アーベル圏
概要
アーベル圏（Abelian category）とは、任意の射が核と余核をもつなど、いくつかの条件を満たす圏のクラスである。完全列の概念を定式化することができることと鎖複体からホモロジーやコホモロジーを取り出せることから、ホモロジー代数を展開する土台として基本的な役割を果たす。実際、環上の加群のなす圏や位相空間上の加群に値を取る層のなす圏などを例として持ち、それぞれの圏で個別に展開されていたホモロジー代数はアーベル圏において統一的に扱うことができる。
$$\newcommand{AA}[0]{\mathbb{A}}
\newcommand{AbCat}[0]{\mathsf{Ab}}
\newcommand{abelcat}[0]{\mathcal{A}}
\newcommand{cat}[0]{\mathcal{C}}
\newcommand{CC}[0]{\mathbb{C}}
\newcommand{commring}[0]{A}
\newcommand{DD}[0]{\mathbb{D}}
\newcommand{domain}[0]{\commring}
\newcommand{family}[2]{( #1 )_{#2}}
\newcommand{FF}[0]{\mathbb{F}}
\newcommand{func}[3]{{#1}\colon{#2}\rightarrow{#3}}
\newcommand{FuncCat}[2]{\mathsf{Func}(#1, #2)}
\newcommand{generate}[2]{\langle #1 \rangle_{#2}}
\newcommand{GG}[0]{\mathbb{G}}
\newcommand{HH}[0]{\mathbb{H}}
\newcommand{ideal}[0]{I}
\newcommand{idealgen}[2]{\generate{#1}{#2}}
\newcommand{invert}[0]{^{-1}}
\newcommand{KanExt}[2]{\ordpair{ #1, #2 }}
\newcommand{kerpair}[3]{\ordpair{ #1, #2, #3 }}
\newcommand{ModCat}[1]{\mathsf{Mod}(#1)}
\newcommand{module}[1]{#1}
\newcommand{modulegen}[2]{\generate{#1}{#2}}
\newcommand{MonoSet}[1]{\mathsf{Mono}(#1)}
\newcommand{morph}[3]{{#1}\colon{#2}\rightarrow{#3}}
\newcommand{NN}[0]{\mathbb{N}}
\newcommand{op}[0]{^{\mathsf{op}}}
\newcommand{ordpair}[1]{\langle #1 \rangle}
\newcommand{overcat}[2]{{#1}_{/#2}}
\newcommand{PP}[0]{\mathbb{P}}
\newcommand{QQ}[0]{\mathbb{Q}}
\newcommand{RegEpiSet}[1]{\mathsf{RegEpi}(#1)}
\newcommand{ring}[0]{R}
\newcommand{RR}[0]{\mathbb{R}}
\newcommand{SetCat}[0]{\mathsf{Set}}
\newcommand{sexseq}[3]{\zeroobj\rightarrow{#1}\rightarrow{#2}\rightarrow{#3}\rightarrow\zeroobj}
\newcommand{TopCat}[0]{\mathsf{Top}}
\newcommand{TT}[0]{\mathbb{T}}
\newcommand{undercat}[2]{#1_{\backslash #2}}
\newcommand{zeroobj}[0]{0}
\newcommand{ZZ}[0]{\mathbb{Z}}
$$
アーベル圏の定義とその特徴づけ
アーベル圏
圏$\abelcat$がアーベル圏であるとは、次の条件を満たすことをいう。
(1) $\abelcat$は有限完備かつ有限余完備である。
(2) $\abelcat$は零対象を持つ。
(3) 一意的な正則エピ-正則モノ分解ができる。
