多重劣調和関数

$v(\zeta):=u(a+\zeta b)$ とおく。
1 ⇒ 2：仮定から $\Omega_{a,b}$ は閉円板 $|\zeta|\le1$ を含み、$v$ はそこで劣調和である。劣調和関数 の定理「劣平均値の性質（すべての半径）」を円 $|\zeta|=1$ に使えば 2 の不等式になる（円周上の正規化された測度は $d\theta/2\pi$ である）。
2 ⇒ 1：$\zeta_0\in\Omega_{a,b}$ とし、$R>0$ を閉円板 $|\zeta-\zeta_0|\le R$ が $\Omega_{a,b}$ に入るようにとる。$0< r< R$ について $a':=a+\zeta_0b$、$b':=rb$ とおくと $\{a'+\zeta b'\mid|\zeta|\le1\}\subset\Omega$ なので、2 から $v(\zeta_0)\le\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}v(\zeta_0+re^{i\theta})\,d\theta$ である。これは $\zeta_0$ での局所的な劣平均値の性質であり、$v$ は上半連続なので劣調和である。$\square$

要点：複素数値の 1 次形式を $dz_l$、$d\bar z_l$ で展開し、正則写像では $F^*dz_l$ が $dw_j$ だけ、$F^*d\bar z_l$ が $d\bar w_k$ だけで書けることを使う。

$a\in\Omega$、$b\in\mathbb C^n$ について $v(\zeta)=u(a+\zeta b)$ は $\Omega_{a,b}$ 上の $C^2$ 級関数で、lem-psh-chain の 3 によりその Laplace 作用素は $4L_u(a+\zeta b;b)$ である。
Levi 形式が半正定値なら、すべての $a,b$ について $v$ の Laplace 作用素は $0$ 以上なので、劣調和関数 の定理「$C^2$ 級関数の劣調和性の判定」により $v$ は劣調和である。$u$ は連続なので上半連続であり、$u$ は多重劣調和である。
逆に、ある $z$ と $b$ で $L_u(z;b)<0$ とする。$a=z$ とおくと $v$ の Laplace 作用素は $\zeta=0$ で負なので、同じ定理により $v$ は $0$ の近くで劣調和でない。よって $u$ は多重劣調和でない。$\square$

$\log S$ は $[-\infty,\infty)$ に値をとる連続関数なので上半連続である。$a,b$ を固定し、$g_j(\zeta):=f_j(a+\zeta b)$、$T:=\sum_j|g_j|^2$ とおく。$T(\zeta_0)=0$ の点では $\log T(\zeta_0)=-\infty$ なので劣平均値の不等式は自明である。$T>0$ となる開集合の上では $\log T$ は $C^\infty$ 級で、$g_j$ が正則（$\partial g_j/\partial\bar\zeta=0$、$\partial\bar g_j/\partial\zeta=0$）であることから $\partial T/\partial\zeta=\sum_jg_j'\bar g_j$、$\partial^2T/\partial\zeta\partial\bar\zeta=\sum_j|g_j'|^2$ となり、
$$ \frac{\partial^2\log T}{\partial\zeta\partial\bar\zeta}=\frac{T\,\sum_j|g_j'|^2-\bigl|\sum_jg_j'\bar g_j\bigr|^2}{T^2}\ \ge\ 0 $$
である（Cauchy–Schwarz の不等式）。劣調和関数 の定理「$C^2$ 級関数の劣調和性の判定」により、$\log T$ は $T>0$ の開集合の上で劣調和である。劣調和性は局所的な条件なので、$\log T$ は $\Omega_{a,b}$ 全体で劣調和であり、$\log S$ は多重劣調和である。
$\log|z|$ は $f_j=z_j$ の場合の $\frac12\log S$ である。$\log(1+|z|^2)$ は $f_0=1$、$f_j=z_j$ の場合で、同じ計算で Levi 形式は
$$ L(z;b)=\frac{(1+|z|^2)|b|^2-\bigl|\sum_j\bar z_jb_j\bigr|^2}{(1+|z|^2)^2}\ \ge\ \frac{|b|^2}{(1+|z|^2)^2} $$
である（Cauchy–Schwarz の不等式 $|\sum_j\bar z_jb_j|^2\le|z|^2|b|^2$）。$b\ne0$ なら正である。$\square$

$u$ を多重劣調和とし、$\overline B(a,r)\subset\Omega$ とする。$S\subset\mathbb C^n$ を単位球面、$\sigma$ をその上の正規化された表面積測度とする。各 $\zeta\in S$ について $\{a+tr\zeta\mid t\in\mathbb C,\ |t|\le1\}\subset\overline B(a,r)\subset\Omega$ なので、prop-psh-disc により
$$ u(a)\le\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}u(a+re^{i\theta}\zeta)\,d\theta $$
である。$\zeta$ について $\sigma$ で積分し、積分の順序を入れ替えると
$$ u(a)\le\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\int_Su(a+re^{i\theta}\zeta)\,d\sigma(\zeta)\,d\theta=\int_Su(a+r\zeta)\,d\sigma(\zeta) $$
となる。等号は、各 $\theta$ について $\zeta\mapsto e^{i\theta}\zeta$ が $\mathbb R^{2n}$ の直交変換で、$\sigma$ を保つことによる。積分の順序の入れ替えは、$(\theta,\zeta)\mapsto u(a+re^{i\theta}\zeta)$ が Borel 可測（上半連続関数と連続写像の合成）で、コンパクト集合 $\overline B(a,r)$ の上で $u$ が上に有界（半連続性 の記事の定理「コンパクト空間上の極値」）なことから、$\sup u-u\ge0$ に Tonelli の定理を使って正当化される。よって $u$ はすべての閉球で劣平均値の不等式を満たし、上半連続なので $\mathbb R^{2n}$ の意味で劣調和である。$\square$

thm-psh-sh により $u$ は $\mathbb R^{2n}$ の連結な開集合の上の劣調和関数なので、劣調和関数 の定理「劣調和関数の最大値原理」がそのまま使える。$\square$

1〜4：上半連続性は 劣調和関数 の命題「和・最大値・上限」と命題「凸関数との合成」の証明と同じく分かる。複素直線への制限について、和・最大値・上限・合成は制限と可換なので、同じ 2 つの命題から制限は劣調和である。
5：$\{u< c\}=\bigcup_k\{u_k< c\}$ は開集合なので $u$ は上半連続である。$\{a+\zeta b\mid|\zeta|\le1\}\subset\Omega$ とすると、prop-psh-disc により各 $k$ で
$$ u(a)\le u_k(a)\le\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}u_k(a+e^{i\theta}b)\,d\theta $$
である。$u_1$ は円周の上で上に有界で、$u_1-u_k$ は $0$ 以上で増加して $u_1-u$ に収束するので、単調収束定理により右辺は $k\to\infty$ で $\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}u(a+e^{i\theta}b)\,d\theta$（$-\infty$ でもよい）に収束する。よって $u$ は prop-psh-disc の条件 2 を満たす。$\square$

要点：「近くで可積分な点」の集合が空でない開かつ閉な集合であることを、劣平均値の不等式で示す。

要点：大きい球面の上で $u$ を上から連続関数で近似し、その調和な拡張と比べる。

段 1（滑らかさ）：thm-psh-sh により $u$ は $\mathbb R^{2n}$ の意味で劣調和で、lem-psh-l1loc を $\Omega$ の各連結成分に使うと $u\in L^1_{\mathrm{loc}}(\Omega)$ である。$u_\varepsilon$ は $u$ の軟化にほかならないので、Weylの補題 の補題「軟化の基本性質」の 1 により $\Omega_\varepsilon$ 上で実数値 $C^\infty$ 級である。
段 2（多重劣調和性）：$a\in\Omega_\varepsilon$、$b\in\mathbb C^n$ が $D:=\{a+\zeta b\mid|\zeta|\le1\}\subset\Omega_\varepsilon$ を満たすとする。$|w|\le\varepsilon$ なら、$D$ を $-w$ だけ平行移動した円板は $\Omega$ に含まれる（$\Omega_\varepsilon$ の点 $x$ について $\overline B(x,\varepsilon)\subset\Omega$）ので、prop-psh-disc により
$$ u(a-w)\le\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}u(a-w+e^{i\theta}b)\,d\theta $$
である。$\rho_\varepsilon(w)\ge0$ を掛けて $w$ について積分し、積分の順序を入れ替える（被積分関数はコンパクト集合 $D+\overline B(0,\varepsilon)\subset\Omega$ の上の値だけを使い、そこで $u$ は上に有界なので、prf-psh-sh と同じく Tonelli の定理が使える）と、$u_\varepsilon(a)\le\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}u_\varepsilon(a+e^{i\theta}b)\,d\theta$ を得る。$u_\varepsilon$ は連続なので、prop-psh-disc により $\Omega_\varepsilon$ 上で多重劣調和である。
段 3（単調性）：変数を $w=\varepsilon y$ と替え、極座標 $y=t\zeta$（$0\le t\le1$、$\zeta\in S$）で書くと、lem-psh-monotone の記号（$N=2n$、中心 $z$）で
$$ u_\varepsilon(z)=\int_{|y|\le1}u(z-\varepsilon y)\rho(y)\,dV(y)=N\,V(B)\int_0^1t^{N-1}\tilde\rho(t)\,M(\varepsilon t)\,dt $$
である（$\sigma$ は $\zeta\mapsto-\zeta$ で不変。極座標の公式は、上に有界な可測関数について 劣調和関数 の定理「劣平均値の性質（すべての半径）」の証明と同じく成り立つ）。lem-psh-monotone により $M(\varepsilon t)$ は $\varepsilon$ について非減少で $u(z)$ 以上であり、$t^{N-1}\tilde\rho(t)\ge0$、$N\,V(B)\int_0^1t^{N-1}\tilde\rho(t)\,dt=\int\rho=1$ なので、2 が従う。
段 4（収束）：$c>u(z)$ を実数とする。上半連続性から $\delta>0$ があり、$B(z,\delta)$ の上で $u< c$ である。$\varepsilon<\delta$ なら $u_\varepsilon(z)$ は $B(z,\varepsilon)$ の上の $u$ の重み付き平均なので $u_\varepsilon(z)\le c$ である。よって $\limsup_{\varepsilon\to0}u_\varepsilon(z)\le u(z)$ で、2 の $u_\varepsilon(z)\ge u(z)$ と合わせて 3 を得る（$u(z)=-\infty$ でも同じ議論で $u_\varepsilon(z)\to-\infty$）。$\square$

$u\circ F$ は上半連続関数と連続写像の合成なので上半連続である。多重劣調和性は局所的なので、各点 $w_0\in\Omega'$ の近傍で示せばよい。$\Omega_0$ を $F(w_0)$ を含む $\Omega$ の連結成分とする。
$u$ が $\Omega_0$ の上で恒等的に $-\infty$ なら、$F^{-1}(\Omega_0)$ は $w_0$ の開近傍で、その上で $u\circ F\equiv-\infty$ であり、多重劣調和である。
そうでないとき、thm-psh-regularization を $\Omega_0$ の上の $u$ に使う。$F(w_0)\in(\Omega_0)_{\varepsilon_0}$ となる $\varepsilon_0>0$ をとり（$\varepsilon$ を小さくすれば $(\Omega_0)_\varepsilon$ は $\Omega_0$ の各点を含む）、$w_0$ の開近傍 $V$ を $F(V)\subset(\Omega_0)_{\varepsilon_0}$ となるようにとる（$(\Omega_0)_{\varepsilon_0}$ は開集合で $F$ は連続）。$\varepsilon_k:=\varepsilon_0/k$ とおくと、$u_{\varepsilon_k}$ は $(\Omega_0)_{\varepsilon_k}\supset(\Omega_0)_{\varepsilon_0}\supset F(V)$ の上の $C^\infty$ 級の多重劣調和関数である。thm-psh-c2 により Levi 形式が半正定値で、lem-psh-chain の 2 により $u_{\varepsilon_k}\circ F$ の Levi 形式も半正定値なので、$u_{\varepsilon_k}\circ F$ は $V$ 上で多重劣調和である。thm-psh-regularization の 2・3 により、$V$ の各点で $u_{\varepsilon_k}\circ F$ は $k$ について単調非増加で $u\circ F$ に収束する。prop-psh-operations の 5 により $u\circ F$ は $V$ 上で多重劣調和である。$\square$