除外点位相
概要
除外点位相（excluded point topology）とは、集合 $X$ の一点 $p$ を固定し、$X$ 自身と $p$ を含まない部分集合の全体を開集合とする位相である。$p$ の近傍は $X$ だけで、$X\setminus\{p\}$ は離散な開部分空間になり、$X$ はコンパクト・連結・可縮で、どの点列も $p$ に収束する。$|X|\ge2$ なら $T_0$ で正規性条件と遺伝正規性条件を満たすが、$T_1$ でなく、閉集合 $\{p\}$ は $G_\delta$ 集合でない。このとき弧状連結だが弧連結でないなど、Hausdorff 性を外したときの反例を与える。
除外点位相（excluded point topology）とは、集合 $X$ の一点 $p$ を固定し、$X$ 自身と、$p$ を含まない部分集合の全体を開集合とする位相である。$p$ の近傍は $X$ だけであり、$p$ 以外の点はすべて開集合 $\{q\}$ をなす。その結果、空間全体はコンパクトで連結なのに、$p$ を除くと離散空間が残る。二点以上の集合では、$T_0$ で正規性条件と遺伝正規性条件を満たすが $T_1$ でなく、閉な一点 $\{p\}$ が $G_\delta$ 集合にならない、弧状連結だが弧連結でない、などの反例を与える。
以下、記号 $p$ はつねにこの特別な点を表し、$q,r$ は $p$ と異なる点を表す。
定義
$X$ を空でない集合、$p\in X$ とする。
$$\tau^p:=\{X\}\cup\{U\subset X\mid p\notin U\}$$
を $X$ 上の除外点位相（excluded point topology）という。
$\tau^p$ が位相であることは次のように確かめられる。$\emptyset$ は $p$ を含まず、$X$ は定義により $\tau^p$ に属する。開集合の族の合併は、$X$ を含めば $X$、含まなければ $p$ を含まない。二つの開集合の共通部分は、一方が $X$ なら他方そのもの、そうでなければ $p$ を含まない。
除外点位相の開集合は、同じ点 $p$ についての 特定点位相 の閉集合（$X$ と $p$ を含まない集合）とちょうど同じ族である。つまり特定点位相の開集合と閉集合の役割を入れ替えたものが除外点位相である。
$X=\{p,q\}$ のとき、開集合は $\emptyset,\{q\},X$ であり、$q\mapsto1$、$p\mapsto0$ で Sierpiński空間 と同相になる。この場合は特定点位相（特定点 $q$）とも一致する。三点以上のとき、除外点位相はどの特定点位相とも同相でない（下の thm-ept-connected の 4 と、特定点位相が既約であること）。以下では、各主張に必要な台集合の大きさ（二点以上か三点以上か）を個別に書く。
直感
$p$ は「どの開集合にも入れない点」である。$p$ を含む開集合は $X$ だけなので、$p$ に近づくことはどの点からも自由にでき、どんな点列も $p$ に収束する。一方 $p$ 以外の点は孤立していて、互いに完全に切り離されている。$p$ が全体をつなぐ一点の「蝶番」になっていて、それを外すとばらばらの点だけが残る。
閉集合と閉包
$X$ に除外点位相 $\tau^p$ を入れる。
- 閉集合は、$\emptyset$ と、$p$ を含むすべての部分集合である。
- $\overline{\emptyset}=\emptyset$ であり、空でない $A\subset X$ について $\overline{A}=A\cup\{p\}$ である。
- 部分空間 $X\setminus\{p\}$ は開集合で、相対位相は離散位相である。各 $q\neq p$ について $\{q\}$ は開集合であり、$p$ の近傍は $X$ だけである。
- $A\subset X$ の導集合 $A'$ は、$A\setminus\{p\}\neq\emptyset$ なら $\{p\}$、そうでなければ $\emptyset$ である。
- $D\subset X$ が稠密であることと、$X\setminus\{p\}\subset D$ かつ $D\neq\emptyset$ であることは同値である。
- 補集合が開集合であることは、補集合が $X$（もとの集合が空）か、$p$ を含まない（もとの集合が $p$ を含む）ことと同値である。
- 空でない $A$ について $A\cup\{p\}$ は $A$ を含む閉集合であり、$A$ を含む閉集合は空でないので $p$ を含む。
- $X\setminus\{p\}$ の部分集合はどれも $p$ を含まないので $X$ の開集合であり、とくに相対開集合である。$p$ を含む開集合は $X$ だけである。
- $q\neq p$ は開近傍 $\{q\}$ が $A\setminus\{q\}$ と交わらないので、どの $A$ の導集合にも属さない。$p$ の近傍は $X$ だけなので、$p\in A'$ と $A\setminus\{p\}\neq\emptyset$ は同値である。
- 稠密なら各開集合 $\{q\}$（$q\neq p$）と交わるので $X\setminus\{p\}\subset D$ であり、$\overline{\emptyset}=\emptyset$ なので $D\neq\emptyset$ である。逆はこのとき 2 より $\overline{D}=D\cup\{p\}=X$ となる。$\square$
分離公理
分離公理の名前は 分離公理 の記事に従う。正則性条件・正規性条件・遺伝正規性条件・完全正規性条件には $T_1$ を含めない。部分集合 $A,B$ が分離されているとは $\overline{A}\cap B=A\cap\overline{B}=\emptyset$ であることをいう。
$X$ に除外点位相 $\tau^p$ を入れる。$A,B\subset X$ が分離されていることは、「$A=\emptyset$ または $B=\emptyset$、あるいは $A,B$ が $X\setminus\{p\}$ の互いに素な部分集合であること」と同値である。とくに $A,B$ がともに空でないとき、分離されていることと、$A,B$ が $X\setminus\{p\}$ の互いに素な部分集合であることは同値である。
一方が空なら、$\overline{\emptyset}=\emptyset$ なので二つの共通部分はともに空である。ともに空でないとき、prop-ept-closure の 2 より $\overline{A}\cap B=(A\cap B)\cup(\{p\}\cap B)$、$A\cap\overline{B}=(A\cap B)\cup(A\cap\{p\})$ なので、両方が空であることは $A\cap B=\emptyset$、$p\notin A$、$p\notin B$ と同値である。$\square$
一方が空の場合を除くことは省けない。$A=\emptyset$、$B=\{p\}$ は分離されているが、$B$ は $X\setminus\{p\}$ に含まれない。
$X$ に除外点位相 $\tau^p$ を入れ、$|X|\ge2$ とする。
- $X$ は $T_0$ であるが、$T_1$ でも $T_2$ でもなく、正則性条件を満たさない。
- $X$ は正規性条件と遺伝正規性条件を満たす。
- $\{p\}$ は閉集合だが $G_\delta$ 集合でない。とくに $X$ は完全正規性条件を満たさない。
$|X|\ge3$ のとき、ともに空でない分離された二集合 $\{q\}$、$\{r\}$（$q\neq r$）があり、2 の遺伝正規性条件は空でない組に対しても実際に働く。
- 相異なる二点の少なくとも一方 $q$ は $p$ と異なり、開集合 $\{q\}$ がその点だけを含むので $T_0$ である。$p$ を含み $q$ を含まない開集合はないので $T_1$ でない。$p$ の開近傍は $X$ だけなので、$q$ の開近傍と交わり、$T_2$ でない。閉集合 $\{p\}$ と点 $q\notin\{p\}$ について、$\{p\}$ を含む開集合は $X$ だけなので、正則性条件も成り立たない。
- 空でない閉集合はすべて $p$ を含むので、互いに素な閉集合 $A,B$ の一方は空であり、$A=\emptyset$ なら開集合 $\emptyset$ と $X$ で分けられる（$B=\emptyset$ も同様）。分離された二集合の一方が空なら同様に分けられる。ともに空でなければ、prop-ept-separated により $A,B$ は $p$ を含まない互いに素な集合なので、それ自身が互いに素な開集合である。
- $\{p\}$ は $p$ を含むので閉集合である。$\{p\}=\bigcap_nU_n$ と開集合の可算個の共通部分で書けたとすると、各 $U_n$ は $p$ を含むので $X$ に等しく、共通部分は $X\neq\{p\}$ になる。$\square$
2 と 3 から、正規性条件を満たしても閉集合が $G_\delta$ 集合とは限らない。つまり完全正規性条件の後半（閉集合がすべて $G_\delta$）は正規性条件から出ない。また遺伝正規性条件を満たす $T_1$ 空間は正規性条件を満たす $T_1$ 空間、すなわち $T_4$ 空間なので Hausdorff である（分離公理 の定理「$T_4$ から $T_0$ までの含意」）が、$|X|\ge2$ の除外点位相は $T_0$ で遺伝正規性条件を満たすのに Hausdorff でない。$T_1$ を $T_0$ に弱めると、この含意は成り立たない。
コンパクト性と連結性
空でない閉集合がどれも交わる空間を ultraconnected という。空でない開集合がどれも交わる空間は 既約空間（hyperconnected ともいう）である。連結な空間 $X$ の点 $x$ について $X\setminus\{x\}$ が 完全不連結空間 であるとき、$x$ を $X$ の分散点（dispersion point）という。
$X$ に除外点位相 $\tau^p$ を入れる。
- $X$ は コンパクト空間 である。
- $X$ は 連結空間 であり、ultraconnected である。
- 任意の $a,b\in X$ に対し、$t<1/2$ で $a$、$t=1/2$ で $p$、$t>1/2$ で $b$ をとる $f\colon[0,1]\to X$ は連続である。とくに $X$ は弧状連結である。
- $|X|\ge3$ なら $X$ は既約でない。
- $|X|\ge2$ なら、$[0,1]$ から $X$ への連続な単射は存在しない。とくに相異なる二点を結ぶ弧はなく、$X$ は弧連結でない。
- $\{X\}\cup\{\{q\}\mid q\neq p\}$ は弧状連結な開集合からなる開基であり、$X$ は局所弧状連結である。一方 $|X|\ge2$ なら、$p$ は弧連結な近傍をもたない。
- $X$ は散在的（空でない部分集合がどれも孤立点をもつ。孤立点）である。
- $|X|\ge2$ なら、$p$ は $X$ の分散点である。
- 開被覆は $p$ を覆う元を含み、それは $X$ なので、その一枚が有限部分被覆である。
- $X=U\cup V$ を互いに素な開集合への分割とすると、$p$ を含むほうは $X$ で、もう一方は空である。空でない閉集合はすべて $p$ を含むので、どの二つも交わる。
- $p$ を含まない開集合 $U$ について、$f^{-1}(U)$ は、$a\in U$ なら $[0,1/2)$ を、$b\in U$ なら $(1/2,1]$ を集めたもので、$[0,1]$ の開集合である（$a$ や $b$ が $p$ のときは $U$ に含まれないので該当しない）。$U=X$ なら逆像は $[0,1]$ である。
- 相異なる $q,r\neq p$ について、$\{q\}$ と $\{r\}$ は互いに素な空でない開集合である。
- 連続な単射 $g\colon[0,1]\to X$ があったとすると、像は二点以上なので $p$ と異なる点 $q=g(t)$ を含む。$\{q\}$ は開集合なので $g^{-1}(\{q\})=\{t\}$ は $[0,1]$ の開集合になるが、$[0,1]$ の一点集合は開集合でない。弧（弧状連結空間 の定義「弧連結性」）は連続な単射なので、相異なる二点を結ぶ弧もない。
- $p$ の近傍は $X$ だけであり、$q\neq p$ の開近傍はすべて $\{q\}$ を含むので、この族は開基である。$X$ は 3 により、一点集合は定値の道により弧状連結である。$p$ の近傍は $X$ だけで、5 により弧連結でない。
- 空でない $A$ が $q\neq p$ を含めば、$\{q\}\cap A=\{q\}$ が相対開集合なので $q$ は孤立点である。そうでなければ $A=\{p\}$ で、一点の空間の点は孤立点である。
- 2 により $X$ は連結である。$X\setminus\{p\}$ は離散空間（prop-ept-closure の 3）なので、二点以上の部分集合は一点とその補集合に分けられ、完全不連結である。$\square$
$H\colon X\times[0,1]\to X$ を、$t<1$ で $H(x,t)=x$、$t=1$ で $H(x,1)=p$ と定める。$p$ を含まない開集合 $U$ の逆像は $U\times[0,1)$、$X$ の逆像は $X\times[0,1]$ で、どちらも積位相の開集合なので $H$ は連続である。$H(p,t)=p$ なので、$\{p\}$ は $X$ の強変位レトラクト（変位レトラクト）であり、$X$ は 可縮空間 である。弧連結でない（thm-ept-connected の 5）のに可縮である。
$|X|\ge3$ の除外点位相は、ultraconnected だが既約でない。特定点位相 の三点以上の場合は逆に、既約だが ultraconnected でない。どちらも散在的で連結なので、$T_1$ を仮定しなければ「散在的なら完全不連結」は成り立たない（$T_1$ 空間では、二点以上の連結集合 $C$ の孤立点 $x$ について $\{x\}$ が $C$ の開かつ閉な部分集合になるので、成り立つ）。
可算性と点列
- $p$ の局所基として $\{X\}$、$q\neq p$ の局所基として $\{\{q\}\}$ がとれる。
- $p$ の近傍は $X$ だけなので、どの点列も最初の項から $p$ の近傍に入る。部分列も $p$ に収束する。
- $X$ が高々可算なら thm-ept-connected の 6 の開基は高々可算である。逆に $\mathcal{B}$ を開基とすると、$q\neq p$ について開集合 $\{q\}$ の点 $q$ に対し $q\in B\subset\{q\}$ となる $B\in\mathcal{B}$ が要るので $\{q\}\in\mathcal{B}$ である。よって $q\mapsto\{q\}$ は $X\setminus\{p\}$ から $\mathcal{B}$ への単射であり、$\mathcal{B}$ が高々可算なら $X$ も高々可算である。
- prop-ept-closure の 5 により、稠密な集合は $X\setminus\{p\}$ を含み、逆に $X\setminus\{p\}$ は空でないので稠密である。$\square$
2 はコンパクトで第1可算な空間が点列コンパクトであること（第1可算公理 の系「コンパクトならば点列コンパクト」）の具体例でもある。Hausdorff でない空間では点列の極限はただ一つとは限らず、ここでは $p$ がすべての点列の極限になる。
一方、非可算集合 $X$ の除外点位相はコンパクトなので Lindelöf空間 だが、開部分空間 $X\setminus\{p\}$ は非可算な離散空間なので Lindelöf でも可分でもない。コンパクト性・Lindelöf 性は閉部分空間には遺伝するが、開部分空間には遺伝しない。
除外する点を集合に広げた位相
除外する一点を部分集合に広げることもできる。集合 $S$ と $A\subset S$ について、$S$ 自身と、$A$ と交わらない部分集合の全体
$$\sigma_A:=\{S\}\cup\{U\subset S\mid U\cap A=\emptyset\}$$
は $S$ 上の位相である（$\tau^p$ と同じ確かめ方による）。これを除外集合位相（excluded set topology）という。$A=\{p\}$ なら除外点位相 $\tau^p$、$A=\emptyset$ なら離散位相である。
$\sigma_A$ が $T_0$ であることと $|A|\le1$ は同値である。実際、$A$ の相異なる二点 $a,b$ を含む開集合は $S$ だけなので、$a,b$ はどの開集合でも区別できない。逆に $|A|\le1$ なら、相異なる二点の少なくとも一方 $q$ は $A$ の外にあり、開集合 $\{q\}$ が $q$ だけを含む。
Either-Or 位相
除外点位相を開かつ閉な部分として含み、両端に孤立点を二つ足した空間も、反例としてよく使われる。
集合 $Z=[-1,1]$ と $M=(-1,1)$ をとる。$U\subset Z$ を、$0\notin U$ または $M\subset U$ を満たすときに開集合と定めると、$Z$ 上の位相が得られる。これを Either-Or 位相（either-or topology）という。
位相であることは次のように確かめられる。$\emptyset$ と $Z$ は条件を満たす。開集合の族の合併が $0$ を含めば、$0$ を含む元が $M$ を含むので合併も $M$ を含む。二つの開集合の共通部分が $0$ を含めば、両方が $0$ を含むので両方が $M$ を含む。ここで $Z$ には $[-1,1]$ の通常の位相を入れない。
$Z$ に Either-Or 位相を入れる。
- $M$、$\{-1\}$、$\{1\}$ はどれも開かつ閉であり、$Z$ はこの三つの部分空間の位相的直和である。
- 部分空間 $M$ の位相は、$M$ 上の点 $0$ についての除外点位相である。
- $Z$ の閉集合は、$0$ を含む集合と、$\{-1,1\}$ の部分集合である。$A\subset Z$ の閉包は、$A\cap M\neq\emptyset$ なら $A\cup\{0\}$、そうでなければ $A$ である。
- $\{-1\}$ と $\{1\}$ は $0$ を含まないので開集合で、補集合 $M\cup\{1\}$、$M\cup\{-1\}$ は $M$ を含むので開集合である。$M$ は開集合で、補集合 $\{-1,1\}$ は $0$ を含まないので開集合である。三つの部分が開かつ閉で互いに交わらず $Z$ を覆うので、$U\subset Z$ が開集合であることと、$U$ と各部分の共通部分が各部分空間で開集合であることは同値であり、$Z$ は位相的直和である。
- $U$ が $0$ を含まない開集合なら $U\cap M$ は $M\setminus\{0\}$ の任意の部分集合になりえ、$U\supset M$ なら $U\cap M=M$ である。よって $M$ の開集合は $M$ と $0$ を含まない部分集合であり、def-ept の $\tau^0$ に一致する。
- $Z\setminus F$ が開集合であることは、$0\in F$ または $F\subset\{-1,1\}$ と同値である。閉包は 1 により各部分での閉包の合併であり、$\{\pm1\}$ では閉包は自分自身、$M$ では prop-ept-closure の 2 により空でない $A\cap M$ の閉包が $(A\cap M)\cup\{0\}$ になる。$\square$
$Z$ に Either-Or 位相を入れる。
- $Z$ は $T_0$ で、正規性条件と遺伝正規性条件を満たすが、$T_1$ でなく、正則性条件を満たさない。
- $Z$ はコンパクトである。$K\subset Z$ がコンパクトであることと、$0\in K$ または $K$ が有限であることは同値である。開部分空間 $Z\setminus\{0\}$ は非可算な離散空間であり、Lindelöf でない。
- $Z$ は第1可算だが可分でない。
- $Z$ は局所弧状連結であるが、$0$ は弧連結な近傍をもたない。$Z$ は散在的である。
- $Z$ の連結成分と弧状連結成分は $M$、$\{-1\}$、$\{1\}$ の三つである。$Q=\{-1,0,1\}$ は $Z$ の強変位レトラクトであり、$Z$ は三点の離散空間とホモトピー同値である。とくに任意のアーベル群 $G$ について、特異ホモロジーは $H_0(Z;G)\cong G^3$、$H_n(Z;G)=0$（$n\ge1$）である。
- $Z$ の疎な部分集合は $\emptyset$ と $\{0\}$ だけであり、$Z$ は可算個の疎な集合の合併でない（第1類でない）。
- 相異なる二点の少なくとも一方 $x$ は $0$ と異なり、$\{x\}$ は開集合なので $T_0$ である。$0$ を含む開集合は $M$ を含むので、$x\in M\setminus\{0\}$ を除く開集合で $0$ を含むものはなく、$T_1$ でない。同じ理由で、閉集合 $\{0\}$ と点 $x\in M\setminus\{0\}$ は交わらない開集合で分けられず、正則性条件も成り立たない。遺伝正規性条件を示す。$A,B$ が分離されているとする。一方が空なら $\emptyset$ と $Z$ で分けられる。$A,B$ がともに $0$ を含まなければ、それ自身が互いに素な開集合である。$0\in A$ なら $0\notin\overline{B}$ なので、prop-ept-either-or-structure の 3 により $B\cap M=\emptyset$、すなわち $B\subset\{-1,1\}$ である。$B$ は開かつ閉なので、$B$ と $Z\setminus B\supset A$ が分ける。$0\in B$ の場合も同じである。互いに素な閉集合は分離されているので、正規性条件も成り立つ。
- 開被覆の元で $0$ を含むものは $M$ を含むので、それに $\pm1$ を覆う元を高々二つ加えれば有限部分被覆になる。$0\in K$ なら、$K$ の開被覆についても同じ議論が通る。$0\notin K$ なら $K$ のどの部分集合も $0$ を含まず開集合なので $K$ は離散であり、コンパクトであることと有限であることは同値である。とくに $Z\setminus\{0\}$ は非可算な離散空間なので、一点集合からなる開被覆は可算な部分被覆をもたない。
- $0$ では $\{M\}$、それ以外の点 $x$ では $\{\{x\}\}$ が局所基である。稠密な集合はすべての開集合 $\{x\}$（$x\neq0$）と交わるので $Z\setminus\{0\}$ を含み、非可算である。
- 開基 $\{M\}\cup\{\{x\}\mid x\neq0\}$ の元は弧状連結である（$M$ は thm-ept-connected の 3 による）。連続な単射 $g\colon[0,1]\to Z$ があれば、像は $0$ と異なる点 $x$ を含み、$g^{-1}(\{x\})$ が $[0,1]$ の開集合である一点集合になって矛盾する。よって二点以上の部分集合はどれも弧連結でなく、$0$ の近傍は $M$ を含むので弧連結でない。散在的であることは thm-ept-connected の 7 と同じ議論による。
- $M$ は連結かつ弧状連結であり（thm-ept-connected の 2・3）、連結な集合は互いに交わらない開かつ閉な二つの部分にまたがれないので、成分は三つの部分である。$r\colon Z\to Q$ を $M$ 上で $0$、$\pm1$ では恒等と定めると、どの部分集合の逆像も三つの部分の合併なので $r$ は連続である。$M$ 上では ex-ept-contractible の $H$、$\{\pm1\}$ 上では定値とするホモトピーは、各部分の上で連続なので $Z\times[0,1]$ 上で連続であり、$Q$ を固定して恒等写像を $r$ に結ぶ。$Q$ は離散である（$\{0\}=Q\cap M$）。ホモロジーの主張は 特異ホモロジー のホモトピー不変性による。
- $x\neq0$ が $N$ に属せば、開集合 $\{x\}$ が $\overline{N}$ の内部に含まれるので $N$ は疎でない。$\{0\}$ は閉集合で、$0$ を含む開集合は $M$ を含むので内部は空であり、疎である。疎な集合の可算個の合併は $\{0\}$ に含まれ、$Z$ に一致しない。$\square$
$Z$ 自身は除外点位相をもつ空間ではない。除外点位相は連結であるが（thm-ept-connected の 2）、$Z$ は三つの成分に分かれるからである。$Z$ は、遺伝正規性条件を満たし $T_0$ だが $T_1$ でない空間で、さらにコンパクトだが開部分空間が Lindelöf でない、という性質を非可算集合上の除外点位相と共有する。
反例の表
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| Hausdorff 性 | 二点以上の集合 $X$ の除外点位相のコンパクト集合 $\{q\}$ | コンパクト集合は閉集合である |
| 部分空間が閉集合であること | 無限集合 $X$ の除外点位相の開部分空間 $X\setminus\{p\}$ | コンパクト空間の部分空間はコンパクトである |
| Hausdorff 性 | 二点以上の集合 $X$ の除外点位相 | 弧状連結なら弧連結である |
| $T_1$（$T_0$ は残す） | 二点以上の集合 $X$ の除外点位相 | 遺伝正規性条件を満たせば Hausdorff である |
| $T_1$ | 二点以上の集合 $X$ の除外点位相 | 散在的な空間は完全不連結である |
| 距離化可能性 | 二点以上の集合 $X$ の除外点位相 | 閉集合は $G_\delta$ 集合である |
1 行目は $\{q\}$ が有限なのでコンパクトで、$p$ を含まないので閉でないこと（prop-ept-closure の 1）、2 行目は thm-ept-connected の 1 と prop-ept-closure の 3、3 行目は thm-ept-connected の 3・5、4 行目は thm-ept-separation の 1・2、5 行目は thm-ept-connected の 2・7、6 行目は thm-ept-separation の 3 による（距離空間では閉集合は $G_\delta$ 集合である：Gδ集合 の命題「距離空間の閉集合は $G_\delta$-集合」）。
出典
除外点位相の性質の一覧は SS78 の Examples 13–15（pp. 47–48）にある。そこでは二点の場合を Sierpiński 空間として除き、三点以上を仮定して性質を述べている。除外集合位相は同じ項の続き（pp. 47–48）、Either-Or 位相は Example 17（pp. 48–49）にある。同書の $T_4$・$T_5$ は $T_1$ を含まない条件で、本記事の正規性条件・遺伝正規性条件にあたる。
関連項目
参考文献
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