長方形を正方形に分ける

要点：底辺の点を含む正方形は底辺に触れるので、底の辺を合わせると底辺全体になる。2 つの底の辺が重なると、2 つの正方形が底辺のすぐ上で重なってしまう。

1. の「のとき」．$\dfrac Wc=k$、$\dfrac Hc=l$ が正の整数なら、左下の頂点を $(ic,jc)$（$i=0,1,\dots,k-1$、$j=0,1,\dots,l-1$）とする一辺 $c$ の正方形を $kl$ 個並べる。どれも長方形に含まれ、辺は軸に平行である。2 つの正方形の内部は、$ic< x<(i+1)c$、$jc< y<(j+1)c$ の形なので、$i$ か $j$ が違えば共通の点がない。長方形の点 $(x,y)$ は、$x$ を含む区間 $ic\le x\le(i+1)c$ と $y$ を含む区間 $jc\le y\le(j+1)c$ を選べば、どれかの正方形に入る。よって条件 (i)〜(iii) を満たす。
2. の「に限る」．一辺 $c$ の正方形に分けられたとする。lem-sqr-border から、底辺は底辺に触れる正方形の底の辺で隙間なく重なりなく区切られる。底の辺はどれも長さ $c$ なので、その本数を $k$ とすると $W=kc$ である。同じく左の辺も長さ $c$ の辺 $l$ 本で区切られ、$H=lc$ である。よって $\dfrac Wc=k$、$\dfrac Hc=l$ は正の整数である。個数は、面積を比べて $\dfrac{WH}{c^2}=kl$ である。
   (2)．$\dfrac WH=\dfrac mn$（$m,n$ は正の整数）なら、$c=\dfrac Wm$ とおくと $\dfrac Wc=m$、$\dfrac Hc=\dfrac{Hm}{W}=n$ はどちらも正の整数なので、(1) から一辺 $c$ の正方形 $mn$ 個に分けられる。逆に一辺 $c$ の正方形に分けられるなら、(1) から $\dfrac Wc=k$、$\dfrac Hc=l$ は正の整数で、$\dfrac WH=\dfrac{kc}{lc}=\dfrac kl$ は有理数である。

いちばん小さい正方形を $S$、その一辺を $s$ とし、$S$ が長方形 $R$ の周と共通の点をもつと仮定して矛盾を導く。
段 1（向きをそろえる）．長方形を $90^\circ$ ずつ回したり裏返したりしても、正方形分割は正方形分割のままである。そこで、$S$ が底辺と共通の点をもつとしてよい。lem-sqr-border から、$S$ の底の辺は底辺の上にある。$S$ の左下の頂点を $(x_0,0)$ とすると、$S$ は $x_0\le x\le x_0+s$、$0\le y\le s$ の部分である。
段 2（長方形は $S$ より高く、広い）．分割は 2 個以上の正方形からなるので、$S$ 以外の正方形 $Q$ がある。$Q$ の一辺を $q$ とすると、大きさがすべて違い $S$ がいちばん小さいので $q>s$ である。$Q$ は $R$ に含まれるので $q\le H$ かつ $q\le W$ である。よって $H>s$、$W>s$ である。
段 3（左右の壁）．$S$ の左側を調べる。$x_0=0$ なら、$S$ の左には長方形の左の辺があり、これを 左の壁 とし、その高さを $H$ とする。$x_0>0$ なら、lem-sqr-border から、底辺の区切りで $S$ の底の辺のすぐ左にある底の辺をもつ正方形 $T$ がある。$T$ の右の辺は直線 $x=x_0$ の上にあり、一辺 $t$ は $S$ と違うので $t>s$ である。つまり $T$ は $x_0-t\le x\le x_0$、$0\le y\le t$ の部分で、これを左の壁とし、その高さを $t$ とする。右側も同じで、$x_0+s=W$ なら長方形の右の辺（高さ $H$）、そうでなければ $S$ の底の辺のすぐ右の底の辺をもつ正方形 $U$（一辺 $u>s$、$x_0+s\le x\le x_0+s+u$、$0\le y\le u$）を 右の壁 とする。左右の壁の高さのうち低い方を $m$ とすると、段 2 と $t>s$、$u>s$ から $m>s$ である。
段 4（井戸の中の正方形）．$S$ の真上の部分
$$ \Omega:\quad x_0< x< x_0+s,\qquad s< y< m $$
を考える（図 4・図 5 の黄色の部分）。$m\le H$ なので、$\Omega$ は $R$ に含まれる。正方形の辺は有限個の線分なので、$\Omega$ の中に、どの正方形の辺の上にもない点 $P(p_x,p_y)$ がとれる。条件 (iii) から $P$ はどれかの正方形 $V$ に含まれ、$P$ は $V$ の辺の上にないので $V$ の内部にある。$p_y>s$ なので $P$ は $S$ に含まれず、$V\ne S$ である。$V$ を $\ell\le x\le\ell+v$、$k\le y\le k+v$ とする（$v$ は一辺）。$P$ が $V$ の内部にあるので、$\ell< p_x<\ell+v$、$k< p_y< k+v$ である。
段 5（$V$ は井戸からはみ出せない）．$\ell< x_0$ と仮定する。左の壁が長方形の左の辺（$x_0=0$）なら、$\ell<0$ となり $V$ が $R$ からはみ出すので条件 (i) に反する。左の壁が $T$ なら、$x_0-t$ と $\ell$ の大きい方より大きく $x_0$ より小さい $x$ をとると、点 $(x,p_y)$ は

• $\ell< x< x_0< p_x<\ell+v$ かつ $k< p_y< k+v$ なので、$V$ の内部にある。
• $x_0-t< x< x_0$ かつ $0< s< p_y< m\le t$ なので、$T$ の内部にある。
  これは条件 (ii) に反する。よって $\ell\ge x_0$ である。右の壁について同じことをすると、$\ell+v\le x_0+s$ である。
  段 6（矛盾）．段 5 から $v=(\ell+v)-\ell\le(x_0+s)-x_0=s$ である。$V\ne S$ で大きさはすべて違うので $v\ne s$、よって $v< s$ である。これは $S$ がいちばん小さいことに反する。したがって $S$ は周と共通の点をもたない。

大きさがすべて違う $n$ 個（$n\ge2$）の正方形に分けたとし、いちばん小さい正方形 $S$ を $x_0\le x\le x_0+s$、$y_0\le y\le y_0+s$ とする。thm-sqr-smallest から、$S$ は周と共通の点をもたないので、$S$ と周の距離より小さい正の数 $\eta$ をとると、次の 4 点は $R$ の中にある。
$$ L\left(x_0-\eta,\ y_0+\frac s2\right),\quad M\left(x_0+s+\eta,\ y_0+\frac s2\right),\quad D\left(x_0+\frac s2,\ y_0-\eta\right),\quad N\left(x_0+\frac s2,\ y_0+s+\eta\right) $$
4 点はどれも $S$ の外にあるので、それぞれ $S$ 以外の正方形に含まれる。この 4 点を含む正方形が 4 つとも違うことを示せば、$S$ と合わせて $n\ge5$ となる。
2 点が同じ正方形 $V$ に含まれたとする。$V$ の辺は軸に平行なので、$V$ は 2 点の $x$ 座標の間の $x$ と、$y$ 座標の間の $y$ をもつ点をすべて含む。

• $L$ と $N$ の場合（隣り合う向きの 2 点。ほかの隣り合う組も同じ）：$V$ は $x_0-\eta\le x\le x_0+\dfrac s2$、$y_0+\dfrac s2\le y\le y_0+s+\eta$ の長方形を含む。その内部の点、たとえば $\left(x_0+\dfrac s4,\ y_0+\dfrac{3s}4\right)$ は、$V$ の内部にも $S$ の内部にもあり、条件 (ii) に反する。
• $L$ と $M$ の場合（向かい合う 2 点。$D$ と $N$ も同じ）：$V$ の横の範囲は $x_0-\eta$ から $x_0+s+\eta$ までを含むので、一辺 $v$ は $s+2\eta$ 以上である。$V$ の縦の範囲は $y_0+\dfrac s2$ を含む長さ $v>s$ の区間なので、$y_0+\dfrac s2$ のすぐ上か、すぐ下の高さを内部に含む。すると $S$ の中心のすぐ上か、すぐ下の点が $V$ の内部にも $S$ の内部にもあり、条件 (ii) に反する。
  よって 4 点は 4 つの違う正方形に含まれ、$n\ge5$ である。