極座標で表された図形の面積

$r=2\cos\theta$（$-\dfrac\pi2\le\theta\le\dfrac\pi2$）は、中心 $(1,0)$、半径 $1$ の円である（極座標と極方程式 の系「原点を通る円の極方程式」）。公式で計算すると
$$ S=\frac12\int_{-\pi/2}^{\pi/2}4\cos^2\theta\,d\theta=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}(1+\cos2\theta)\,d\theta=\Bigl[\theta+\frac{\sin2\theta}2\Bigr]_{-\pi/2}^{\pi/2}=\pi $$
である。半径 $1$ の円の面積 $\pi$ と一致する。

カージオイド $r=1+\cos\theta$（$0\le\theta\le2\pi$）が囲む部分の面積を求める。$(1+\cos\theta)^2=1+2\cos\theta+\cos^2\theta=1+2\cos\theta+\dfrac{1+\cos2\theta}2$ で、$\displaystyle\int_0^{2\pi}\cos\theta\,d\theta=\int_0^{2\pi}\cos2\theta\,d\theta=0$ なので
$$ S=\frac12\int_0^{2\pi}(1+\cos\theta)^2\,d\theta=\frac12\Bigl(2\pi+0+\pi\Bigr)=\frac{3\pi}2=4.712\ldots $$
である。直交座標の式 $(x^2+y^2-x)^2=x^2+y^2$（極座標と極方程式 の例「螺旋・カージオイド・レムニスケート」）で縦に切って積分するより、ずっと簡単である。

Archimedes の螺旋 $r=\theta$ の $0\le\theta\le2\pi$ の部分と、始線の $0\le x\le2\pi$ の部分で囲まれた部分（原点から出た半直線が 1 周するあいだに、原点と螺旋の間を掃く部分）の面積は
$$ S=\frac12\int_0^{2\pi}\theta^2\,d\theta=\frac12\cdot\frac{(2\pi)^3}3=\frac{4\pi^3}3=41.34\ldots $$
である。

1. 半径 $2$、中心角 $\dfrac\pi3$ の扇形の面積は $\dfrac12\cdot4\cdot\dfrac\pi3=\dfrac{2\pi}3$ である。円の面積 $4\pi$ の $\dfrac{\pi/3}{2\pi}=\dfrac16$ にあたる。
2. $f(\theta)=c$（定数 $c>0$）とすると、$D(\alpha,\beta)$ は半径 $c$、中心角 $\beta-\alpha$ の扇形そのものである。後の thm-pol-area の公式は $\dfrac12\displaystyle\int_\alpha^\beta c^2\,d\theta=\dfrac12c^2(\beta-\alpha)$ となり、扇形の公式と一致する。

カージオイド $r=1+\cos\theta$ で、$0\le\theta\le2\pi$ を $n$ 等分し、各部分で $f$ の最小値を半径とする扇形（内側の扇形）と、最大値を半径とする扇形（外側の扇形）の面積の和を計算すると、次のようになる。

どの $n$ でも $\dfrac{3\pi}2=4.7123\ldots$（ex-pol-start-cardioid）を挟み、$n$ を大きくすると両方が近づいていく。$n=6$ の内側の和を手で確かめる。6 つの部分 $\Bigl[\dfrac{k\pi}3,\dfrac{(k+1)\pi}3\Bigr]$ での $1+\cos\theta$ の最小値は、順に $\dfrac32,\ \dfrac12,\ 0,\ 0,\ \dfrac12,\ \dfrac32$（$\cos$ は $[0,\pi]$ で減少、$[\pi,2\pi]$ で増加するので、各部分の端で最小）である。扇形の面積の和は
$$ \frac12\cdot\frac\pi3\Bigl(\frac94+\frac14+0+0+\frac14+\frac94\Bigr)=\frac\pi6\cdot5=\frac{5\pi}6=2.6179\ldots $$
で、表と一致する（図 2 は $n=12$ の内側の扇形）。

1. レムニスケート $r^2=\cos2\theta$。$r\ge0$ で点があるのは $\cos2\theta\ge0$ の方向で、右の輪は $-\dfrac\pi4\le\theta\le\dfrac\pi4$ で $f(\theta)=\sqrt{\cos2\theta}$ である。その面積は
   $$ \frac12\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\cos2\theta\,d\theta=\frac12\Bigl[\frac{\sin2\theta}2\Bigr]_{-\pi/4}^{\pi/4}=\frac12\cdot\Bigl(\frac12+\frac12\Bigr)=\frac12 $$
   である。左の輪（$\dfrac{3\pi}4\le\theta\le\dfrac{5\pi}4$）も同じく $\dfrac12$ で、2 つの輪を合わせた面積は $1$ である。
2. 正葉曲線 $r=\cos3\theta$ の 1 枚の花びら。$r\ge0$ の約束では、$\cos3\theta\ge0$ となる $-\dfrac\pi6\le\theta\le\dfrac\pi6$ の部分が 1 枚の花びらで、面積は
   $$ \frac12\int_{-\pi/6}^{\pi/6}\cos^23\theta\,d\theta=\frac14\int_{-\pi/6}^{\pi/6}(1+\cos6\theta)\,d\theta=\frac14\cdot\frac\pi3=\frac\pi{12} $$
   である（$\displaystyle\int_{-\pi/6}^{\pi/6}\cos6\theta\,d\theta=\Bigl[\frac{\sin6\theta}6\Bigr]_{-\pi/6}^{\pi/6}=0$）。$\cos3\theta\ge0$ となる $\theta$ の範囲は $0\le\theta<2\pi$ に 3 か所あり、花びらは 3 枚で、合計は $\dfrac\pi4$ である。

1. カージオイド $r=1+\cos\theta$ の内側で、円 $r=1$ の外側にある部分。$1\le1+\cos\theta$ となるのは $\cos\theta\ge0$、すなわち $-\dfrac\pi2\le\theta\le\dfrac\pi2$ の方向である。cor-pol-between により
   $$ \frac12\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\bigl((1+\cos\theta)^2-1\bigr)\,d\theta=\frac12\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\bigl(2\cos\theta+\cos^2\theta\bigr)\,d\theta=\frac12\Bigl(4+\frac\pi2\Bigr)=2+\frac\pi4 $$
   である。$\displaystyle\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos\theta\,d\theta=2$、$\displaystyle\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^2\theta\,d\theta=\frac\pi2$ を使った。
2. 円 $r=2\cos\theta$ の内側で、円 $r=1$ の外側にある部分（三日月形）。2 つの円は $2\cos\theta=1$、すなわち $\theta=\pm\dfrac\pi3$ の方向で交わる。
   $$ \frac12\int_{-\pi/3}^{\pi/3}\bigl(4\cos^2\theta-1\bigr)\,d\theta=\frac12\int_{-\pi/3}^{\pi/3}\bigl(1+2\cos2\theta\bigr)\,d\theta=\frac12\Bigl[\theta+\sin2\theta\Bigr]_{-\pi/3}^{\pi/3}=\frac12\Bigl(\frac{2\pi}3+\sqrt3\Bigr)=\frac\pi3+\frac{\sqrt3}2 $$
   である（$4\cos^2\theta-1=2(1+\cos2\theta)-1$）。数値では $1.9132\ldots$ である。

螺旋 $r=\theta$ を $0\le\theta\le4\pi$ で考え、原点から螺旋上の点までの線分が通る部分
$$ D=\{(r\cos\theta,\ r\sin\theta)\mid0\le\theta\le4\pi,\ 0\le r\le\theta\} $$
の面積を求める。公式をそのまま使うと $\dfrac12\displaystyle\int_0^{4\pi}\theta^2\,d\theta=\dfrac{32\pi^3}3$ となる。
実際の $D$ を調べる。偏角 $\varphi$（$0<\varphi<2\pi$）の方向の点は、$\theta=\varphi$ のときの線分（長さ $\varphi$）と、$\theta=\varphi+2\pi$ のときの線分（長さ $\varphi+2\pi$）で通られる。同じ方向の線分なので長いほうが短いほうを含み、$D$ のこの方向の部分は長さ $\varphi+2\pi$ の線分である。始線の方向（$\varphi=0$）では $\theta=0,2\pi,4\pi$ の線分（長さ $0$、$2\pi$、$4\pi$）が通り、いちばん長いのは $\theta=4\pi$ のものである。つまり $D$ は $2\pi\le\theta\le4\pi$ の 1 周分だけで作った部分と同じで、thm-pol-area により面積は
$$ \frac12\int_{2\pi}^{4\pi}\theta^2\,d\theta=\frac12\cdot\frac{(4\pi)^3-(2\pi)^3}3=\frac{28\pi^3}3 $$
である。公式をそのまま使った値との差 $\dfrac{4\pi^3}3$ は、1 周目の部分（ex-pol-start-spiral）の面積で、2 回数えられた（図 4 の左）。
満たす性質：$f(\theta)=\theta$ は連続で $0$ 以上。満たさない性質：$\beta-\alpha\le2\pi$。破る主張：thm-pol-area の「公式の値が $D$ の面積」。証明の段 1 で、重なりがないことを使っていた。

$r=1+2\cos\theta$ を考える。$1+2\cos\theta\ge0$ となるのは $\cos\theta\ge-\dfrac12$、すなわち $-\dfrac{2\pi}3\le\theta\le\dfrac{2\pi}3$ の方向なので、$r\ge0$ の約束では、曲線はこの方向の部分だけで、1 つの閉じた曲線になる（図 4 の右の実線）。囲む部分の面積は、$(1+2\cos\theta)^2=3+4\cos\theta+2\cos2\theta$ を使って
$$ \frac12\int_{-2\pi/3}^{2\pi/3}\bigl(3+4\cos\theta+2\cos2\theta\bigr)\,d\theta=\frac12\Bigl(4\pi+4\sqrt3-\sqrt3\Bigr)=2\pi+\frac{3\sqrt3}2=8.881\ldots $$
である（$\displaystyle\int_{-2\pi/3}^{2\pi/3}\cos\theta\,d\theta=2\sin\frac{2\pi}3=\sqrt3$、$\displaystyle\int_{-2\pi/3}^{2\pi/3}\cos2\theta\,d\theta=\sin\frac{4\pi}3=-\frac{\sqrt3}2$）。
ところが、$\theta$ の範囲を気にせずに $0\le\theta\le2\pi$ で積分すると $\dfrac12\displaystyle\int_0^{2\pi}(1+2\cos\theta)^2\,d\theta=\dfrac12(6\pi+0+0)=3\pi=9.424\ldots$ となり、値が違う。$\dfrac{2\pi}3<\theta<\dfrac{4\pi}3$ では $1+2\cos\theta<0$ だが、2 乗すると正になるので、その分 $\dfrac12\displaystyle\int_{2\pi/3}^{4\pi/3}(1+2\cos\theta)^2\,d\theta=\pi-\dfrac{3\sqrt3}2=0.543\ldots$ が余分に足された。$r<0$ も許す流儀（極座標と極方程式 の反例「r<0 も許すと図形が変わる」）では、この部分は外側の曲線の内部にもう 1 つの輪（図 4 の右の破線）を描き、余分な値はその輪の面積にあたる。輪の部分は外側の曲線の囲む部分に含まれているので、2 回数えたことになる。
満たさない性質：$f(\theta)\ge0$。破る主張：thm-pol-area の「公式の値が囲まれた部分の面積」。

レムニスケート $r^2=\cos2\theta$ の面積は $1$ である（ex-pol-basic の 1）。$r^2$ の式がそのまま分かっているからといって、$0\le\theta\le2\pi$ で $\dfrac12\displaystyle\int r^2\,d\theta$ を計算すると
$$ \frac12\int_0^{2\pi}\cos2\theta\,d\theta=\frac12\Bigl[\frac{\sin2\theta}2\Bigr]_0^{2\pi}=0 $$
となる。$\cos2\theta<0$ の方向（たとえば $\theta=\dfrac\pi2$）には $r^2=\cos2\theta$ を満たす $r\ge0$ がなく、曲線の点がない。そこで負の値を積分したので、2 つの輪の面積 $1$ がちょうど打ち消された。
満たさない性質：$[\alpha,\beta]$ のすべての方向で $f(\theta)$ が定まること（def-pol-region の仮定）。破る主張：公式の値が面積であること。極方程式の図形の面積を求めるときは、まず曲線に点がある $\theta$ の範囲を調べる。