余極限(豊穣圏)
概要
余極限(豊穣圏)（enriched conical colimit）とは、豊穣圏で通常の小圏を添字とする図式の余錐であって、各対象 $x$ について Hom 対象 $\mathcal{C}(L,x)$ から極限 $\lim_{j}\mathcal{C}(Dj,x)$ への比較射が基礎圏 $\mathcal{V}$ の同型になるものである。豊穣余極限は台の圏の余極限であり、$\mathcal{V}=\mathbf{Set}$ の場合や余テンソルが存在する場合は通常の余極限が豊穣余極限になるが、$\mathbf{Pos}$ 豊穣圏では通常の余積が豊穣余積にならない反例がある。豊穣左随伴は豊穣余極限を保ち、終対象をもつ添字圏ではその成分が余極限を与える。
定義
余極限(圏論)は図式からの射を一つの対象からの射としてまとめる。豊穣圏では、その対応が射の集合だけでなくHom対象の構造を保つことを要求する。
本記事では通常の小圏を添字とする conicalな豊穣余極限を扱う。一般の重み付き余極限（重み付き極限(豊穣圏)）とは区別する。基礎を局所小で完備・余完備な対称モノイダル閉圏 $(\mathcal V,\otimes,I)$ とする。これは以下の構成の十分条件で、各余極限の最小仮定を主張するものではない。
$\mathcal V$-豊穣圏 $\mathcal C$ はHom対象 $\mathcal C(x,y)$、結合的な合成 $\mathcal C(y,z)\otimes\mathcal C(x,y)\to\mathcal C(x,z)$、単位 $I\to\mathcal C(x,x)$ を持つ。台の通常圏では
$$
\mathcal C_0(x,y)=\mathcal V(I,\mathcal C(x,y))
$$
が射集合となる。内部Homは $\mathcal V(T\otimes K,H)\cong\mathcal V(T,[K,H])$ を自然に満たす。
通常の小圏 $J$ と図式 $D:J\to\mathcal C_0$ を取る。余錐は対象 $L$ と射 $\iota_j:Dj\to L$ の族で、各 $a:j\to k$ に対し $\iota_k\circ D(a)=\iota_j$ を満たすものとする。
$x\in\mathcal C$ に対して
$$
R_D(x):=\lim_{j\in J^{\mathrm{op}}}\mathcal C(Dj,x)
$$
を $\mathcal V$ 内の通常の極限(圏論)として取る。$a:j\to k$ に対する作用は前合成 $\mathcal C(Dk,x)\to\mathcal C(Dj,x)$ である。具体的には、積(圏論)の間の等化子として
$$
R_D(x)=\operatorname{Eq}\left(
\prod_j\mathcal C(Dj,x)
\rightrightarrows
\prod_{a:j\to k}\mathcal C(Dj,x)\right),
$$
二本の射の $a$ 成分は $j$ 成分への射影と、$k$ 成分への $D(a)$ の前合成である。
余極限(豊穣圏)（enriched conical colimit）は、余錐 $(L,\iota)$ で、すべての $x$ について指定比較射
$$
\psi_x:\mathcal C(L,x)\longrightarrow R_D(x),
\qquad f\longmapsto(f\circ\iota_j)_j
$$
が $\mathcal V$ の同型となるものである。
この写像は単なる要素の対応ではなく、合成と極限の普遍性で定まる $\mathcal V$ の射である。任意の $T\in\mathcal V$ からの射で試験すると、$T\to\mathcal C(L,x)$ と、$T\to\mathcal C(Dj,x)$ の整合族が全単射になる。合成の結合律から $x$ に関する豊穣自然性も得る。Kel05 §3.8、式(3.55)。
直感と重みの向き
余極限の定義でもHom側には極限が現れる。図式の各対象から $x$ へ出る射を、すべての射に沿って整合させるためである。$\mathcal C(Dj,x)$ は $j$ に反変なので、添字は $J^{\mathrm{op}}$ になる。
$J_{\mathcal V}$ は対象が $J$ と同じで、Hom対象が
$$
J_{\mathcal V}(j,k)=\coprod_{a\in J(j,k)}I
$$
である自由 $\mathcal V$-圏である。合成は $J$ の合成から定まる。テンソル積が余積を保つのでこの構成が可能で、$D$ は豊穣関手 $\bar D:J_{\mathcal V}\to\mathcal C$ に延長する。
通常の定値関手 $J^{\mathrm{op}}\to\mathcal V$、値 $I$ は、重み $U_J:J_{\mathcal V}^{\mathrm{op}}\to\mathcal V$ に延長する。各対象で値は $I$、各通常の射は恒等写像として作用する。
豊穣自然変換対象 $[J_{\mathcal V}^{\mathrm{op}},\mathcal V](U_J,G)$ は、$T$ からの射が作用と整合する族 $T\otimes U_J(j)\to G(j)$ に対応する対象である。これは内部Homの積の等化子で構成できる。$U_J(j)=I$ と $G(j)=\mathcal C(Dj,x)$ を代入すると
$$
[J_{\mathcal V}^{\mathrm{op}},\mathcal V](U_J,\mathcal C(\bar D(-),x))
\cong R_D(x)
$$
を得る。余極限の重みが反変になる理由もこの式に現れている。Kel05 §§2.5, 3.1, 3.8。
任意の豊穣添字圏上の定値単位が自動的に重みとなるわけではない。$\mathbf{Ab}$ で環 $\mathbb Z/2\mathbb Z$ を一対象豊穣圏とすると、値 $I=\mathbb Z$ の反変豊穣関手には $\mathbb Z$ 上の単位的な右 $\mathbb Z/2\mathbb Z$ 作用が必要となる。$2\operatorname{id}_{\mathbb Z}\ne0$ なので存在しない。通常の添字圏からの自由豊穣化という条件を外してはならない。Kel05 §3.9。
例と反例
$\mathcal V=\mathbf{Set}$、$J$ が二対象の離散圏なら
$$
\operatorname{Hom}(A\amalg B,X)\cong
\operatorname{Hom}(A,X)\times\operatorname{Hom}(B,X).
$$
左の写像を両成分に制限する対応の逆は、二つの関数を非交和上で貼り合わせる操作である。したがって通常の非交和（余積(圏論)）は豊穣余積である。
$\mathbf{Pos}$ の非交和 $A\amalg B$ では、各成分の内部にだけ元の順序を入れる。単調写像 $A\amalg B\to X$ は各成分上の単調写像の組であり、二写像の大小も各成分で判定される。よって
$$
\mathbf{Pos}(A\amalg B,X)\cong
\mathbf{Pos}(A,X)\times\mathbf{Pos}(B,X)
$$
は順序同型で、非交和は豊穣余積である。
$\mathbf{Pos}$-豊穣圏 $\mathcal D$ に四対象 $a,b,p,x$ を置く。$E=\{0<1\}$、$S=\{u_{00},u_{01},u_{10},u_{11}\}$ は離散順序集合とし、
$$
\mathcal D(a,x)=\mathcal D(b,x)=E,\qquad
\mathcal D(p,x)=S,\qquad
\mathcal D(a,p)=\mathcal D(b,p)=\{*\}
$$
とする。自己Homは一点、それ以外のHomは空である。$a,b\to p$ を $\iota_a,\iota_b$ とし、合成を $u_{ij}\iota_a=i$、$u_{ij}\iota_b=j$ と定める。これらの合成は離散順序集合を始域に持つので単調であり、残りは単位による合成だから豊穣圏の公理を満たす。
台の圏では $p$ は $a,b$ の余積となる。終域が $x$ なら四つの射と四つの組が対応し、$p$ なら両側一点、$a,b$ なら両側空である。しかしHom順序集合の比較
$$
\mathcal D(p,x)=S\longrightarrow E\times E
$$
は $u_{ij}\mapsto(i,j)$ であり、順序を反映しない。したがってこの通常の余積は豊穣余積でない。これは豊穣積の反例を反対圏に移した構成でもある。
性質と証明
豊穣余極限は台の圏の余極限である。$\mathcal V=\mathbf{Set}$ では通常の余極限も豊穣余極限である。
表現可能関手 $\mathcal V(I,-)$ は極限を保つので、$\psi_x$ の同型に適用して
$$
\mathcal C_0(L,x)\cong\lim_{j\in J^{\mathrm{op}}}\mathcal C_0(Dj,x)
$$
を得る。右辺は通常の余錐の集合で、対応は $\iota_j$ との合成である。$\mathbf{Set}$ の場合はHom対象そのものがこの集合なので、通常の普遍性が豊穣普遍性と同じになる。 $\square$
二つの豊穣余極限の間には、余錐を保つ一意な同型が台の圏で存在する。
豊穣余錐に台圏を取ると通常の余錐になる。上のHom同型に単位対象からの射を適用すれば通常の余極限の普遍性が得られるため、この一意性は 余極限(圏論) の命題「余錐を保つ同型までの一意性」を適用して従う。
台の圏の余極限 $L$ とその余錐を取る。任意の $T,x$ について
$$
\mathcal V(T,\mathcal C(L,x))
\cong\mathcal C_0(L,T\pitchfork x)
\cong\lim_{j\in J^{\mathrm{op}}}\mathcal C_0(Dj,T\pitchfork x)
\cong\mathcal V(T,R_D(x)).
$$
閉性による $\mathcal V(I,[T,H])\cong\mathcal V(T,H)$ と、表現可能関手が極限を保つことを使った。余テンソル同型の自然性により、この全単射は指定比較 $\mathcal V(T,\psi_x)$ に一致する。全 $T$ で全単射だから $\psi_x$ は同型である。$T=R_D(x)$ から右逆を取り、$T=\mathcal C(L,x)$ の単射性を使えば両側逆であることを直接確認できる。 $\square$
空図式の豊穣余極限は豊穣始対象（始対象(豊穣圏)）である。一般に反対豊穣圏 $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ の極限は $\mathcal C$ の余極限となる。対称性によって合成因子を交換し、Homの向きを逆にすると上の定義が一致するためである。
conicalな余極限がすべて存在することと、一般の重み付き余極限がすべて存在することは分ける。すべてのテンソルも存在すれば、conicalな余完備性から重み付き余完備性を得る。これは Kel05 Theorem 3.73の双対であり、ここでは一般存在定理として引用する。
単体的豊穣化と∞圏
単体的集合で豊穣化した圏の厳密な余極限では、$\mathcal C(L,x)$ を通常の極限 $\lim_{J^{\mathrm{op}}}\mathcal C(Dj,x)$ と同型にする。しかし∞圏の余極限（余極限(∞圏)）が要求するのは、対応する写像空間（写像空間(∞圏)）のホモトピー普遍性である。全HomがKan複体であっても、右辺の通常の極限をホモトピー極限に置き換えてよいとは限らない。
この差を扱うため、重み・図式の適切なcofibrant置換、値域のfibrant条件などを用いる。単体的集合の個々の値がcofibrantであることは、任意の重みが関手圏でcofibrantであることを意味しない。置換後の普遍性と元の余錐の対応を別に確認する必要がある。
局所Kanな単体的添字圏と値域、および対応する余錐のもとで、豊穣表示でのホモトピー余極限がホモトピー整合的脈体の余極限に一致する比較は HTT09 Theorem 4.2.4.1による。局所Kan脈体とHom比較は Proposition 1.1.5.10、§2.2による。単体的モデル圏のcofibrant–fibrant部分圏や、適切に置換された単体的局所化を使えるが、これらの一般比較を厳密な豊穣余極限の定義だけから導いたことにはしない。
豊穣随伴が運ぶ余極限
普通の 余極限(圏論) の命題「左随伴は余極限を保存する」は、Hom集合の随伴同型で余錐を移すことを述べる。豊穣版ではHom対象の随伴同型を使う。台圏の随伴だけを知っている場合には、比較の順序や加法まで保つとは限らないので、この強い同型が必要である。
豊穣関手 $F:\mathcal C\to\mathcal B$ が豊穣右随伴 $G$ を持ち、Hom対象の豊穣自然な同型
$$\mathcal B(Fc,b)\cong\mathcal C(c,Gb)$$
があるとする。$(L,\iota)$ が $D:J\to\mathcal C_0$ の豊穣余極限なら、$(FL,F\iota)$ は $FD$ の豊穣余極限である。
任意の $b\in\mathcal B$ について、随伴と元の余極限の普遍性から
$$
\mathcal B(FL,b)\cong\mathcal C(L,Gb)
\cong\lim_{j\in J^{\mathrm{op}}}\mathcal C(Dj,Gb)
\cong\lim_{j\in J^{\mathrm{op}}}\mathcal B(FDj,b)
$$
を得る。最後の同型は随伴同型を図式の各成分へ適用したもので、自然性により前合成の射と可換する。さらに $\iota_j$ に関する自然性から、この合成は $F\iota_j$ の前合成で定まる指定比較射に一致する。従って指定比較は基礎圏の同型であり、$F\iota$ は豊穣普遍余錐である。$\square$
ここでは $F$ が基礎圏の極限を保存するとは仮定していない。右辺の極限は基礎圏のHom対象を集めているので、豊穣随伴の同型が図式全体をそのまま同型な図式へ移すことを使う。左随伴が保存するのは元の圏の余極限である。Hom側では反変な入力を動かしたため極限が現れる。この二つの向きを区別すると、証明の式の意味が明確になる。
終対象を持つ添字圏
通常の 余極限(圏論) の命題「終対象をもつ添字圏上の余極限」は、図式の最後の値を答えにできることを述べる。この場合は、豊穣版への昇格に余テンソルを仮定する必要がない。全てのパラメータに対する整合族を、終対象成分一つから明示的に作れるからである。
小圏 $J$ に終対象 $t$ があるとする。任意の通常図式 $D:J\to\mathcal C_0$ について、$Dt$ と射 $D(j\to t)$ は豊穣余極限を与える。
$\alpha_j:j\to t$ を唯一の射とする。$Dt$ からの余錐は $D\alpha_j$ であり、$a:j\to k$ に対して $\alpha_ka=\alpha_j$ なので余錐条件が成立する。任意の $x,T$ について、$h:T\to\mathcal C(Dt,x)$ を $D\alpha_j$ の前合成で各成分へ送ると整合族を得る。逆に整合族 $(h_j)$ を取ると、$\alpha_j$ に沿う整合性から $h_j=(D\alpha_j)^*h_t$ となる。$\alpha_t=1_t$ なので、作成と $t$ 成分の取り出しは互逆である。全 $T$ に自然な対応であり、比較射の逆は極限の $t$ 射影として直接得られる。従ってHom対象の指定比較は同型である。$\square$
例えば一本の矢印 $0\to1$ を添字とする図式の余極限は、その矢印の終域である。余錐の条件によって始域成分は終域成分から必ず決まり、追加の選択は残らない。並行二射の場合には終対象がないので、この議論で終域を答えにすることはできない。二射の差や一致条件を課す余等化子が必要になる。
パラメータで計算を比較する
加群の余等化子の例では、$T$ からHom加群への射は $T$ で動く線形写像の族であり、カリー化により $T\otimes_R B\to X$ として書ける。$hf=hg$ という条件は $T\otimes_R A$ 全体で課される。このため、商への因子化が単なる集合の全単射にとどまらずHom加群の同型であることが見える。同じ説明は、順序付きHomの例では族の大小の保持として現れる。
余極限の存在を調べる際は、指定比較射を先に作るとよい。余錐の射を使ってHom対象から各成分へ写し、余錐条件で等化子へ因子化する。その後に、一般の $T$ から見た逆対応を構成する。もし逆対応が $T=I$ でしか作れないなら、確認したのは台圏の余極限だけである。前のPos反例では、元の全単射は作れるが逆が単調でないため、この段階で豊穣普遍性が失敗する。
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| Hom対象での同型 | 離散四元Homから二点順序の積への比較 | 台圏の余積でも豊穣余積とは限らない |
| 自由豊穣化という入力 | 環 $\mathbb Z/2$ と定値 $\mathbb Z$ | 単位値の重みを定義できない |
| 添字の終対象 | Abでの二射 $0,2:\mathbb Z\rightrightarrows\mathbb Z$ の図式 | 終域 $\mathbb Z$ は余極限でなく、余極限は $\mathbb Z/2$ になる |
関連項目
参考文献
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