部分写像

(i) ならば、$(x,y),(x,y')\in\Gamma_f$ から $y=f(x)=y'$ である。(ii) ならば、$D:=\{x\mid\text{ある }y\text{ で }(x,y)\in R\}$ の各 $x$ に対して $(x,y)\in R$ となる $y$ はちょうど 1 つなので、それを $f(x)$ とおけば写像 $f\colon D\to Y$ が定まり、$\Gamma_f=R$ である。$\Gamma_f$ から $\operatorname{dom}f$ は第 1 成分の全体として、値 $f(x)$ は $(x,y)\in\Gamma_f$ となる $y$ として読み取れるので、$f$ は $R$ から一意に決まる。最後の主張は $\operatorname{dom}f=X$ の言い換えである。$\square$

2 つの部分写像が等しいことは、定義域が等しく、定義域の各点で値が等しいことである。
定義域：合成の定義から
$$ \operatorname{dom}\bigl(h\circ(g\circ f)\bigr)=\{x\in\operatorname{dom}(g\circ f)\mid g(f(x))\in\operatorname{dom}h\}=\{x\in\operatorname{dom}f\mid f(x)\in\operatorname{dom}g,\ g(f(x))\in\operatorname{dom}h\} $$
である。一方、$\operatorname{dom}(h\circ g)=\{y\in\operatorname{dom}g\mid g(y)\in\operatorname{dom}h\}$ なので
$$ \operatorname{dom}\bigl((h\circ g)\circ f\bigr)=\{x\in\operatorname{dom}f\mid f(x)\in\operatorname{dom}(h\circ g)\}=\{x\in\operatorname{dom}f\mid f(x)\in\operatorname{dom}g,\ g(f(x))\in\operatorname{dom}h\} $$
であり、両者は等しい。
値：この共通の定義域の点 $x$ で、どちらも $h(g(f(x)))$ である。
恒等写像：$\operatorname{dom}(f\circ\mathrm{id}_X)=\{x\in X\mid x\in\operatorname{dom}f\}=\operatorname{dom}f$、$\operatorname{dom}(\mathrm{id}_Y\circ f)=\{x\in\operatorname{dom}f\mid f(x)\in Y\}=\operatorname{dom}f$ であり、値はどちらも $f(x)$ である。$\square$

1：逆写像を作る。写像 $u\colon X\to Y_+$ に対し、$\operatorname{dom}u^\flat:=u^{-1}(Y)=\{x\mid u(x)\neq*\}$、$u^\flat(x):=u(x)$ と定めると部分写像 $u^\flat\colon X\rightharpoonup Y$ を得る。$\tilde f(x)\neq*$ は $x\in\operatorname{dom}f$ と同値であり（$*\notin Y$ を使う）、そこで値は $f(x)$ なので $(\tilde f)^\flat=f$ である。逆に $(u^\flat)^{\sim}$ は $u(x)\neq*$ の点で $u(x)$、$u(x)=*$ の点で $*$ をとるので $u$ に等しい。よって $f\mapsto\tilde f$ は全単射である。有限集合なら写像 $X\to Y_+$ は $(|Y|+1)^{|X|}$ 個あるので、部分写像も同数である。
2：基点を保つ写像 $X_+\to Y_+$ は、$X$ 上での値（写像 $X\to Y_+$）で決まり、どんな写像 $X\to Y_+$ も $*\mapsto*$ で延ばせるので、1 から全単射を得る。合成について、$x\in X$ で場合を分ける。$x\in\operatorname{dom}(g\circ f)$ なら $f(x)\in\operatorname{dom}g$ なので両辺とも $g(f(x))$ である。$x\in\operatorname{dom}f$ だが $f(x)\notin\operatorname{dom}g$ なら、$g_+(f_+(x))=g_+(f(x))=*$ で、$(g\circ f)_+(x)=*$ である。$x\notin\operatorname{dom}f$ なら $g_+(f_+(x))=g_+(*)=*$ である。$*$ はどちらでも $*$ に移る。恒等写像については明らかである。$\square$

$U$ が関手であることを確かめる。$U(\mathrm{id}_{(P,p)})=\mathrm{id}_{P\setminus\{p\}}$ は定義から従う。基点を保つ $\varphi\colon(P,p)\to(Q,q)$、$\psi\colon(Q,q)\to(R,r)$ と $x\in P\setminus\{p\}$ をとる。$\varphi(x)=q$ なら $\psi(\varphi(x))=\psi(q)=r$ なので、$x$ は $U\psi\circ U\varphi$ の定義域にも $U(\psi\circ\varphi)$ の定義域にも入らない。$\varphi(x)\neq q$ なら、$x$ が $U\psi\circ U\varphi$ の定義域に入ることと $\psi(\varphi(x))\neq r$ は同値で、そのとき両者の値はともに $\psi(\varphi(x))$ である。よって $U(\psi\circ\varphi)=U\psi\circ U\varphi$ である。構成から $U\bigl((X_+,*)\bigr)=X$、$U(f_+)=f$ なので、$U\circ(-)_+$ は $\mathbf{Par}$ の恒等関手に等しい。
逆向きの合成 $(U(-))_+$ は $(P,p)$ を $\bigl((P\setminus\{p\})_+,*\bigr)$ に移す。基点を保つ全単射 $\epsilon_{(P,p)}\colon(P\setminus\{p\})_+\to P$ を、$P\setminus\{p\}$ 上では恒等写像、$*\mapsto p$ で定める。基点を保つ写像 $\varphi\colon(P,p)\to(Q,q)$ について $\varphi\circ\epsilon_{(P,p)}=\epsilon_{(Q,q)}\circ(U\varphi)_+$ を確かめる。$*$ はどちらでも $q$ に移る。$x\in P\setminus\{p\}$ で $\varphi(x)\neq q$ なら、両辺とも $\varphi(x)$ である。$\varphi(x)=q$ なら、左辺は $q$、右辺は $(U\varphi)_+(x)=*$ を $\epsilon_{(Q,q)}$ で移した $q$ である。よって $\epsilon$ は自然同型 $(U(-))_+\cong\mathrm{id}_{\mathbf{Set}_*}$ であり、恒等自然変換 $\mathrm{id}_{\mathbf{Par}}=U\circ(-)_+$ と合わせて圏同値の定義を満たす。$\square$

1：上界 $h$ があれば、$x\in\operatorname{dom}f_i\cap\operatorname{dom}f_j$ で $f_i(x)=h(x)=f_j(x)$ なので両立する。逆は 2 で上界を作れば従う。
2：$(x,y),(x,y')\in\Gamma$ とし、$(x,y)\in\Gamma_{f_i}$、$(x,y')\in\Gamma_{f_j}$ とする。$x\in\operatorname{dom}f_i\cap\operatorname{dom}f_j$ なので両立性から $y=f_i(x)=f_j(x)=y'$ である。prop-pmap-graph により $\Gamma$ はある部分写像 $f$ のグラフで、$\operatorname{dom}f$ は第 1 成分の全体 $\bigcup_i\operatorname{dom}f_i$ である。$\Gamma_{f_i}\subset\Gamma$ なので $f_i\le f$ である。$h$ が上界なら $\Gamma_{f_i}\subset\Gamma_h$ がすべての $i$ で成り立つので $\Gamma\subset\Gamma_h$、すなわち $f\le h$ であり、$f$ は最小の上界である。
3：鎖の 2 元は比較可能で、$f_i\le f_j$ なら $f_j$ が共通の上界なので両立する。よって 2 から上限をもつ（空の鎖の上限は空写像）。空写像のグラフ $\emptyset$ は任意のグラフに含まれるので最小元である。全域写像 $g$ が $g\le h$ を満たせば $\operatorname{dom}h=X=\operatorname{dom}g$ で値も等しいので $h=g$ であり、全域写像は極大である。$Y\neq\emptyset$ のとき、全域でない $f$ は、$x_0\notin\operatorname{dom}f$ をとり $y_0\in Y$ を 1 つ選んで $\Gamma_f\cup\{(x_0,y_0)\}$ とすれば真に拡大できるので極大でない。$\square$

単射な部分写像 $X\rightharpoonup Y$（部分単射）の全体を $\mathcal{I}\subset\operatorname{Par}(X,Y)$ とし、拡大の順序を考える。空写像は単射なので $\mathcal{I}\neq\emptyset$ である。$\mathcal{C}\subset\mathcal{I}$ を鎖とし、thm-pmap-union の 3 によるその上限を $f$ とする。$f$ が単射であることを示す。$f(x)=f(x')$ とし、$x\in\operatorname{dom}f_1$、$x'\in\operatorname{dom}f_2$（$f_1,f_2\in\mathcal{C}$）とする。鎖なので $f_1\le f_2$ または $f_2\le f_1$ であり、大きい方を $f_3$ とすると $f_3(x)=f(x)=f(x')=f_3(x')$、$f_3$ の単射性から $x=x'$ である。よって $f\in\mathcal{I}$ は $\mathcal{C}$ の上界であり、$\mathcal{I}$ は帰納的順序集合である。Zornの補題 の記事の定理「鎖の上界から得られる極大元」により、極大元 $h\in\mathcal{I}$ がある。
$\operatorname{dom}h=X$ または $h(\operatorname{dom}h)=Y$ である。そうでなければ $x_0\in X\setminus\operatorname{dom}h$ と $y_0\in Y\setminus h(\operatorname{dom}h)$ がとれ、$\Gamma_h\cup\{(x_0,y_0)\}$ は $h$ を真に拡大する部分単射となって極大性に反する。$\operatorname{dom}h=X$ なら $h$ は単射 $X\to Y$ である。$h(\operatorname{dom}h)=Y$ なら、ex-pmap-inverse の $h^{-1}\colon Y\rightharpoonup X$ は $\operatorname{dom}h^{-1}=Y$ の全域写像で、単射である。$\square$