対称多重ゼータ値

同義語：symmetric multiple zeta valueS-多重ゼータ値

概要

前提知識: 多重ゼータ値, 有限多重ゼータ値, 形式的冪級数

定義

インデックス・重さ・深さ・縮約インデックス $\preceq$・逆転インデックス $\overleftarrow{\boldsymbol{k}}$・除去インデックス $\boldsymbol{k}_{[i]},\boldsymbol{k}^{[i]}$・Hoffman 双対インデックス $\boldsymbol{k}^{\vee}$・$\oplus$・$\{X\}^r$・矢印記法・Hoffman 代数 $\mathfrak{H}^1$・調和積 $\ast$・シャッフル積 $\mathbin{\text{ш}}$・正規化多項式 $\zeta^{\ast}(\boldsymbol{k};T)$、$\zeta^{\mathbin{\text{ш}}}(\boldsymbol{k};T)$・多重ゼータ値の張る $\mathbb{Q}$ 代数 $\mathcal{Z}$ の記法は公開記事多重ゼータ値のものを用いる。以下 $\bullet$ は $\ast$ または $\mathbin{\text{ш}}$ を表す。

調和対称多重ゼータ値とシャッフル対称多重ゼータ値

インデックス $\boldsymbol{k}=(k_1,\ldots,k_r)$ と $\bullet\in\{\ast,\mathbin{\text{ш}}\}$ に対し
$$\zeta^{\bullet}_{\mathcal{S}}(\boldsymbol{k}):=\sum_{i=0}^{r}(-1)^{\mathrm{wt}(\boldsymbol{k}^{[i]})}\,\zeta^{\bullet}(\boldsymbol{k}_{[i]};T)\,\zeta^{\bullet}(\overleftarrow{\boldsymbol{k}^{[i]}};T)\in\mathbb{R}[T]$$
とおき、$\bullet=\ast$ のとき調和対称多重ゼータ値、$\bullet=\mathbin{\text{ш}}$ のときシャッフル対称多重ゼータ値という。右辺は thm-symmetric-multiple-zeta-value-independence により $T$ によらない実数である。

正規化の取り方によらないこと

任意のインデックス $\boldsymbol{k}$ と $\bullet\in\{\ast,\mathbin{\text{ш}}\}$ に対し、$\zeta^{\bullet}_{\mathcal{S}}(\boldsymbol{k})$ は $T$ によらない（$\mathbb{R}$ の元である）。さらに $\zeta^{\ast}_{\mathcal{S}}(\boldsymbol{k})-\zeta^{\mathbin{\text{ш}}}_{\mathcal{S}}(\boldsymbol{k})\in\zeta(2)\mathcal{Z}$ が成り立つ。

非可換な形式的冪級数環 $\mathbb{R}[T]\langle\langle x,y\rangle\rangle$ の中で母関数
$$\phi^{\bullet}(x,y;T):=\sum_{\boldsymbol{k}\in\mathcal{I}_0}\zeta^{\bullet}(\boldsymbol{k};T)\,z_{\boldsymbol{k}}$$
を考える（$\mathcal{I}_0$ は空インデックスを含むインデックス全体）。$\varepsilon$ を $\varepsilon(x)=-x$、$\varepsilon(y)=-y$、$\varepsilon(T)=T$ で定まる $\mathbb{R}[T]\langle\langle x,y\rangle\rangle$ の反自己同型（語の順序を逆にし、各文字に $-1$ を掛ける）とし、$\phi^{\bullet}_{\mathrm{Ad}}(x,y;T):=\phi^{\bullet}(x,y;T)\,y\,\varepsilon(\phi^{\bullet}(x,y;T))$ とおく。インデックス $\boldsymbol{m}=(m_1,\ldots,m_s)$ に対し $\varepsilon(z_{\boldsymbol{m}})=(-1)^{\mathrm{wt}(\boldsymbol{m})}x^{m_s-1}y\cdots x^{m_1-1}y$ なので、$z_{\boldsymbol{l}}\,y\,\varepsilon(z_{\boldsymbol{m}})=(-1)^{\mathrm{wt}(\boldsymbol{m})}z_{(\boldsymbol{l},\overleftarrow{\boldsymbol{m}})}\,y$ であり、$\phi^{\bullet}_{\mathrm{Ad}}$ における $z_{\boldsymbol{k}}y$ の係数は、$\boldsymbol{k}=(\boldsymbol{l},\overleftarrow{\boldsymbol{m}})$ となる分割 $\boldsymbol{l}=\boldsymbol{k}_{[i]}$、$\boldsymbol{m}=\overleftarrow{\boldsymbol{k}^{[i]}}$ にわたる和 $\sum_i(-1)^{\mathrm{wt}(\boldsymbol{k}^{[i]})}\zeta^{\bullet}(\boldsymbol{k}_{[i]};T)\zeta^{\bullet}(\overleftarrow{\boldsymbol{k}^{[i]}};T)=\zeta^{\bullet}_{\mathcal{S}}(\boldsymbol{k})$ である。すなわち $\phi^{\bullet}_{\mathrm{Ad}}(x,y;T)=\sum_{\boldsymbol{k}}\zeta^{\bullet}_{\mathcal{S}}(\boldsymbol{k})z_{\boldsymbol{k}}y$ であり、$\phi^{\bullet}_{\mathrm{Ad}}$ が $T$ によらないこと、および $\zeta(2)$ を法として $\bullet$ によらないことを示せばよい。
任意のインデックスは許容インデックス $\boldsymbol{k}$ と非負整数 $n$ を用いて $(\boldsymbol{k},\{1\}^n)$ とただ一通りに書けるので、正規化複シャッフル関係式の命題「正規化多項式の明示式」 $\zeta^{\bullet}(\boldsymbol{k},\{1\}^{n};T)=\sum_{i=0}^{n}\zeta^{\bullet}(\boldsymbol{k},\{1\}^{n-i})T^{i}/i!$ により
$$\phi^{\bullet}(x,y;T)=\sum_{\boldsymbol{k}\in\mathcal{I}'_0}\sum_{n\ge 0}\sum_{i=0}^{n}\zeta^{\bullet}(\boldsymbol{k},\{1\}^{n-i})\frac{T^{i}}{i!}z_{\boldsymbol{k}}y^{n}=\Bigl(\sum_{\boldsymbol{k}\in\mathcal{I}'_0}\sum_{m\ge 0}\zeta^{\bullet}(\boldsymbol{k},\{1\}^{m})z_{\boldsymbol{k}}y^{m}\Bigr)\exp(Ty)=\phi^{\bullet}(x,y;0)\exp(Ty)$$
である。$\varepsilon(\exp(Ty))=\exp(-Ty)$ であり $y$ は $\exp(\pm Ty)$ と可換なので、$\phi^{\bullet}_{\mathrm{Ad}}(x,y;T)=\phi^{\bullet}(x,y;0)\exp(Ty)\,y\,\exp(-Ty)\,\varepsilon(\phi^{\bullet}(x,y;0))=\phi^{\bullet}_{\mathrm{Ad}}(x,y;0)$ となり、前半が示された。
後半のために正規化複シャッフル関係式の定理「比較定理」 $\zeta^{\mathbin{\text{ш}}}(\boldsymbol{k};T)=\rho(\zeta^{\ast}(\boldsymbol{k};T))$ を用いる。$\rho$ は、同記事の定義「比較写像」の冪級数 $A(X)=\exp\Bigl(\sum_{k\ge 2}\dfrac{(-1)^{k}\zeta(k)}{k}X^{k}\Bigr)$ により $\rho(\exp(TX))=A(X)\exp(TX)$（$X$ の各べきの係数ごと）で定まる $\mathbb{R}$ 線形写像なので、$z_{\boldsymbol{k}}$ の係数ごとに $\rho$ を施すと
$$\phi^{\mathbin{\text{ш}}}(x,y;T)=\rho\bigl(\phi^{\ast}(x,y;0)\exp(Ty)\bigr)=\phi^{\ast}(x,y;0)\exp(Ty)A(y)=\phi^{\ast}(x,y;T)A(y)$$
を得る（$A(y)$ は $y$ だけの冪級数で、右から掛かる）。$\varepsilon(A(y))=A(-y)$ なので
$$\phi^{\mathbin{\text{ш}}}_{\mathrm{Ad}}(x,y;T)=\phi^{\ast}(x,y;T)A(y)\,y\,A(-y)\,\varepsilon(\phi^{\ast}(x,y;T))=\phi^{\ast}(x,y;T)\,y\,A(y)A(-y)\,\varepsilon(\phi^{\ast}(x,y;T))$$
である。ここで $A(y)A(-y)=\exp\Bigl(\sum_{k\ge 2}\dfrac{\zeta(k)}{k}\bigl((-y)^{k}+y^{k}\bigr)\Bigr)=\exp\Bigl(\sum_{m\ge 1}\dfrac{2\zeta(2m)}{2m}y^{2m}\Bigr)$ であり、Euler の公式 $\zeta(2m)\in\pi^{2m}\mathbb{Q}=\zeta(2)^{m}\mathbb{Q}$（多重ゼータ値の記事）により $\zeta(2m)\in\zeta(2)\mathcal{Z}$ なので、この冪級数は定数項 $1$ を除き係数がすべて $\zeta(2)\mathcal{Z}$ に属する。よって $\phi^{\mathbin{\text{ш}}}_{\mathrm{Ad}}\equiv\phi^{\ast}_{\mathrm{Ad}}$ の各係数の差は $\zeta(2)\mathcal{Z}$ に属し、後半が示された。$\square$

対称多重ゼータ値

thm-symmetric-multiple-zeta-value-independence により、$\zeta^{\ast}_{\mathcal{S}}(\boldsymbol{k})$ と $\zeta^{\mathbin{\text{ш}}}_{\mathcal{S}}(\boldsymbol{k})$ は商環 $\mathcal{Z}/\zeta(2)\mathcal{Z}$ において同じ元を定める。この元を $\zeta_{\mathcal{S}}(\boldsymbol{k})\in\mathcal{Z}/\zeta(2)\mathcal{Z}$ と書き、対称多重ゼータ値（symmetric multiple zeta value、SMZV、$\mathcal{S}$-多重ゼータ値）という。すなわち
$$\zeta_{\mathcal{S}}(k_1,\ldots,k_r)=\sum_{i=0}^{r}(-1)^{k_{i+1}+\cdots+k_r}\,\zeta^{\bullet}(k_1,\ldots,k_i;T)\,\zeta^{\bullet}(k_r,\ldots,k_{i+1};T)\bmod\zeta(2)\mathcal{Z}$$
である（$\bullet$、$T$ の取り方によらない）。また $\zeta^{\star}_{\mathcal{S}}(\boldsymbol{k}):=\sum_{\boldsymbol{l}\preceq\boldsymbol{k}}\zeta_{\mathcal{S}}(\boldsymbol{l})$ を対称多重ゼータスター値（SMZSV）という。$\zeta_{\mathcal{S}}$、$\zeta^{\star}_{\mathcal{S}}$ はインデックスの $\mathbb{Q}$ 線形結合に線形に拡張し、$\mathbb{Q}$ 線形写像 $Z_{\mathcal{S}}\colon\mathfrak{H}^1\to\mathcal{Z}/\zeta(2)\mathcal{Z}$ を $z_{\boldsymbol{k}}\mapsto\zeta_{\mathcal{S}}(\boldsymbol{k})$ で定める。対称多重ゼータ値全体が生成する $\mathbb{Q}$ 代数を $\mathcal{Z}_{\mathcal{S}}$ と書く（thm-symmetric-multiple-zeta-value-harmonic により $\mathcal{Z}_{\mathcal{S}}=\mathcal{Z}/\zeta(2)\mathcal{Z}$ である）。

打ち切り和による表示

正整数 $M$ とインデックス $\boldsymbol{k}=(k_1,\ldots,k_r)$ に対し
$$\zeta^{\ast}_{\mathcal{S},M}(\boldsymbol{k}):=\sum_{i=0}^{r}\ \sum_{\substack{0< n_1<\cdots< n_i< M\\ -M< n_{i+1}<\cdots< n_r<0}}\frac{1}{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}},\qquad\zeta^{\mathbin{\text{ш}}}_{\mathcal{S},M}(\boldsymbol{k}):=\sum_{i=0}^{r}\ \sum_{\substack{0< n_1<\cdots< n_i\\ n_{i+1}<\cdots< n_r<0\\ n_i-n_{i+1}< M}}\frac{1}{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}}$$
とおく（$i=0$ または $i=r$ のとき、存在しない側の条件は無視し、第 2 の式の条件 $n_i-n_{i+1}< M$ は $i=0$ では $-n_1< M$、$i=r$ では $n_r< M$ と読む）。このとき $\bullet\in\{\ast,\mathbin{\text{ш}}\}$ に対し $\zeta^{\bullet}_{\mathcal{S}}(\boldsymbol{k})=\lim_{M\to\infty}\zeta^{\bullet}_{\mathcal{S},M}(\boldsymbol{k})$ である。

打ち切り和による表示の出典

調和版は安田と Zagier、シャッフル版は小野–桜田–関および小野–関–山本 OSY21 による（金子 Kan19 も参照）。調和版の証明は、t進対称多重ゼータ値の定理「打ち切り和による表示（調和正規化）」で $t=0$ とした場合にあたる。シャッフル版の証明は割愛する。$n_{i+1},\ldots,n_r$ が負の整数を渡ることが「$p$ を法として $n$ と $n-p$ を同一視する」有限多重ゼータ値の側の構造に対応しており、対称多重ゼータ値が有限多重ゼータ値の実数版と呼ばれる理由の一つである。

直感

有限多重ゼータ値 $\zeta_{\mathcal{A}}(\boldsymbol{k})$ は $0< n_1<\cdots< n_r< p$ の範囲の和を $p$ を法として見たものであり、$n\mapsto p-n$ の対称性から反転公式 $\zeta_{\mathcal{A}}(\boldsymbol{k})=(-1)^{\mathrm{wt}(\boldsymbol{k})}\zeta_{\mathcal{A}}(\overleftarrow{\boldsymbol{k}})$ を満たす。対称多重ゼータ値は、実数の側でこの対称性を再現するために、和の範囲を「正の部分 $0< n_1<\cdots< n_i$」と「負の部分 $n_{i+1}<\cdots< n_r<0$」に分けて $i$ について足し合わせたものである（thm-symmetric-multiple-zeta-value-truncated）。負の部分の和は $(-1)^{\mathrm{wt}}$ 倍の逆転インデックスの和になるので、定義の交代和が現れる。個々の項は発散するので正規化が必要になり、正規化の取り方の違いは $\zeta(2)$ の倍数として吸収される（thm-symmetric-multiple-zeta-value-independence）。こうして得られる $\zeta_{\mathcal{S}}$ は、深さ $1$ の値がすべて $0$ になり（prop-symmetric-multiple-zeta-value-depth-one）、有限多重ゼータ値と同じ形の関係式を満たす。金子–Zagier 予想（conj-symmetric-multiple-zeta-value-kaneko-zagier）は、両者が代数として同一視できると主張する。

例

深さ1の値

任意の正整数 $k$ に対し $\zeta_{\mathcal{S}}(k)=0$ である（prop-symmetric-multiple-zeta-value-depth-one）。例えば $\zeta^{\bullet}_{\mathcal{S}}(1)=\zeta^{\bullet}(1;T)-\zeta^{\bullet}(1;T)=T-T=0$、$\zeta^{\bullet}_{\mathcal{S}}(3)=\zeta(3)-\zeta(3)=0$、$\zeta^{\bullet}_{\mathcal{S}}(2)=2\zeta(2)\equiv 0$ である。

深さ2の値

定義から $\zeta^{\bullet}_{\mathcal{S}}(k_1,k_2)=(-1)^{k_1+k_2}\zeta^{\bullet}(k_2,k_1;T)+(-1)^{k_2}\zeta^{\bullet}(k_1;T)\zeta^{\bullet}(k_2;T)+\zeta^{\bullet}(k_1,k_2;T)$ である。$\bullet=\ast$ とし $\zeta^{\ast}(1;T)=T$、$\zeta^{\ast}(2,1;T)=\zeta(2)T-2\zeta(3)$（多重ゼータ値の記事）を用いると
$$\zeta^{\ast}_{\mathcal{S}}(1,2)=-\zeta^{\ast}(2,1;T)+\zeta(2)T+\zeta(1,2)=2\zeta(3)+\zeta(3)=3\zeta(3),\qquad\zeta^{\ast}_{\mathcal{S}}(2,1)=-\zeta(1,2)-\zeta(2)T+\zeta^{\ast}(2,1;T)=-3\zeta(3)$$
であり、たしかに $T$ が消える。これは thm-symmetric-multiple-zeta-value-depth-two-three の $\zeta_{\mathcal{S}}(k_1,k_2)=(-1)^{k_2}\binom{k_1+k_2}{k_1}\zeta(k_1+k_2)$ と整合する。また $\zeta_{\mathcal{S}}(1,1)=\zeta_{\mathcal{S}}(2,2)=0$ である（cor-symmetric-multiple-zeta-value-depth-two-symmetric）。

有限多重ゼータ値との対応

有限多重ゼータ値の記事の深さ $2$ の評価公式 $\zeta_{\mathcal{A}}(k_1,k_2)=(-1)^{k_2}\binom{k_1+k_2}{k_1}\bigl(B_{p-k_1-k_2}/(k_1+k_2)\bigr)_p$ と、対称多重ゼータ値の $\zeta_{\mathcal{S}}(k_1,k_2)=(-1)^{k_2}\binom{k_1+k_2}{k_1}\zeta(k_1+k_2)$ を比べると、Bernoulli 数の族 $(B_{p-k}/k)_p\in\mathcal{A}$ が $\zeta(k)\in\mathcal{Z}/\zeta(2)\mathcal{Z}$ に対応していることが見て取れる。これは金子–Zagier 予想（conj-symmetric-multiple-zeta-value-kaneko-zagier）が予言する対応の最初の例である。

反例：$\zeta(2)$ を法とすることの必要性

$\zeta^{\ast}_{\mathcal{S}}(\boldsymbol{k})$ と $\zeta^{\mathbin{\text{ш}}}_{\mathcal{S}}(\boldsymbol{k})$ は実数としては一致するとは限らない。$\boldsymbol{k}=(1,1)$ に対し $\zeta^{\bullet}_{\mathcal{S}}(1,1)=2\zeta^{\bullet}(1,1;T)-T^{2}$ であり、$z_1\ast z_1=2z_1z_1+z_2$ から $\zeta^{\ast}(1,1;T)=(T^{2}-\zeta(2))/2$、$z_1\mathbin{\text{ш}}z_1=2z_1z_1$ から $\zeta^{\mathbin{\text{ш}}}(1,1;T)=T^{2}/2$ なので、$\zeta^{\ast}_{\mathcal{S}}(1,1)=-\zeta(2)$、$\zeta^{\mathbin{\text{ш}}}_{\mathcal{S}}(1,1)=0$ である。両者の差は $\zeta(2)\in\zeta(2)\mathcal{Z}$ であり、thm-symmetric-multiple-zeta-value-independence の通りである。すなわち「対称多重ゼータ値が正規化の取り方によらない」という性質は、$\zeta(2)\mathcal{Z}$ を法とすることをやめると破れる。同じ理由で、対称多重ゼータ値の関係式を実数の等式として述べることはできず、$\mathcal{Z}/\zeta(2)\mathcal{Z}$ の中で述べる必要がある（精密化については t進対称多重ゼータ値を参照）。

性質

基本的な関係式

深さ1の消滅

任意の正整数 $k$ に対し $\zeta_{\mathcal{S}}(k)=0$ である。

定義により $\zeta^{\bullet}_{\mathcal{S}}(k)=(-1)^{k}\zeta^{\bullet}(k;T)+\zeta^{\bullet}(k;T)=(1+(-1)^{k})\zeta^{\bullet}(k;T)$ である。$k$ が奇数ならこれは $0$ である。$k$ が偶数なら $2\zeta(k)$ であり、Euler の公式（多重ゼータ値の記事）により $\zeta(k)\in\zeta(2)^{k/2}\mathbb{Q}\subset\zeta(2)\mathcal{Z}$ なので $\mathcal{Z}/\zeta(2)\mathcal{Z}$ で $0$ である。$\square$

調和関係式

任意のインデックス $\boldsymbol{k},\boldsymbol{l}$ に対し $\zeta_{\mathcal{S}}(\boldsymbol{k}\ast\boldsymbol{l})=\zeta_{\mathcal{S}}(\boldsymbol{k})\zeta_{\mathcal{S}}(\boldsymbol{l})$ が成り立つ。すなわち $Z_{\mathcal{S}}\colon\mathfrak{H}^1_{\ast}\to\mathcal{Z}/\zeta(2)\mathcal{Z}$ は環の準同型である。また、空でないインデックス $\boldsymbol{k}$ に対し $\sum_{i=0}^{\mathrm{dep}(\boldsymbol{k})}(-1)^{i}\zeta_{\mathcal{S}}(\boldsymbol{k}_{[i]})\,\zeta^{\star}_{\mathcal{S}}(\overleftarrow{\boldsymbol{k}^{[i]}})=0$（対蹠公式）が成り立つ。

調和関係式の出典

金子 Kan19、Jarossay Jar14、広瀬 Hir20 による。前半の調和関係式の証明は、t進対称多重ゼータ値の定理「$t$進調和関係式」で $t=0$ とした場合にあたる（打ち切り和の段階で調和積を確かめ、極限をとる）。後半の対蹠公式の証明は割愛する。全体の要点は、$\zeta^{\ast}_{\mathcal{S}}$ が調和積の準同型 $Z^{\ast}_T$ と反自己同型を組み合わせて定義されており、Hopf 代数 $\mathfrak{H}^1_{\ast}$ の対蹠（antipode）の公式から従うことである。深さ $1$ どうしの場合は cor-symmetric-multiple-zeta-value-depth-two-symmetric の証明の中で直接計算している。

深さ2の対称和公式

正整数 $k_1,k_2$ に対し $\zeta_{\mathcal{S}}(k_1,k_2)+\zeta_{\mathcal{S}}(k_2,k_1)=0$ である。特に $\zeta_{\mathcal{S}}(k,k)=0$ である。

$\bullet=\ast$ とし、$\zeta^{\ast}(\cdot;T)$ が調和積の準同型であること（正規化複シャッフル関係式の定義「正規化写像と正規化多項式」）を用いる。ex-symmetric-multiple-zeta-value-depth-two の式を $(k_1,k_2)$ と $(k_2,k_1)$ について加えると
$$\zeta^{\ast}_{\mathcal{S}}(k_1,k_2)+\zeta^{\ast}_{\mathcal{S}}(k_2,k_1)=\bigl(1+(-1)^{k_1+k_2}\bigr)\bigl(\zeta^{\ast}(k_1,k_2;T)+\zeta^{\ast}(k_2,k_1;T)\bigr)+\bigl((-1)^{k_1}+(-1)^{k_2}\bigr)\zeta^{\ast}(k_1;T)\zeta^{\ast}(k_2;T)$$
である。$k_1+k_2$ が奇数なら両方の係数が $0$ なので右辺は $0$ である。$k_1+k_2$ が偶数のとき、調和積 $(k_1)\ast(k_2)=(k_1,k_2)+(k_2,k_1)+(k_1+k_2)$ により $\zeta^{\ast}(k_1,k_2;T)+\zeta^{\ast}(k_2,k_1;T)=\zeta^{\ast}(k_1;T)\zeta^{\ast}(k_2;T)-\zeta(k_1+k_2)$ なので、右辺は $2\bigl(1+(-1)^{k_1}\bigr)\zeta^{\ast}(k_1;T)\zeta^{\ast}(k_2;T)-2\zeta(k_1+k_2)$ に等しい。$k_1+k_2$ は偶数なので $\zeta(k_1+k_2)\in\zeta(2)\mathcal{Z}$ である。$k_1,k_2$ がともに奇数なら第 1 項は $0$ である。ともに偶数なら第 1 項は $4\zeta(k_1)\zeta(k_2)\in\zeta(2)\mathcal{Z}$ である（prop-symmetric-multiple-zeta-value-depth-one の証明と同じく Euler の公式による）。よっていずれの場合も右辺は $\zeta(2)\mathcal{Z}$ に属し、$\mathcal{Z}/\zeta(2)\mathcal{Z}$ で $\zeta_{\mathcal{S}}(k_1,k_2)+\zeta_{\mathcal{S}}(k_2,k_1)=0$ である。$\square$

対称和公式と繰り返しインデックス

インデックス $\boldsymbol{k}=(k_1,\ldots,k_r)$ と $r$ 次対称群 $S_r$ に対し $\sum_{\sigma\in S_r}\zeta_{\mathcal{S}}(k_{\sigma(1)},\ldots,k_{\sigma(r)})=\sum_{\sigma\in S_r}\zeta^{\star}_{\mathcal{S}}(k_{\sigma(1)},\ldots,k_{\sigma(r)})=0$ が成り立つ。特に正整数 $k,r$ に対し $\zeta_{\mathcal{S}}(\{k\}^r)=\zeta^{\star}_{\mathcal{S}}(\{k\}^r)=0$ である。

対称和公式の出典

村原 Mur16 Theorem 1.1 による。証明は割愛するが、有限多重ゼータ値の記事の対称和公式と同様に、Hoffman の対称和公式（多重ゼータ値の記事）と調和関係式（thm-symmetric-multiple-zeta-value-harmonic）、深さ $1$ の消滅（prop-symmetric-multiple-zeta-value-depth-one）から従う。深さ $2$ の場合は cor-symmetric-multiple-zeta-value-depth-two-symmetric で証明した。

シャッフル関係式と反転公式

任意のインデックス $\boldsymbol{k},\boldsymbol{l}$ に対し $\zeta_{\mathcal{S}}(\boldsymbol{k}\mathbin{\text{ш}}\boldsymbol{l})=(-1)^{\mathrm{wt}(\boldsymbol{l})}\zeta_{\mathcal{S}}(\boldsymbol{k},\overleftarrow{\boldsymbol{l}})$ が成り立つ。特に $\boldsymbol{k}=\emptyset$ として反転公式 $\zeta_{\mathcal{S}}(\boldsymbol{l})=(-1)^{\mathrm{wt}(\boldsymbol{l})}\zeta_{\mathcal{S}}(\overleftarrow{\boldsymbol{l}})$ を得る。

シャッフル関係式の出典

金子 Kan19、広瀬 Hir20、Jarossay Jar14、小野–関–山本 OSY21 Corollary 3.11 による。反転公式は Bachmann–竹山–田坂 BTT18 Corollary 2.17 にもあり、その証明は t進対称多重ゼータ値の定理「$t$進反転公式」で $t=0$ とした場合にあたる。一般の $\boldsymbol{k}$ に対するシャッフル関係式の証明は割愛する。$t$ 進版は同記事の定理「$t$進シャッフル関係式」で、OSY21 は打ち切り和と 2 色根付き木を用いてこれを証明している（2 色根付き木は、小野 Ono17 が有限多重ゼータ値のシャッフル関係式の別証明に導入したものである）。調和関係式と合わせて対称多重ゼータ値の複シャッフル関係式と呼び、有限多重ゼータ値の記事の有限複シャッフル関係式と同じ形をしている。

深さ2と深さ3の評価公式

正整数 $k_1,k_2$ に対し $\zeta_{\mathcal{S}}(k_1,k_2)=(-1)^{k_2}\binom{k_1+k_2}{k_1}\zeta(k_1+k_2)$ である。正の奇数 $k$ と $k_1+k_2+k_3=k$ を満たす正整数 $k_1,k_2,k_3$ に対し
$$\zeta_{\mathcal{S}}(k_1,k_2,k_3)=-\zeta^{\star}_{\mathcal{S}}(k_1,k_2,k_3)=\frac12\Bigl((-1)^{k_1}\binom{k}{k_1}-(-1)^{k_3}\binom{k}{k_3}\Bigr)\zeta(k)$$
である。

深さ2と深さ3の評価公式の出典

深さ $2$ は金子 Kan19、深さ $3$ は小野–桜田–関 OSS21 Theorem 3.5 による。証明は割愛する。深さ $2$ の場合、奇数の重さでは深さ $2$ の多重ゼータ値が $\zeta(2i)\zeta(k-2i)$ と $\zeta(k)$ の線形結合で書けること（多重ゼータ値の記事の Zagier の深さ $2$ の公式）から $\zeta(2)$ を法として計算できる。$k_1=1$、$k_2=2$ の場合は ex-symmetric-multiple-zeta-value-depth-two で直接確かめた。

関係式の族

導分関係式・大野型関係式・Hoffman双対性

インデックス $\boldsymbol{k}=(k_1,\ldots,k_r)$ に対し $s:=\mathrm{dep}(\boldsymbol{k}^{\vee})=1+\mathrm{wt}(\boldsymbol{k})-r$ とおく。次が成り立つ。

（導分関係式）正整数 $h$ に対し、多重ゼータ値の記事の導分 $\partial_h$ を用いると、任意の $w\in\mathfrak{H}^1$ に対し $Z_{\mathcal{S}}(\partial_h(w))=-Z_{\mathcal{S}}(wy(x+y)^{h-1})$。
（大野型関係式）非負整数 $h$ に対し $\sum_{\boldsymbol{e}\in\mathbb{Z}_{\ge 0}^{r},\ \mathrm{wt}(\boldsymbol{e})=h}\zeta_{\mathcal{S}}(\boldsymbol{k}\oplus\boldsymbol{e})=\sum_{\boldsymbol{f}\in\mathbb{Z}_{\ge 0}^{s},\ \mathrm{wt}(\boldsymbol{f})=h}\zeta_{\mathcal{S}}((\boldsymbol{k}^{\vee}\oplus\boldsymbol{f})^{\vee})$。
（スター大野型関係式）$b_2(\boldsymbol{k};\boldsymbol{e}):=\prod_{i=1}^{r}\binom{k_i+e_i+\delta_{i,1}+\delta_{i,r}-2}{e_i}$（$\binom{n-1}{n}=\delta_{n,0}$ と約束する）とおくと、非負整数 $h$ に対し $\sum_{\boldsymbol{e}\in\mathbb{Z}_{\ge 0}^{r},\ \mathrm{wt}(\boldsymbol{e})=h}b_2(\boldsymbol{k};\boldsymbol{e})\,\zeta^{\star}_{\mathcal{S}}(\boldsymbol{k}\oplus\boldsymbol{e})=-\sum_{\boldsymbol{f}\in\mathbb{Z}_{\ge 0}^{s},\ \mathrm{wt}(\boldsymbol{f})=h}\zeta^{\star}_{\mathcal{S}}(\boldsymbol{k}^{\vee}\oplus\boldsymbol{f})$。
（Hoffman 双対性）$\zeta^{\star}_{\mathcal{S}}(\boldsymbol{k})=-\zeta^{\star}_{\mathcal{S}}(\boldsymbol{k}^{\vee})$。
（二重大野関係式）非負整数 $d,n_0,\ldots,n_{2d}$ に対し $\boldsymbol{k}=(\{2\}^{n_0},1,\{2\}^{n_1},3,\ldots,\{2\}^{n_{2d-2}},1,\{2\}^{n_{2d-1}},3,\{2\}^{n_{2d}})$ とおき $r=\mathrm{dep}(\boldsymbol{k})$、$s=\mathrm{wt}(\boldsymbol{k})-r$ とすると、非負整数 $h_1,h_2$ に対し $\sum\zeta_{\mathcal{S}}(\boldsymbol{k}_{\downarrow}\oplus\boldsymbol{e}_1\oplus\boldsymbol{e}_2)=\sum\zeta_{\mathcal{S}}(((\boldsymbol{k}_{\downarrow})^{\vee}\oplus\boldsymbol{f}_1\oplus\boldsymbol{f}_2)^{\vee})$（左辺は $\boldsymbol{e}_i\in\mathbb{Z}_{\ge 0}^{r}$、$\mathrm{wt}(\boldsymbol{e}_i)=h_i$、右辺は $\boldsymbol{f}_i\in\mathbb{Z}_{\ge 0}^{s}$、$\mathrm{wt}(\boldsymbol{f}_i)=h_i$ を渡る）。

導分関係式などの出典

は村原 Mur17 Theorem 2.1、(2) は小山 Oya18 Remark 1.5、(3) は広瀬–今冨–村原–斎藤 HIMS18 Theorem 1.12、(4) は Jarossay Jar14 Corollaire 1.12、広瀬 Hir20、Bachmann–竹山–田坂 BTT18 Corollary 2.17、(5) は広瀬–村原–小野塚–佐藤 HMOS20 Theorem 2.7 による。(1) と (2) の同値性は Horikawa–村原–小山 HMO18 Theorem 3.4 による。証明はいずれも割愛する。(4) は $\zeta^{\star}_{\mathcal{S}}$ と $\zeta_{\mathcal{S}}$ の関係 $\zeta^{\star}_{\mathcal{S}}(\boldsymbol{k})=\sum_{\boldsymbol{l}\preceq\boldsymbol{k}}\zeta_{\mathcal{S}}(\boldsymbol{l})$ を通して $\zeta_{\mathcal{S}}$ の関係式にも書き直せる（有限多重ゼータ値の記事の Hoffman 双対性と同じ形である）。

和公式・巡回和公式・制限付き和公式

インデックス $\boldsymbol{k}=(k_1,\ldots,k_r)$ に対し次が成り立つ。$I_i(k,r)$ は重さ $k$、深さ $r$ で $i$ 番目の成分が $2$ 以上のインデックス全体である。

（和公式）正整数 $1\le i\le r< k$ に対し $\sum_{\boldsymbol{k}\in I_i(k,r)}\zeta_{\mathcal{S}}(\boldsymbol{k})=(-1)^{r}\sum_{\boldsymbol{k}\in I_i(k,r)}\zeta^{\star}_{\mathcal{S}}(\boldsymbol{k})=(-1)^{i}\Bigl(\binom{k-1}{i-1}+(-1)^{r}\binom{k-1}{r-i}\Bigr)\zeta(k)$。
（巡回和公式）$1$ でない成分を含む $\boldsymbol{k}$ に対し
$$\sum_{i=1}^{r}\sum_{j=0}^{k_i-2}\zeta_{\mathcal{S}}(j+1,\boldsymbol{k}^{[i]},\boldsymbol{k}_{[i-1]},k_i-j)=\sum_{i=1}^{r}\Bigl(\zeta_{\mathcal{S}}(\boldsymbol{k}^{[i]},\boldsymbol{k}_{[i-1]},k_i+1)+\zeta_{\mathcal{S}}(k_i+1,\boldsymbol{k}^{[i]},\boldsymbol{k}_{[i-1]})+\zeta_{\mathcal{S}}(1,\boldsymbol{k}^{[i]},\boldsymbol{k}_{[i]})\Bigr),$$
$$\sum_{i=1}^{r}\sum_{j=0}^{k_i-2}\zeta^{\star}_{\mathcal{S}}(j+1,\boldsymbol{k}^{[i]},\boldsymbol{k}_{[i-1]},k_i-j)=\sum_{i=1}^{r}\zeta^{\star}_{\mathcal{S}}(1,\boldsymbol{k}^{[i]},\boldsymbol{k}_{[i]})。$$
（制限付き和公式）非負整数 $h$ に対し $\sum_{\boldsymbol{m}\in\mathbb{Z}_{\ge 1}^{r},\ \mathrm{wt}(\boldsymbol{m})=r+h}\ \sum_{\boldsymbol{a}_i\in\mathbb{Z}_{\ge 1}^{m_i},\ \mathrm{wt}(\boldsymbol{a}_i)=k_i+m_i-1}\zeta_{\mathcal{S}}(\boldsymbol{a}_1,\ldots,\boldsymbol{a}_r)=\sum_{i=0}^{h}\sum_{\boldsymbol{e}\in\mathbb{Z}_{\ge 0}^{r-1},\ \mathrm{wt}(\boldsymbol{e})=h-i}\sum_{\boldsymbol{f}\in\mathbb{Z}_{\ge 0}^{h+r-i},\ \mathrm{wt}(\boldsymbol{f})=i}\zeta_{\mathcal{S}}((k_1,\{1\}^{e_1},\ldots,\{1\}^{e_{r-1}},k_r)\oplus\boldsymbol{f})$（$r=1$ のとき右辺は $\zeta_{\mathcal{S}}(k_1+h)$ と読む）。
（金子–坂田型和公式）正整数 $h\ge r$ に対し $\sum_{\boldsymbol{e}\in\mathbb{Z}_{\ge 0}^{r+1},\ \mathrm{wt}(\boldsymbol{e})=h-r}\zeta_{\mathcal{S}}(\{1\}^{e_1},k_1+1,\ldots,\{1\}^{e_r},k_r+1,\{1\}^{e_{r+1}})=\sum_{\boldsymbol{l}\succeq\boldsymbol{k},\ \mathrm{dep}(\boldsymbol{l})\le h}\ \sum_{\boldsymbol{f}\in\mathbb{Z}_{\ge 1}^{\mathrm{dep}(\boldsymbol{l})},\ \mathrm{wt}(\boldsymbol{f})=h}(-1)^{\mathrm{dep}(\boldsymbol{l})-r}\zeta_{\mathcal{S}}(\boldsymbol{l}\oplus\boldsymbol{f})$。
（Li 型定理）$X_{\mathcal{S}}(k,r,s):=\sum_{\boldsymbol{k}\in I_0(k,r,s)}\zeta_{\mathcal{S}}(\boldsymbol{k})$、$X^{\star}_{\mathcal{S}}(k,r,s)$ を同様に定めると、正整数 $s$ と $s$ 以上の正整数 $m,n$ に対し $X_{\mathcal{S}}(m+n+1,n+1,s)=X_{\mathcal{S}}(m+n+1,m+1,s)$、$(-1)^{m}X^{\star}_{\mathcal{S}}(m+n+1,n+1,s)=(-1)^{n}X^{\star}_{\mathcal{S}}(m+n+1,m+1,s)$。

和公式などの出典

は村原 Mur16 Theorem 1.2、(2) は広瀬–佐藤および広瀬–村原–小野 HMO21 Theorem 2.4、6.1、(3) は村原–村上 MM20 Theorem 1.6、(4) は村原–坂田 MS18 Theorem 1.3、(5) は桜田による（SS2018 を参照）。証明は割愛する。和公式の変種とその $\mathcal{S}_n$ 版・補間版は公開記事和公式(多重ゼータ値) にまとめる。

特殊なインデックスの評価公式

非負整数 $k_1,k_2$ に対し次が成り立つ。

（Bowman–Bradley 型定理）$a,b$ を正の奇数、$c$ を正の偶数、$(k_1,k_2)\ne(0,0)$ とすると $\sum_{n_1+\cdots+n_{2k_1+1}=k_2}\zeta_{\mathcal{S}}(\{c\}^{n_1},a,\{c\}^{n_2},b,\ldots,\{c\}^{n_{2k_1}},b,\{c\}^{n_{2k_1+1}})=\sum_{n_1+\cdots+n_{2k_1+1}=k_2}\zeta^{\star}_{\mathcal{S}}(\{c\}^{n_1},a,\ldots,b,\{c\}^{n_{2k_1+1}})=0$。
$\zeta_{\mathcal{S}}(\{1\}^{k_1},2,\{1\}^{k_2})=(-1)^{k_1+k_2}\zeta^{\star}_{\mathcal{S}}(\{1\}^{k_1},2,\{1\}^{k_2})=(-1)^{k_2}\binom{k_1+k_2+2}{k_1+1}\zeta(k_1+k_2+2)$。
$\zeta_{\mathcal{S}}(\{2\}^{k_1},1,\{2\}^{k_2})=(-1)^{k_1+k_2}\zeta^{\star}_{\mathcal{S}}(\{2\}^{k_1},1,\{2\}^{k_2})=4(-1)^{k_1+k_2}\dfrac{k_1-k_2}{2k_1+1}\Bigl(1-\dfrac{1}{4^{k_1+k_2}}\Bigr)\binom{2k_1+k_2+1}{2k_2+1}\zeta(2k_1+2k_2+1)$。
$\zeta_{\mathcal{S}}(\{2\}^{k_1},3,\{2\}^{k_2})=(-1)^{k_1+k_2}\zeta^{\star}_{\mathcal{S}}(\{2\}^{k_1},3,\{2\}^{k_2})=2(-1)^{k_1+k_2}\dfrac{k_1-k_2}{k_1+1}\binom{2k_1+2k_2+3}{2k_2+3}\zeta(2k_1+2k_2+3)$。

評価公式の出典

は小野（SS2018 所収の解説）による。(2)(3)(4) は小野–桜田–関 OSS21 Theorem 3.8、3.11、3.10 による。証明は割愛する。(1) は斎藤–若林 SW16 の有限版 Bowman–Bradley 型定理の対称版である。

金子–Zagier予想

有限多重ゼータ値 $\zeta_{\mathcal{A}}(\boldsymbol{k})$ の生成する $\mathbb{Q}$ 代数 $\mathcal{Z}_{\mathcal{A}}$ から $\mathcal{Z}/\zeta(2)\mathcal{Z}$ への $\mathbb{Q}$ 代数の同型で、$\zeta_{\mathcal{A}}(\boldsymbol{k})$ を $\zeta_{\mathcal{S}}(\boldsymbol{k})$ に写すものが存在するであろう（金子–Zagier、Kan19）。

予想の状況

本記事で述べた対称多重ゼータ値の関係式はすべて有限多重ゼータ値の記事の対応する関係式と同じ形をしており、予想を支持する（Kan19、SS2018）。予想が正しければ、thm-symmetric-multiple-zeta-value-depth-two-three と有限版の深さ $2$ の評価公式により、Bernoulli 数の族 $(B_{p-k}/k)_p\in\mathcal{A}$ が $\zeta(k)\in\mathcal{Z}/\zeta(2)\mathcal{Z}$ に対応する。$p$ 進版への精密化については t進対称多重ゼータ値の予想「金子–Zagier予想の精密化」を参照。

$t$進対称多重ゼータ値

有限多重ゼータ値の記事の $p$ 進有限多重ゼータ値 $\zeta_{\widehat{\mathcal{A}}}$ の対応物として、Jarossay Jar14b が導入したのが $t$ 進対称多重ゼータ値 $\zeta_{\widehat{\mathcal{S}}}(\boldsymbol{k})\in(\mathcal{Z}/\zeta(2)\mathcal{Z})[\![t]\!]$ である（$t$ は不定元）。これは def-symmetric-multiple-zeta-value-regularized の交代和の後ろ側の因子を、成分をずらした値の冪級数に替えたもので、インデックス $\boldsymbol{k}=(k_1,\ldots,k_r)$ に対し、$\boldsymbol{m}=\overleftarrow{\boldsymbol{k}^{[i]}}=(m_1,\ldots,m_{r-i})$ と書いて
$$\zeta_{\widehat{\mathcal{S}}}(\boldsymbol{k})=\sum_{i=0}^{r}(-1)^{\mathrm{wt}(\boldsymbol{k}^{[i]})}\,\zeta^{\bullet}(\boldsymbol{k}_{[i]};T)\sum_{\boldsymbol{e}\in\mathbb{Z}_{\ge 0}^{r-i}}\Bigl(\prod_{j=1}^{r-i}\binom{m_j+e_j-1}{e_j}\Bigr)\zeta^{\bullet}(\boldsymbol{m}\oplus\boldsymbol{e};T)\,t^{\mathrm{wt}(\boldsymbol{e})}\bmod\zeta(2)\mathcal{Z}[\![t]\!]$$
で定まる（右辺は $\bullet$ と $T$ によらない）。$t=0$ とすると $\zeta_{\mathcal{S}}(\boldsymbol{k})$ に戻る。定義が正規化の取り方によらないこと、打ち切り和による表示、$t$ 進版の調和関係式・反転公式・シャッフル関係式は t進対称多重ゼータ値にある。以下、正整数 $n$ に対し $\zeta_{\mathcal{S}_n}(\boldsymbol{k}):=\zeta_{\widehat{\mathcal{S}}}(\boldsymbol{k})\bmod t^{n}$ を $\mathcal{S}_n$-多重ゼータ値、$\zeta^{\star}_{\widehat{\mathcal{S}}}(\boldsymbol{k}):=\sum_{\boldsymbol{l}\preceq\boldsymbol{k}}\zeta_{\widehat{\mathcal{S}}}(\boldsymbol{l})$ を $t$ 進対称多重ゼータスター値、$\zeta^{\star}_{\mathcal{S}_n}(\boldsymbol{k}):=\zeta^{\star}_{\widehat{\mathcal{S}}}(\boldsymbol{k})\bmod t^{n}$ を $\mathcal{S}_n$-多重ゼータスター値という。$\zeta_{\mathcal{S}_1}=\zeta_{\mathcal{S}}$ である。調和関係式とシャッフル関係式の $t$ 進版（t進対称多重ゼータ値の定理「$t$進調和関係式」「$t$進シャッフル関係式」）のほかに、次の関係式が知られている。

$t$ 進版の関係式

インデックス $\boldsymbol{k}=(k_1,\ldots,k_r)$ に対し次が成り立つ。

（$t$ 進双対性）$\sum_{n\ge 0}\zeta^{\star}_{\widehat{\mathcal{S}}}(\boldsymbol{k},\{1\}^{n})t^{n}=-\sum_{n\ge 0}\zeta^{\star}_{\widehat{\mathcal{S}}}(\boldsymbol{k}^{\vee},\{1\}^{n})t^{n}$。
（$t$ 進巡回和公式）$\boldsymbol{k}$ が $1$ でない成分を含み重さ $k$ のとき
$$\sum_{i=1}^{r}\sum_{j=0}^{k_i-2}\zeta_{\widehat{\mathcal{S}}}(j+1,\boldsymbol{k}^{[i]},\boldsymbol{k}_{[i-1]},k_i-j)=\sum_{i=1}^{r}\zeta_{\widehat{\mathcal{S}}}(\boldsymbol{k}^{[i]},\boldsymbol{k}_{[i-1]},k_i+1)+\sum_{i=1}^{r}\sum_{n\ge 0}\Bigl(\zeta_{\widehat{\mathcal{S}}}(k_i+n+1,\boldsymbol{k}^{[i]},\boldsymbol{k}_{[i-1]})+\zeta_{\widehat{\mathcal{S}}}(n+1,\boldsymbol{k}^{[i]},\boldsymbol{k}_{[i]})\Bigr)t^{n},$$
$$\sum_{i=1}^{r}\sum_{j=0}^{k_i-2}\zeta^{\star}_{\widehat{\mathcal{S}}}(j+1,\boldsymbol{k}^{[i]},\boldsymbol{k}_{[i-1]},k_i-j)=k\,\zeta_{\widehat{\mathcal{S}}}(k+1)+\sum_{i=1}^{r}\sum_{n\ge 0}\zeta^{\star}_{\widehat{\mathcal{S}}}(n+1,\boldsymbol{k}^{[i]},\boldsymbol{k}_{[i]})t^{n}。$$
（$\mathcal{S}_n$ 対称和公式）正整数 $n$ に対し $\sum_{\sigma\in S_r}\zeta_{\mathcal{S}_n}(k_{\sigma(1)},\ldots,k_{\sigma(r)})=\sum_{B_1,\ldots,B_l}(-1)^{r-l}\prod_{i=1}^{l}(|B_i|-1)!\,\zeta_{\mathcal{S}_n}\bigl(\sum_{j\in B_i}k_j\bigr)$、$\sum_{\sigma\in S_r}\zeta^{\star}_{\mathcal{S}_n}(k_{\sigma(1)},\ldots,k_{\sigma(r)})=\sum_{B_1,\ldots,B_l}\prod_{i=1}^{l}(|B_i|-1)!\,\zeta_{\mathcal{S}_n}\bigl(\sum_{j\in B_i}k_j\bigr)$（和は $\{1,\ldots,r\}$ の集合の分割（同値関係）を渡る）。

$t$ 進版の関係式の出典

は広瀬および竹山–田坂 TT20 Corollary 6.8、(2) は広瀬–村原–小野 HMO21 Theorem 2.4、6.1 と竹山–田坂 TT20 Corollary 6.11、(3) は小野–桜田–関 OSS21 Theorem 5.1 による。証明は割愛する。

$\mathcal{S}_2$、$\mathcal{S}_3$ における評価公式

正整数 $k,r$ と非負整数 $k_1,k_2$ に対し次が成り立つ。

正の偶数 $k$ と $k_1+k_2=k$ を満たす正整数 $k_1,k_2$ に対し $\zeta_{\mathcal{S}_2}(k_1,k_2)=\zeta^{\star}_{\mathcal{S}_2}(k_1,k_2)-k\zeta(k+1)t=\frac12\Bigl((-1)^{k_1}k_2\binom{k+1}{k_1}-(-1)^{k_2}k_1\binom{k+1}{k_2}-k\Bigr)\zeta(k+1)t$。
$\zeta_{\mathcal{S}_2}(\{k\}^{r})=(-1)^{r-1}\zeta^{\star}_{\mathcal{S}_2}(\{k\}^{r})=(-1)^{rk+r-1}k\,\zeta(rk+1)t$。さらに
$$\zeta_{\mathcal{S}_3}(\{k\}^{r})=(-1)^{rk+r-1}\Bigl(k\zeta(rk+1)t+\Bigl(\frac{k(rk+1)}{2}\zeta(rk+2)-k^{2}\sum_{l=1}^{r-1}\zeta(lk+1)\zeta((r-l)k+1)\Bigr)t^{2}\Bigr),$$
$$\zeta^{\star}_{\mathcal{S}_3}(\{k\}^{r})=(-1)^{rk}\Bigl(k\zeta(rk+1)t+\Bigl(\frac{k(rk+1)}{2}\zeta(rk+2)+k^{2}\sum_{l=1}^{r-1}\zeta(lk+1)\zeta((r-l)k+1)\Bigr)t^{2}\Bigr)$$
であり、$kr$ が奇数なら $\zeta_{\mathcal{S}_3}(\{k\}^{r})=(-1)^{r-1}\zeta^{\star}_{\mathcal{S}_3}(\{k\}^{r})=(-1)^{r}\frac{k(rk+1)}{2}\zeta(rk+2)t^{2}$。
$k_1+k_2$ が偶数のとき $\zeta_{\mathcal{S}_2}(\{1\}^{k_1},2,\{1\}^{k_2})=\frac12\Bigl(1+(-1)^{k_1}\binom{k_1+k_2+3}{k_2+2}\Bigr)\zeta(k_1+k_2+3)t$、$\zeta^{\star}_{\mathcal{S}_2}(\{1\}^{k_1},2,\{1\}^{k_2})=\frac12\Bigl(1+(-1)^{k_1}\binom{k_1+k_2+3}{k_1+2}\Bigr)\zeta(k_1+k_2+3)t$。
（$\mathcal{S}_2$ Bowman–Bradley 型定理）$(k_1,k_2)\ne(0,0)$ に対し $\sum_{n_1+\cdots+n_{2k_1+1}=k_2}\zeta_{\mathcal{S}_2}(\{2\}^{n_1},1,\{2\}^{n_2},3,\ldots,\{2\}^{n_{2k_1}},3,\{2\}^{n_{2k_1+1}})=(-1)^{k_2}\Bigl((-1)^{k_1}2^{1-2k_1}\binom{k_1+k_2}{k_1}-4\binom{2k_1+k_2}{2k_1}\Bigr)\zeta(4k_1+2k_2+1)t$ であり、スター版の和は $(-1)^{k_1}2^{1-2k_1}\binom{k_1+k_2}{k_1}\zeta(4k_1+2k_2+1)t$ に等しい。

$\mathcal{S}_n$ の評価公式の出典

小野–桜田–関 OSS21 Theorem 3.4、3.6、Remark 3.7、Theorem 3.13、4.1 による。証明は割愛する。$\mathcal{S}_2$、$\mathcal{S}_3$ における和公式・制限付き和公式は公開記事和公式(多重ゼータ値) を参照。

補足

対称多重ゼータ値は、金子と Zagier が有限多重ゼータ値の実数側の対応物として導入した（Kan19、Kan26）。$\mathcal{Z}/\zeta(2)\mathcal{Z}$ の中でしか定まらないという性質は一見不便だが、これは有限多重ゼータ値が $p$ を法とした値であることの正確な写しであり、精密化として $t$ 進版 $\zeta_{\widehat{\mathcal{S}}}$（$p$ 進有限多重ゼータ値 $\zeta_{\widehat{\mathcal{A}}}$ の対応物）が Jarossay Jar14b により導入された。$\zeta_{\widehat{\mathcal{S}}}$ は $\mathcal{Z}[\![t]\!]/\zeta(2)\mathcal{Z}[\![t]\!]$ の元として定まり、広瀬 Hir20 はさらに $\zeta(2)$ を法としない精密化（refined symmetric multiple zeta value）を与えている。対称多重ゼータ値の関係式の証明には、正規化多重ゼータ値の複シャッフル関係式を用いる代数的な方法（Kan19、Hir20）と、打ち切り和の表示を用いる組合せ論的な方法（OSY21）がある。補間有限・対称多重ゼータ値については補間多重ゼータ値を参照。

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