ホモトピー余極限
概要
ホモトピー余極限（homotopy colimit）とは、小さい圏 $\mathcal C$ を添字とする単体的集合の図式 $X$ に対し、各成分 $X(c)$ と、$c$ の下のコンマ圏の脈体の向きを逆にしたものとの積をコエンドで貼り合わせた単体的集合であり、余極限の厳密な貼り合わせを道による貼り合わせに置き換えたものである。各成分が弱同値である図式の射はホモトピー余極限の間の弱同値を誘導し、この性質は通常の余極限にはない。単体は射の列と成分の単体の組で書け、二重単体的集合の対角として表され、定数図式では添字の反対圏の脈体との積になる。押し出しの形の図式では二重写像柱を与え、ホモトピー余極限から出る写像の空間は写像の空間の図式のホモトピー極限の式で書ける。
前提知識: 単体的集合, 脈体, コエンド, Kan–Quillenモデル構造
図式のホモトピー余極限（homotopy colimit）は、図式の余極限(圏論)を、図式の各成分を弱同値な対象に取り替えても値の弱同値類が変わらないように修正したものである。通常の余極限は対象を「厳密に」貼り合わせるので、各成分を弱同値な対象に替えると、まったく別の対象に変わりうる。ホモトピー余極限は、貼り合わせる場所に柱や単体を挟み、「等しいとみなす」ことを「道で結ぶ」ことに置き換えて、この欠点を取り除く。
この記事では、小さい圏 $\mathcal C$ を添字とする単体的集合の図式について、Bousfield–Kan の式によるホモトピー余極限を扱う。主定理（thm-hocolim-invariance）は、各成分が弱同値である図式の射がホモトピー余極限の間の弱同値を誘導することである。そのための道具として、ホモトピー余極限の単体を具体的に書き（prop-hocolim-simplices）、二重単体的集合の対角として表す（prop-hocolim-replacement）。定数図式のホモトピー余極限は添字の圏の反対圏の脈体と定数との積になり（ex-hocolim-constant）、ホモトピー余極限から出る写像の空間は写像の空間の図式のホモトピー極限の式で書ける（prop-hocolim-mapping）。
極限の側は ホモトピー極限 が扱う。そこではおもに引き戻しの形の図式を一般のモデル圏で調べ、押し出しの形はその双対として注意で述べている。この記事は余極限の側を、一般の小さい図式について単体的集合の具体的な式で調べる。単体的集合の圏は反対圏と同じ形をしていないので、二つの記事の内容は形式的な双対ではない。
余極限は弱同値を保たない
$\Lambda$ を対象 $0,1,2$ と二本の射 $0\to1$、$0\to2$ だけをもつ圏とし、$\Lambda$ を添字とする図式を $X_1\xleftarrow{f}X_0\xrightarrow{g}X_2$ と書く。その余極限は押し出し $X_1\amalg_{X_0}X_2$ である。
$\partial\Delta^1\subset\Delta^1$ を端点の包含とし、二つの図式
$$
D'=\bigl(\Delta^1\hookleftarrow\partial\Delta^1\hookrightarrow\Delta^1\bigr),\qquad D=\bigl(\Delta^0\leftarrow\partial\Delta^1\rightarrow\Delta^0\bigr)
$$
と、$D'$ から $D$ への射（$X_0$ の成分は恒等写像、$X_1,X_2$ の成分は $\Delta^1\to\Delta^0$）を考える。各成分は弱同値である（$\lvert\Delta^1\rvert$ は可縮）。ところが余極限は、$D'$ では二本の辺の両端を貼った単体的集合で、その実現は円周と同相であり（実現は余極限を保つ。幾何学的実現 の系「余極限の保存」）、$D$ では一点 $\Delta^0$ である。円周と一点は弱ホモトピー同値でないので、余極限の間の射は弱同値でない。
$D'$ の余極限が円周になるのは、端点 $\partial\Delta^1$ の二点を、二本の辺 $\Delta^1$ という「道」を通して結んでいるからである。$D$ では同じ二点を一点に厳密に潰しているので、この道の情報が失われる。ホモトピー余極限は、どの図式についても貼り合わせを道で行うので、$D$ と $D'$ に同じ答え（円周の弱ホモトピー型）を与える（ex-hocolim-span-circle）。
定義
以下、$\mathcal C$ を小さい圏とし、$\mathbf{sSet}$ を単体的集合の圏とする。弱同値は Kan–Quillenモデル構造 の弱同値（実現が弱ホモトピー同値になる写像）である。
- 対象 $c$ に対し、$c$ の下のコンマ圏 $c\downarrow\mathcal C$ を、対象が射 $u\colon c\to d$、$u$ から $u'\colon c\to d'$ への射が $u'=hu$ をみたす $h\colon d\to d'$ である圏とする（コンマ圏 の例「スライスと余スライス」）。$\mathcal C$ の射 $\sigma\colon c\to c'$ は関手 $\sigma^*\colon c'\downarrow\mathcal C\to c\downarrow\mathcal C$、$u\mapsto u\sigma$ を定めるので、$c\mapsto N(c\downarrow\mathcal C)$ は $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ から $\mathbf{sSet}$ への関手である。
- 単体的集合 $K$ に対し、$K^{\mathrm{op}}$ を、$(K^{\mathrm{op}})_n=K_n$ とし、面写像と退化写像を $d_i\mapsto d_{n-i}$、$s_i\mapsto s_{n-i}$ と付け替えた単体的集合とする。$N(\mathcal D)^{\mathrm{op}}\cong N(\mathcal D^{\mathrm{op}})$ である（射の列を逆に読む）。
図式 $X\colon\mathcal C\to\mathbf{sSet}$ の ホモトピー余極限 を、コエンド
$$
\operatorname{hocolim}_{\mathcal C}X:=\int^{c\in\mathcal C}X(c)\times N(c\downarrow\mathcal C)^{\mathrm{op}}
$$
で定める。図式の射（自然変換）$f\colon X\to Y$ はコエンドの間の写像 $\operatorname{hocolim}f\colon\operatorname{hocolim}_{\mathcal C}X\to\operatorname{hocolim}_{\mathcal C}Y$ を誘導する。
コエンドは余積の余等化子として作れ（コエンド の命題「余積と余等化子による構成」）、単体的集合の余極限は次数ごとに集合の余極限として計算される（単体的集合 の定理「極限と余極限の次数ごとの計算」）ので、ホモトピー余極限はつねに存在し、各次数ごとに集合のコエンドで計算できる。この定義は Hir03 Definition 18.1.2 を単体的集合に当てはめたもの（同 Remark 18.1.3）である。$N(c\downarrow\mathcal C)^{\mathrm{op}}$ の代わりに向きを逆にしない $N(c\downarrow\mathcal C)$ を使う流儀もある（Rie14 Theorem 6.6.1）。二つの流儀の値は自然な弱同値で結ばれ（Hir03 Remark 18.1.11。この記事では証明しない）、以下の議論は向きを付け替えればどちらの流儀でも同じように進む。
成分ごとの写像 $N(c\downarrow\mathcal C)^{\mathrm{op}}\to\Delta^0$ から、自然な写像 $\operatorname{hocolim}_{\mathcal C}X\to\int^cX(c)\times\Delta^0=\operatorname{colim}_{\mathcal C}X$ が得られる。この写像は一般には弱同値でない（ex-hocolim-strict-fails と ex-hocolim-span-circle）。
単体の記述と二重単体的集合
コエンドの定義のままでは計算しにくいので、次数ごとに具体的に書く。$\mathcal C^{\mathrm{op}}$ の脈体の $n$ 単体は、$\mathcal C$ の射の列 $a_0\xleftarrow{\alpha_1}a_1\xleftarrow{\alpha_2}\cdots\xleftarrow{\alpha_n}a_n$ である。
$n\ge0$ について、$N(\mathcal C^{\mathrm{op}})$ の $n$ 単体 $a=(a_0\xleftarrow{\alpha_1}\cdots\xleftarrow{\alpha_n}a_n)$ と $x\in X(a_n)_n$ の組 $(a,x)$ 全体の集合を $S_n$ とし、
$$
d_i(a,x)=(d_ia,\ d_ix)\quad(0\le i< n),\qquad d_n(a,x)=\bigl(d_na,\ X(\alpha_n)(d_nx)\bigr),\qquad s_i(a,x)=(s_ia,\ s_ix)
$$
とおく。ここで $d_ia$ は $a_i$ を除いた列（$0< i< n$ では $\alpha_i\alpha_{i+1}$ を合成し、$i=0$ では $a_0,\alpha_1$ を、$i=n$ では $a_n,\alpha_n$ を捨てる）、$s_ia$ は $a_i$ に恒等射を挟んだ列である。このとき $S$ は単体的集合であり、$X$ について自然な同型 $\operatorname{hocolim}_{\mathcal C}X\cong S$ がある。
要点：$N(c\downarrow\mathcal C)$ の各次数は表現可能関手の余積なので、余米田公式で $c$ が消える。
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$N(c\downarrow\mathcal C)$ の $n$ 単体は $c\downarrow\mathcal C$ の射の列 $u_0\to u_1\to\cdots\to u_n$ で、$u_i=h_i\cdots h_1u_0$ なので、$\mathcal C$ の列 $\delta=(e_0\xrightarrow{h_1}e_1\to\cdots\xrightarrow{h_n}e_n)\in N(\mathcal C)_n$ と $u_0\in\mathcal C(c,e_0)$ の組で決まる。$\sigma^*$ は $u_0$ を $u_0\sigma$ に替えるだけなので、$c$ について自然に $N(c\downarrow\mathcal C)_n\cong\coprod_{\delta\in N(\mathcal C)_n}\mathcal C(c,e_0)$ である。次数 $n$ のコエンドは集合のコエンドであり、余積と交換する（どちらも余極限である）から、$(\operatorname{hocolim}_{\mathcal C}X)_n\cong\coprod_{\delta}\int^{c}X(c)_n\times\mathcal C(c,e_0)\cong\coprod_{\delta}X(e_0)_n$ である。最後の同型は余米田公式（コエンド の命題「余米田公式」を $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ に当てたもの）で、類 $[x,u_0]$ を $X(u_0)x$ に送る。$a_i:=e_{n-i}$、$\alpha_i:=h_{n-i+1}$ と番号を付け直すと、全単射 $(\operatorname{hocolim}_{\mathcal C}X)_n\cong S_n$ を得る。
作用を比べる。$X(c)\times N(c\downarrow\mathcal C)^{\mathrm{op}}$ の $d_i$ は、$X(c)$ では $d_i$、$N(c\downarrow\mathcal C)$ では $d_{n-i}$、つまり頂点 $u_{n-i}$（$\delta$ では $e_{n-i}=a_i$）を除く操作である。$i< n$ なら $u_0$ は変わらず、像は $X(u_0)(d_ix)=d_i\bigl(X(u_0)x\bigr)$ なので $S$ の $d_i$ と一致する。$i=n$ では頂点 $u_0$ を除くので $u_0$ が $u_1=h_1u_0$ に替わり、像は $X(h_1u_0)(d_nx)=X(h_1)\bigl(d_nX(u_0)x\bigr)$ で、$h_1=\alpha_n$ だから $S$ の $d_n$ と一致する。退化写像も同様である。したがって $S$ の作用はこの全単射で移した作用であり、$S$ は単体的集合、全単射は同型である。図式の射 $f$ は $(a,x)\mapsto(a,f_{a_n}(x))$ と働くので、同型は自然である。$\square$
prop-hocolim-simplices は Bousfield–Kan の式「$\coprod_{a_0\leftarrow\cdots\leftarrow a_n}X(a_n)$」にあたる。最後の面写像 $d_n$ だけが図式の射 $X(\alpha_n)$ を使い、ほかの面写像と退化写像は列と $X$ の単体を別々に動かす。単体の次数と列の長さを別々に動かすと、次の二重単体的集合が得られる。
二重単体的集合 $Z$（関手 $\Delta^{\mathrm{op}}\times\Delta^{\mathrm{op}}\to\mathbf{Set}$。$Z_{p,q}$ の $p$ を横、$q$ を縦の次数とし、順序写像 $\theta$ の作用を横は $\theta^*_{\mathrm h}$、縦は $\theta^*_{\mathrm v}$ と書く）に対し、$(\operatorname{diag}Z)_n=Z_{n,n}$、$\theta^*=\theta^*_{\mathrm h}\theta^*_{\mathrm v}$ で定まる単体的集合を 対角 という。$Z_{p,\bullet}$ を縦の単体的集合とみると、自然な同型
$$
\int^{[p]\in\Delta}Z_{p,\bullet}\times\Delta^p\cong\operatorname{diag}Z
$$
がある。
要点：次数 $n$ では $\Delta^p_n=\Delta([n],[p])$ なので、余米田公式で $p$ が $n$ に置き換わる。
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次数 $n$ のコエンドは $\int^{p}Z_{p,n}\times\Delta([n],[p])$ で、$[p]\mapsto Z_{p,n}$ は $\Delta$ 上の前層なので、余米田公式により $(z,\theta)\mapsto\theta^*_{\mathrm h}z$ が全単射 $\int^pZ_{p,n}\times\Delta([n],[p])\cong Z_{n,n}$ を与える。順序写像 $\beta\colon[m]\to[n]$ は $(z,\theta)$ を $(\beta^*_{\mathrm v}z,\theta\beta)$ に送り、その像は $(\theta\beta)^*_{\mathrm h}\beta^*_{\mathrm v}z=\beta^*_{\mathrm h}\theta^*_{\mathrm h}\beta^*_{\mathrm v}z=\beta^*_{\mathrm h}\beta^*_{\mathrm v}\bigl(\theta^*_{\mathrm h}z\bigr)$ である（横と縦の作用は交換する）。これは対角の作用 $\beta^*$ なので、全単射は単体的集合の同型である。$\square$
この補題は Hir03 Theorem 15.11.6 にあたる。左辺は二重単体的集合の「実現」とよばれる（同 Definition 15.11.1）。
$Z(X)_{p,q}:=\coprod_{a\in N(\mathcal C^{\mathrm{op}})_p}X(a_p)_q$ とおき、横の作用を
$$
d_i(a,x)=(d_ia,\ x)\quad(i< p),\qquad d_p(a,x)=\bigl(d_pa,\ X(\alpha_p)x\bigr),\qquad s_i(a,x)=(s_ia,\ x)
$$
で、縦の作用を各 $X(a_p)$ の作用で定めると、$Z(X)$ は二重単体的集合であり、$X$ について自然な同型
$$
\operatorname{hocolim}_{\mathcal C}X\cong\operatorname{diag}Z(X)\cong\int^{[p]\in\Delta}Z(X)_{p,\bullet}\times\Delta^p
$$
がある。$Z(X)$ を $X$ の 単体的置換 という。
要点：縦の次数を固めると、離散な図式に prop-hocolim-simplices を当てたものになる。
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$q$ を固め、集合 $X(c)_q$ を離散な単体的集合（すべての作用が恒等写像）とみた図式に prop-hocolim-simplices を当てると、その $S$ はちょうど $Z(X)_{\bullet,q}$ と上の横の作用である。よって横の作用は単体的恒等式をみたす。$X(\alpha_p)$ は単体的写像なので横と縦の作用は交換し、$Z(X)$ は二重単体的集合である。対角の作用 $d_i=d_i^{\mathrm h}d_i^{\mathrm v}$ は $(a,x)$ を $(d_ia,d_ix)$（$i< n$）、$(d_na,X(\alpha_n)d_nx)$ に送り、退化写像も同様なので、$\operatorname{diag}Z(X)$ は prop-hocolim-simplices の $S$ と同じ単体的集合である。二つ目の同型は lem-hocolim-diagonal である。自然性は成分ごとの式から従う。$\square$
右端の式は、ホモトピー余極限を単体的置換の実現として表すものであり、$Z(X)$ の各横の次数 $Z(X)_{p,\bullet}$ は $X$ の成分の非交和である。
単体的集合 $K$ について、すべての対象を $K$ に、すべての射を $\mathrm{id}_K$ に送る定数図式を $\underline K$ とする。prop-hocolim-simplices で $X(\alpha_n)=\mathrm{id}_K$ なので、$(a,x)\mapsto(a,x)$ は同型
$$
\operatorname{hocolim}_{\mathcal C}\underline K\cong N(\mathcal C^{\mathrm{op}})\times K
$$
を与える。とくに一点の定数図式では $\operatorname{hocolim}_{\mathcal C}\ast\cong N(\mathcal C^{\mathrm{op}})$ であり（Hir03 Proposition 18.1.6）、その実現は $\mathcal C$ の分類空間 $B\mathcal C$ と同相である（圏の分類空間 の命題「反対圏の分類空間」）。
したがって $\operatorname{hocolim}_{\mathcal C}\ast\to\Delta^0$ が弱同値であることは、CW 複体 $B\mathcal C$ が可縮であること（Whiteheadの定理）と同値であり、これは $\mathcal C$ が 基本局所化子 の例「分類空間で定まる基本局所化子」の $\mathcal W_\infty$ について非球面的であることにほかならない。$\mathcal C$ が終対象か始対象をもてば成り立つ（圏の分類空間 の系「終対象をもつ圏は可縮」）。一方、$\operatorname{colim}_{\mathcal C}\ast$ は $\mathcal C$ の連結成分の集合（離散）である。平行な $2$ 本の射だけの圏では $B\mathcal C$ が円周なので（圏の分類空間 の例「平行な $2$ 本の射」）、余極限とホモトピー余極限は弱同値でない。
対象 $c$ について、集合 $\mathcal C(c,d)$ を離散な単体的集合とみた図式 $\mathcal C(c,-)$ を考える。次数ごとに余米田公式を使うと
$$
\operatorname{hocolim}_{\mathcal C}\mathcal C(c,-)\cong N(c\downarrow\mathcal C)^{\mathrm{op}}
$$
であり、$c\downarrow\mathcal C$ は始対象 $\mathrm{id}_c$ をもつので、その実現は可縮である。余極限 $\operatorname{colim}_{\mathcal C}\mathcal C(c,-)$ は一点なので、この場合は自然な写像 $\operatorname{hocolim}\to\operatorname{colim}$ が弱同値である。
押し出しの形の図式
ex-hocolim-strict-fails の圏 $\Lambda$（射 $0\to1$、$0\to2$）について、$P:=N(\Lambda^{\mathrm{op}})$ とおく。$P$ は頂点 $0,1,2$ と、$1$ から $0$ への辺、$2$ から $0$ への辺の二本を非退化単体としてもつ単体的集合で、その実現は線分である。頂点 $j$ だけからなる部分単体的集合を $\{j\}$ と書く。
図式 $X_1\xleftarrow{f}X_0\xrightarrow{g}X_2$ のホモトピー余極限は、押し出し
$$
\operatorname{hocolim}_{\Lambda}X\cong(X_1\amalg X_2)\amalg_{X_0\times\{1\}\amalg X_0\times\{2\}}(X_0\times P)
$$
（$X_0\times\{1\}$ は $f$ で $X_1$ に、$X_0\times\{2\}$ は $g$ で $X_2$ に貼る）と同型である。
要点：$\Lambda$ の射の列は「途中まで $j$、そこから先は $0$」の形しかないので、最後の頂点が $0$ の単体と、$1$ または $2$ に止まった単体に分かれる。
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$P$ の $n$ 単体 $a=(a_0\leftarrow\cdots\leftarrow a_n)$ は、ある $j\in\{1,2\}$ と $0\le m\le n+1$ について $a_k=j$（$k< m$）、$a_k=0$（$k\ge m$）となる列か、$1$ または $2$ に止まった列である。とくに $a_n\ne0$ なら $a$ は止まった列である。prop-hocolim-simplices の $S$ への写像 $\Phi$ を、$(x,a)\in(X_0\times P)_n$ について $a_n=0$ なら $(a,x)$、$a$ が $1$ に止まった列なら $(a,f(x))$、$2$ に止まった列なら $(a,g(x))$ とし、$y\in(X_j)_n$ を $j$ に止まった列との組 $(a,y)$ に送って定める。$\Phi$ は全射で、押し出しで同じ元になる二元（$j$ に止まった列 $a$ との組 $(x,a)$ と、$j=1$ なら $f(x)$、$j=2$ なら $g(x)$）を同じ元に送る。押し出しは単射 $X_0\times\{1,2\}\subset X_0\times P$ に沿うので、各次数で $(X_0\times P)\smallsetminus(X_0\times\{1,2\})$ と $X_1\amalg X_2$ の非交和であり、$\Phi$ はこれと $S_n$ の全単射を誘導する。作用との両立で自明でないのは、$a_n=0$、$a_{n-1}=j$ の単体の $d_n$ だけである。$S$ では $d_n(a,x)=(d_na,X(0\to j)(d_nx))$ で、$d_na$ は $j$ に止まった列なので、これは $\Phi(d_nx,d_na)$ に等しい。ほかの面写像と退化写像は $a_n$ を保つか、止まった列を止まった列に送る。よって $\Phi$ は同型を与える。$\square$
この単体的集合は $f$ と $g$ の 二重写像柱 とよばれる（Hir03 Example 18.1.5）。$X_2$ を一点にすれば、$f$ の写像柱の端の $X_0$ を一点に潰したもの、すなわち写像錐の単体的な形である（写像柱・写像錐(位相)）。
ex-hocolim-strict-fails の $D=(\Delta^0\leftarrow\partial\Delta^1\rightarrow\Delta^0)$ では、$X_0=\partial\Delta^1$ の二点を $p,q$ とすると、$X_0\times P$ は $P$ の二つの写し $P_p,P_q$ の非交和であり、prop-hocolim-span により両方の頂点 $1$ が一点に、両方の頂点 $2$ が一点に貼られる。結果は、頂点 $1,0_p,2,0_q$ を順に辺で結んで $1$ に戻る、四本の辺が輪をなす単体的集合で、実現は円周と同相である。$D'$ のホモトピー余極限も、次の主定理により同じ弱ホモトピー型をもつ。余極限は $D$ では一点、$D'$ では円周だったので、ホモトピー余極限は二つの図式の違いを消している。
主定理：ホモトピー不変性
$f\colon X\to Y$ を図式 $\mathcal C\to\mathbf{sSet}$ の射とし、すべての対象 $c$ について $f_c\colon X(c)\to Y(c)$ が弱同値であるとする。このとき
$$
\operatorname{hocolim}f\colon\operatorname{hocolim}_{\mathcal C}X\to\operatorname{hocolim}_{\mathcal C}Y
$$
は弱同値である。
prop-hocolim-replacement の同型は $X$ について自然なので、$f$ が誘導する二重単体的集合の射 $Z(f)\colon Z(X)\to Z(Y)$ について、対角の写像 $\operatorname{diag}Z(f)$ が弱同値であることを示せばよい。
第一段：横の各次数 $p$ で、$Z(f)_{p,\bullet}=\coprod_{a}f_{a_p}\colon\coprod_aX(a_p)\to\coprod_aY(a_p)$ は弱同値である。実際、実現は余極限を保つので（幾何学的実現 の系「余極限の保存」）、$\lvert\coprod_aX(a_p)\rvert$ は $\lvert X(a_p)\rvert$ の非交和で、各成分は開かつ閉である。弧状連結成分は一つの成分の中にあり、基点を含む弧状連結成分のホモトピー群はその成分の中で計算される。各 $\lvert f_{a_p}\rvert$ は弧状連結成分の集合とすべての基点でのホモトピー群に全単射を誘導するので、非交和の間の写像も同じ性質をもつ。
第二段：横の各次数で弱同値である二重単体的集合の射は、lem-hocolim-diagonal の左辺（実現）の間の弱同値を誘導する（Hir03 Theorem 15.11.11。この記事では証明しない）。
第三段：lem-hocolim-diagonal の同型は $Z$ について自然なので、第一段と第二段から $\operatorname{diag}Z(f)$ は弱同値であり、$\operatorname{hocolim}f$ も弱同値である。$\blacksquare$
ex-hocolim-strict-fails の射 $D'\to D$ では各成分が弱同値なので、ホモトピー余極限の間の写像は弱同値であり、どちらも円周と弱ホモトピー同値である（ex-hocolim-span-circle）。一般の単体的モデル圏では、各成分が余ファイブラントな図式の間の、各成分が弱同値である射について同じ結論が成り立つ（Hir03 Theorem 18.5.3。この記事では証明しない）。単体的集合ではすべての対象が余ファイブラントなので、この仮定は現れない。また、余極限関手は各成分ごとの弱同値に関する左導来関手をもち、各成分が余ファイブラントな図式では、それは $N(c\downarrow\mathcal C)$ を使う同様の式で計算される（Rie14 Corollary 5.1.3・Corollary 5.2.5・Theorem 6.6.1。この記事では証明しない）。この意味で、ホモトピー余極限は余極限の左導来関手を表す。
写像の空間とホモトピー極限
単体的集合 $A,B$ について、$n$ 単体を写像 $A\times\Delta^n\to B$ とする写像の単体的集合を $\operatorname{Map}(A,B)$ と書く（Kan–Quillenモデル構造 の補題「写像の単体的集合と積の随伴」）。$\mathcal C^{\mathrm{op}}$ を添字とする二つの図式 $Q,R\colon\mathcal C^{\mathrm{op}}\to\mathbf{sSet}$ について、$n$ 単体を図式の射 $Q\times\Delta^n\to R$ とする単体的集合を $\operatorname{Map}_{\mathcal C^{\mathrm{op}}}(Q,R)$ と書く。
単体的集合 $Y$ について、$X$ と $Y$ について自然な同型
$$
\operatorname{Map}\bigl(\operatorname{hocolim}_{\mathcal C}X,\ Y\bigr)\cong\operatorname{Map}_{\mathcal C^{\mathrm{op}}}\bigl(N(-\downarrow\mathcal C)^{\mathrm{op}},\ \operatorname{Map}(X(-),Y)\bigr)
$$
がある。
要点：$-\times\Delta^n$ はコエンドを保ち、$\operatorname{Hom}(-,Y)$ はコエンドをエンドに変え、積の随伴で $X(c)$ を右へ移す。
詳しい証明を開く
$N_c:=N(c\downarrow\mathcal C)^{\mathrm{op}}$ とおく。左辺の $n$ 単体は写像 $\operatorname{hocolim}_{\mathcal C}X\times\Delta^n\to Y$ である。$-\times\Delta^n$ は次数ごとに固定した集合との積なので余極限を保ち、$\operatorname{hocolim}_{\mathcal C}X\times\Delta^n\cong\int^cX(c)\times N_c\times\Delta^n$ である。コエンド の命題「Hom 関手はコエンドをエンドに変える」と、Kan–Quillenモデル構造 の補題「写像の単体的集合と積の随伴」の 1（$A=X(c)$、$K=N_c\times\Delta^n$）により、$\operatorname{Hom}\bigl(\int^cX(c)\times N_c\times\Delta^n,\ Y\bigr)\cong\int_c\operatorname{Hom}\bigl(X(c)\times N_c\times\Delta^n,\ Y\bigr)\cong\int_c\operatorname{Hom}\bigl(N_c\times\Delta^n,\ \operatorname{Map}(X(c),Y)\bigr)$ であり、右端は エンド の命題「自然変換の集合」により、$\mathcal C^{\mathrm{op}}$ の図式の射 $N_\bullet\times\Delta^n\to\operatorname{Map}(X(\bullet),Y)$ の集合である。これは右辺の $n$ 単体の集合である。どの全単射も $\Delta^n$ について自然なので、順序写像 $\theta\colon[m]\to[n]$ による $\mathrm{id}\times\theta$ との合成と両立し、単体的集合の同型を得る。$X$ と $Y$ についての自然性も同じ理由による。$\square$
右辺を ホモトピー極限 の式と比べる。$J:=\mathcal C^{\mathrm{op}}$ とおくと、$c\downarrow\mathcal C$ の対象 $c\to d$ は $J$ の射 $d\to c$ で、射の向きは逆になるので、$(c\downarrow\mathcal C)^{\mathrm{op}}$ は $J$ のスライス圏 $J/c$ と同型であり、$N(c\downarrow\mathcal C)^{\mathrm{op}}\cong N(J/c)$ である。したがって右辺は、ホモトピー極限 の節「一般の図式のホモトピー極限」の Bousfield–Kan の式 $\operatorname{Hom}_{\mathrm{sSet}^J}(B(J/-),D)$ を、$D=\operatorname{Map}(X(-),Y)$ に当てたものそのものである。$Y$ が Kan複体 なら各 $\operatorname{Map}(X(c),Y)$ は Kan 複体なので（Kan–Quillenモデル構造 の系「単体的モデル構造」の 2）、同節により
$$
\operatorname{Map}\bigl(\operatorname{hocolim}_{\mathcal C}X,\ Y\bigr)\simeq\operatorname{holim}_{\mathcal C^{\mathrm{op}}}\operatorname{Map}(X(-),Y)
$$
（弱同値の列で結ばれる）を得る。ホモトピー余極限から出る写像の空間は、成分から出る写像の空間のホモトピー極限である。一般の単体的モデル圏でも、prop-hocolim-mapping の右辺と同じ式との同型が成り立つ（Hir03 Theorem 18.1.10。そこではこの式でホモトピー極限を定めている）。
反例の表
thm-hocolim-invariance の内容のうち二つを、一つずつ外す。図式はどちらも ex-hocolim-strict-fails の圏 $\Lambda$ を添字とする。
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 各成分が弱同値（$X_0$ の成分だけを外す） | $(\Delta^0\leftarrow\partial\Delta^1\to\Delta^0)\to(\Delta^0\leftarrow\Delta^0\to\Delta^0)$ | ホモトピー余極限の間の写像が弱同値（円周 $\to$ 可縮） |
| ホモトピー余極限をとる（通常の余極限に替える） | ex-hocolim-strict-fails の $D'\to D$ | 誘導される写像が弱同値（円周 $\to$ 一点） |
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1 行目：$X_1,X_2$ の成分は恒等写像で弱同値だが、$X_0$ の成分 $\partial\Delta^1\to\Delta^0$ は連結成分の数が $2$ と $1$ なので弱同値でない。始域のホモトピー余極限は ex-hocolim-span-circle により円周の単体的な形である。終域は一点の定数図式なので、ex-hocolim-constant によりホモトピー余極限は $N(\Lambda^{\mathrm{op}})=P$ で、その実現は線分であり可縮である（$\Lambda$ は始対象 $0$ をもつ）。円周の基本群は $\mathbb Z$ で自明でないので、写像は弱同値でない。
2 行目：各成分が弱同値であることは ex-hocolim-strict-fails で確かめた。余極限は円周と一点で、弱同値でない。同じ射のホモトピー余極限の間の写像は thm-hocolim-invariance により弱同値である。
発展
添字の圏と値の圏がともに Hom を Kan複体 とする単体的豊穣圏であるとき、その中で写像空間を使って定めたホモトピー余極限は、ホモトピー整合的脈体をとった∞圏の余極限と一致する（HTT09 Theorem 4.2.4.1。この記事では証明しない）。この意味でホモトピー余極限は、余極限(∞圏) を単体的集合や単体的モデル圏の具体的な対象として計算する方法である。
関連項目
参考文献
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