曲線の凹凸と接線

$f(x)=x^2$ のグラフ上の 2 点 $(0,0)$ と $(2,4)$ を線分（弦）で結ぶ。

• 中点：横座標 $\frac{0+2}2=1$ で、弦の高さは $\frac{0+4}2=2$、グラフの高さは $f(1)=1$ である。弦のほうが高い。
• $0$ と $2$ を $1:3$ に内分する点：横座標 $\frac34\cdot0+\frac14\cdot2=\frac12$ で、弦の高さは $\frac34\cdot0+\frac14\cdot4=1$、グラフの高さは $f\bigl(\frac12\bigr)=\frac14$ である。これも弦のほうが高い。
  どちらの点でも、弦はグラフより上にある。

図 1 は $f(x)=x^2$、$x=-1$、$y=2$、$\lambda=\frac13$ でかいてある。
$$ z=\frac23\cdot(-1)+\frac13\cdot2=-\frac23+\frac23=0 $$
が内分点である。弦の高さは rem-ccv-chord-height の式で
$$ \frac23f(-1)+\frac13f(2)=\frac23\cdot1+\frac13\cdot4=\frac23+\frac43=2 $$
であり、グラフの高さは $f(0)=0$ である。弦のほうが $2-0=2$ だけ高い。

1. $f(x)=x^2$ は $\mathbb{R}$ で狭義に下に凸である。弦の高さからグラフの高さを引いて整理する。$\bigl((1-\lambda)x+\lambda y\bigr)^2=(1-\lambda)^2x^2+2\lambda(1-\lambda)xy+\lambda^2y^2$ なので
   $$ \begin{aligned} &(1-\lambda)x^2+\lambda y^2-\bigl((1-\lambda)x+\lambda y\bigr)^2\\ &=\bigl((1-\lambda)-(1-\lambda)^2\bigr)x^2-2\lambda(1-\lambda)xy+(\lambda-\lambda^2)y^2\\ &=\lambda(1-\lambda)x^2-2\lambda(1-\lambda)xy+\lambda(1-\lambda)y^2=\lambda(1-\lambda)(x-y)^2 \end{aligned} $$
   である（$(1-\lambda)-(1-\lambda)^2=(1-\lambda)\lambda$、$\lambda-\lambda^2=\lambda(1-\lambda)$ を使った）。これは $0$ 以上で、$x\ne y$、$0<\lambda<1$ なら正である。図 1 の場合は $\frac13\cdot\frac23\cdot(-1-2)^2=\frac29\cdot9=2$ で、ex-ccv-fig1-numeric で求めた差 $2$ と一致する。
2. 1 次関数 $f(x)=px+q$ では、$f\bigl((1-\lambda)x+\lambda y\bigr)=p(1-\lambda)x+p\lambda y+q$ と $(1-\lambda)f(x)+\lambda f(y)=(1-\lambda)(px+q)+\lambda(py+q)=p(1-\lambda)x+p\lambda y+q$ が等しい。よって定義の 1 は常に等号で成り立ち、1 次関数は下に凸かつ上に凸であるが、狭義には下に凸でない。グラフが直線なので、弦はグラフに重なる。
3. $f(x)=|x|$ は下に凸である。三角不等式 $|s+t|\le|s|+|t|$ を $s=(1-\lambda)x$、$t=\lambda y$ に使うと $|(1-\lambda)x+\lambda y|\le|(1-\lambda)x|+|\lambda y|$ である。$0\le\lambda\le1$ なので $1-\lambda\ge0$、$\lambda\ge0$ であり、$|(1-\lambda)x|=(1-\lambda)|x|$、$|\lambda y|=\lambda|y|$ である。よって $|(1-\lambda)x+\lambda y|\le(1-\lambda)|x|+\lambda|y|$ となり、これは定義の 1 の不等式である。$x=-1$、$y=1$、$\lambda=\frac12$ では左辺 $0$、右辺 $1$ で等号にならないが、$x=1$、$y=2$、$\lambda=\frac12$ では左辺 $\frac32$、右辺 $\frac12+1=\frac32$ で等号になる。よって狭義には下に凸でない。

$f(x)=x^2$、$x=0$、$z=1$、$y=3$ とする（$\lambda=\frac13$）。左の弦の傾きは $\frac{1-0}{1-0}=1$、右の弦の傾きは $\frac{9-1}{3-1}=4$ で、$1\le4$ である。弦の高さで見ても、$z=1$ での弦の高さは $\frac23\cdot0+\frac13\cdot9=3$、グラフの高さは $1$ で、$1\le3$ である。prop-ccv-slopes のとおり、2 つの見方は同じ結論になる。

図 2 は ex-ccv-slopes-numeric の場合（$f(x)=x^2$、$x=0$、$z=1$、$y=3$）でかいてある。$f'(x)=2x$ である。

• 左の弦の傾きは $1$ である。$f'(\xi_1)=1$ となるのは $2\xi_1=1$、つまり $\xi_1=\frac12$ で、確かに $0<\frac12<1$ である。
• 右の弦の傾きは $4$ である。$f'(\xi_2)=4$ となるのは $2\xi_2=4$、つまり $\xi_2=2$ で、確かに $1<2<3$ である。
  $\xi_1=\frac12<2=\xi_2$ であり、傾き $f'(\xi_1)=1$ は $f'(\xi_2)=4$ より小さい。

1. $f(x)=e^x$：$f'(x)=e^x$、$f''(x)=e^x>0$ なので、$\mathbb{R}$ で狭義に下に凸である。
2. $f(x)=\log x$（$x>0$）：$f'(x)=\frac1x$、$f''(x)=-\frac1{x^2}<0$ なので、$(0,\infty)$ で狭義に上に凸である。
3. $f(x)=\frac1{\sqrt x}=x^{-\frac12}$（$x>0$）：$f'(x)=-\frac12x^{-\frac32}$、$f''(x)=\frac34x^{-\frac52}>0$ なので、$(0,\infty)$ で狭義に下に凸である。
4. $f(x)=\sqrt x=x^{\frac12}$（$x\ge0$）：$f'(x)=\frac12x^{-\frac12}$、$f''(x)=-\frac14x^{-\frac32}<0$（$x>0$）であり、$f$ は $[0,\infty)$ で連続なので、端点 $0$ を含めて $[0,\infty)$ で狭義に上に凸である。
5. $f(x)=\sin x$（$0\le x\le\pi$）：$f''(x)=-\sin x$ は $0< x<\pi$ で負であり、$f$ は $[0,\pi]$ で連続なので、$[0,\pi]$ で狭義に上に凸である。
   数で確かめる：2 で $x=1$、$y=9$、$\lambda=\frac12$ とすると、グラフの高さは $\log5=1.609\ldots$、弦の高さは $\frac{\log1+\log9}2=\log3=1.098\ldots$ で、上に凸のとおりグラフのほうが高い。

$a,b>0$ とする。$\log$ は $(0,\infty)$ で狭義に上に凸なので（ex-ccv-second-derivative-examples の 2）、定義の不等式を逆向きにして $x=a$、$y=b$、$\lambda=\frac12$ に使うと
$$ \frac{\log a+\log b}2\le\log\frac{a+b}2 $$
である。左辺は $\frac12\log(ab)=\log\sqrt{ab}$ に等しい（対数の性質 $\log a+\log b=\log(ab)$、$\frac12\log c=\log\sqrt c$）。よって $\log\sqrt{ab}\le\log\frac{a+b}2$ である。$\log$ は狭義に増加する関数なので、$\sqrt{ab}\le\frac{a+b}2$ を得る。
等号：$a\ne b$ なら、狭義に上に凸であることから上の不等式は $<$ になり、$\sqrt{ab}<\frac{a+b}2$ である。よって等号は $a=b$ のときに限る。
たとえば $a=1$、$b=9$ では、ex-ccv-second-derivative-examples の数値 $\log3<\log5$ が、そのまま $\sqrt9=3<5=\frac{1+9}2$ を表している。

$f(x)=x^2$ の $x=1$ での接線は、$f(1)=1$、$f'(1)=2$ より $y=1+2(x-1)=2x-1$ である。グラフと接線の差は
$$ x^2-(2x-1)=x^2-2x+1=(x-1)^2\ge0 $$
であり、$x=1$ 以外では正である。たとえば $x=3$ でグラフの高さは $9$、接線の高さは $5$ である。

1. $e^x\ge1+x$（すべての実数 $x$）。$f(x)=e^x$ は $f''>0$ で、$x=0$ での接線は $f(0)=1$、$f'(0)=1$ より $y=1+x$ である。thm-ccv-tangent より $e^x\ge1+x$ で、等号は $x=0$ のときに限る。数値：$x=1$ で $e=2.718\ldots\ge2$、$x=-1$ で $e^{-1}=0.367\ldots\ge0$、$x=2$ で $e^2=7.389\ldots\ge3$。
2. $\log x\le x-1$（$x>0$）。$f(x)=\log x$ は $f''<0$ で、$x=1$ での接線は $f(1)=0$、$f'(1)=1$ より $y=x-1$ である。不等号を逆向きにして $\log x\le x-1$ で、等号は $x=1$ のときに限る。数値：$x=2$ で $0.693\ldots\le1$、$x=\frac12$ で $-0.693\ldots\le-0.5$、$x=e$ で $1\le1.718\ldots$。
3. $\sqrt x\le\frac{x+1}2$（$x>0$）。$f(x)=\sqrt x$ は $x>0$ で $f''<0$ で、$x=1$ での接線は $f(1)=1$、$f'(1)=\frac12$ より $y=1+\frac12(x-1)=\frac{x+1}2$ である。よって $\sqrt x\le\frac{x+1}2$ で、等号は $x=1$ のときに限る。これは $a=x$、$b=1$ の相加相乗平均の不等式 $\sqrt{x\cdot1}\le\frac{x+1}2$ である。数値：$x=4$ で $2\le2.5$、$x=9$ で $3\le5$。

$f(x)=x^3$ では $f''(x)=6x$ であり、$x<0$ で負になる。実数全体では $f''\ge0$ が成り立たない。
弦の不等式が崩れる：$x=-2$、$y=0$、$\lambda=\frac12$ とすると、グラフの高さは $f(-1)=-1$、弦の高さは $\frac{-8+0}2=-4$ であり、$-1\le-4$ は成り立たない。この部分では弦がグラフより下にある。
接線の不等式も崩れる：$x=1$ での接線は $f(1)=1$、$f'(1)=3$ より $y=3x-2$ である。$x^3-(3x-2)=(x-1)^2(x+2)$ なので、$x<-2$ では差が負になる。たとえば $x=-3$ でグラフの高さは $-27$、接線の高さは $-11$ で、グラフが接線より下にある。
ただし $[0,\infty)$ では $f''(x)=6x\ge0$ なので、$x^3$ はそこでは下に凸である。凸かどうかは、考える区間とセットで決まる。

$f(x)=2x+1$ は $f''=0$ なので $f''\ge0$ を満たし、thm-ccv-tangent の不等式は成り立つ。しかし、どの点 $m$ での接線もグラフそのもの $y=2x+1$ であり、すべての $x$ で等号になる。等号が $x=m$ に限るという結論は、$f''\ge0$ だけからは出てこない。thm-ccv-tangent ではそのために「常に $f''>0$」を仮定している。ただし、これは等号が $x=m$ に限るための十分条件であって、必要条件ではない（ex-ccv-quartic）。

$f(x)=x^4$ では $f''(x)=12x^2$ であり、$x=0$ で $f''(0)=0$ となる。したがって thm-ccv-second-derivative の 2 の仮定「常に $f''>0$」は満たされない。
それでも $x^4$ は $\mathbb{R}$ で狭義に下に凸である。prf-thm-ccv-second-derivative で使ったのは「$f'$ が狭義に増加する」ことだけであり、$f'(x)=4x^3$ は狭義に増加する（$s< t$ なら $s^3< t^3$）からである。つまり $f''>0$ は狭義凸であるための十分条件であって、必要条件ではない。数値：$x=-1$、$y=1$、$\lambda=\frac12$ でグラフの高さ $0$、弦の高さ $1$ である。
接線との等号についても同じことが言える。$m=0$ での接線は $f(0)=0$、$f'(0)=0$ より $y=0$ であり、$x\ne0$ なら $x^4>0$ なので、等号は $x=0$ のときだけである。$m=1$ での接線は $f(1)=1$、$f'(1)=4$ より $y=4x-3$ であり、
$$ x^4-(4x-3)=(x-1)^2(x^2+2x+3) $$
である。$x^2+2x+3=(x+1)^2+2>0$ なので、等号は $x=1$ のときだけである。「常に $f''>0$」が成り立たなくても、等号は接点だけで成り立つ。