一般の曲線でしか決まらない状況を扱うのが、次の節の定理である。

発展

いずれも複素数体上の射影多様体 $X$ についての定理で（1〜3 行目の $X$ は滑らかとする）、この記事では証明しない。3 行目の Cho は Koji Cho、宮岡は宮岡洋一（Yoichi Miyaoka）である。単線織 とは、有理曲線で覆われることをいう。Kebekus の短い証明 Keb02 は、段 2 から段 4 と同じ形の議論を次数の仮定から進める。この場合は分解が一般の曲線でしか決まらないので、特異な曲線の族を別に調べる（Keb02 §2.3）。

反例：条件を外すと

関連項目

• 前提: 曲げ折り法, 接束, 豊富な可逆層, Euler列
• 比較: 複素射影空間の接束, Kähler多様体
• 発展: 錐定理, 双有理幾何学