Fano多様体

$X$ は次元が正の完全交叉なので連結である。随伴公式を $c$ 回使うと $K_X=\mathcal{O}_X\bigl(\sum_id_i-N-1\bigr)$ である。$a:=N+1-\sum_id_i$ とおくと $-K_X=\mathcal{O}_X(a)$ である。$a>0$ なら豊富である。$a\le0$ なら、$X$ の任意の曲線 $C$ について $-K_X\cdot C=a\deg C\le0$ なので豊富でない。$a>0$ は $\sum_id_i\le N$ と同値である。$\square$

射影を $p,q$ とすると $-K_{X\times Y}=p^*(-K_X)+q^*(-K_Y)$ である。$-K_X$ と $-K_Y$ が豊富なら、それらの外部テンソル積も豊富である。逆に $-K_{X\times Y}$ が豊富なら、閉部分多様体 $X\times\{y\}$ への制限 $-K_X$ も豊富で、$Y$ についても同じである。$\square$

Hirzebruch曲面 の命題「Picard 群と交点数」の記号で、$-K\equiv2C_0+(m+2)f$、$C_0^2=-m$、$C_0\cdot f=1$、$f^2=0$、$K^2=8$ である。とくに $-K\cdot C_0=2-m$ である。
$m\ge2$ なら $-K\cdot C_0\le0$ なので $-K$ は豊富でない。
$m\le1$ とする。$C\ne C_0$ を既約曲線とすると、$C\cdot C_0\ge0$、$C\cdot f\ge0$ で、
$$ -K\cdot C=2\,C\cdot C_0+(m+2)\,C\cdot f $$
である。$C\cdot f=0$ なら $C$ はファイバーで $C\cdot C_0=1$ なので、どの場合も右辺は正である。$C=C_0$ でも $-K\cdot C_0=2-m>0$ である。$K^2=8>0$ と合わせて、中井–Moishezonの判定法 により $-K$ は豊富である。$\square$

$0$ でない切断があれば、有効因子 $D\sim mK_X$ がある。$-K_X$ は豊富なので $D\cdot(-K_X)^{n-1}\ge0$ である。一方 $D\cdot(-K_X)^{n-1}=-m(-K_X)^n<0$ なので矛盾する。$\square$

1：$\mathcal{O}_X=K_X\otimes(-K_X)$ で $-K_X$ は豊富なので、小平の消滅定理 の定理「小平–中野の消滅定理」により $i>0$ で $H^i(X,\mathcal{O}_X)=0$ である。
2：Hodge の対称性により $h^{p,0}=h^{0,p}=\dim H^p(X,\mathcal{O}_X)$ なので、1 から従う。
3：$-K_X$ が豊富なので、$2\pi c_1(X)$ は正の $(1,1)$ 形式で代表される。Calabi予想 の系「正の第 1 Chern 類と単連結性」により $X$ は単連結である。この系の証明は Yau の定理を使う。
4：指数層系列のコホモロジー
$$ H^1(X,\mathcal{O}_X)\to\operatorname{Pic}X\to H^2(X,\mathbb{Z})\to H^2(X,\mathcal{O}_X) $$
と 1 により $\operatorname{Pic}X\cong H^2(X,\mathbb{Z})$ である。$X$ はコンパクトなのでこの群は有限生成である。普遍係数定理により $H^2(X,\mathbb{Z})$ の捩れは $H_1(X,\mathbb{Z})$ の捩れと同型で、3 により $0$ である。$\square$

$P(t):=\chi(X,\mathcal{O}_X(tH))$ は $t$ の $n$ 次多項式で、最高次の係数は $H^n/n!$ である。thm-fano-vanishing により $P(0)=1$ である。
$-r< t< 0$ の整数 $t$ を考える。$H$ は豊富で $t<0$ なので $H^0(tH)=0$ である。$tH\sim K_X+(t+r)H$ で $t+r>0$ なので、$i>0$ で $H^i(tH)=0$ である。よって $P(t)=0$ である。
つまり $-1,\dots,-(r-1)$ は $P$ の相異なる零点である。$P\ne0$、$\deg P=n$ なので $r-1\le n$ となり、1 が従う。
$r=n+1$ なら
$$ P(t)=\frac{H^n}{n!}\prod_{i=1}^n(t+i) $$
で、$P(0)=H^n$ から $H^n=1$ である。よって $P(t)=\binom{t+n}{n}$ で、$h^0(H)=P(1)=n+1$ である（$i>0$ で $H^i(H)=0$ だから）。
$r=n$ とする。Serre 双対性から $P(-n-t)=(-1)^nP(t)$ である。$P$ の零点は $-1,\dots,-(n-1)$ ともう 1 つの $-a$ で、$\{-1,\dots,-(n-1)\}$ は $t\mapsto-n-t$ で保たれるので、$-a=-n+a$、すなわち $a=n/2$ である。したがって
$$ P(t)=\frac{H^n}{n!}\Bigl(t+\frac n2\Bigr)\prod_{i=1}^{n-1}(t+i) $$
で、$P(0)=H^n/2$ から $H^n=2$ である。$h^0(H)=P(1)=\frac{2}{n!}\bigl(1+\frac n2\bigr)n!=n+2$ である。$\square$

要点：$H$ の切断で順に切って曲線まで下げる。次数が $1$ なので切り口はいつも整で、曲線の上で $H$ は基点をもたない。

$-K_X$ は豊富なので、Kleiman の判定法により $\overline{NE}(X)\setminus\{0\}$ の上で正である。よって $\overline{NE}(X)_{K_X\ge0}=\{0\}$ である。錐定理 の定理「錐定理」の 1 により、$\overline{NE}(X)$ は $K_X$ 負の端射線 $R_j$ の和である。同じ定理の 2 を $A=-K_X$、$\varepsilon=\frac12$ に使うと、$(K_X+\varepsilon A)\cdot R_j=\frac12K_X\cdot R_j<0$ となる $R_j$ は有限個であるが、これはすべての $R_j$ である。同じ定理の 3 により、各 $R_j$ は有理曲線の類で張られ、$-K_X$ 次数は $2n$ 以下である。有限個の半直線の和は閉集合なので、$NE(X)$ と一致する。$\square$

$-K_X$ は豊富なので $K_X\cdot C\le-1$ である。$C^2\le-1$ と合わせると、算術種数について $2p_a(C)-2=C^2+K_X\cdot C\le-2$ である。$p_a(C)\ge0$ なので等号が成り立つ。よって $p_a(C)=0$ で、$C$ は $\mathbb{P}^1$ と同型であり、$C^2=K_X\cdot C=-1$ である。$\square$

Castelnuovoの有理性判定法 の例「反標準因子が豊富な曲面」により $X$ は有理である。$(-1)$ 曲線を順に縮約して、相対極小な曲面 $Y$ への射 $X\to Y$ を得る。相対極小な有理曲面は $\mathbb{P}^2$ と $m\ne1$ の $\mathbb{F}_m$ である（Poo17 系 9.3.23、pp. 274–275。この記事では証明しない）。
$Y=\mathbb{F}_m$、$m\ge2$ なら、負の切断 $C_0$ の $X$ への固有変換の自己交点数は $-m$ 以下である。これは lem-fano-negative に反する。よって $Y=\mathbb{P}^2$ または $Y=\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1$ である。$\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1$ の 1 点の爆発は $\mathbb{P}^2$ の 2 点の爆発でもあるので、$X\cong\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1$ でなければ、$X$ は $\mathbb{P}^2$ から爆発を繰り返して得られる。
途中で爆発の例外曲線の上の点を爆発すると、その例外曲線の固有変換の自己交点数は $-2$ 以下になり、lem-fano-negative に反する。よって $X$ は $\mathbb{P}^2$ の相異なる $r$ 点の爆発である。1 回の爆発で $K^2$ は $1$ 減るので $K_X^2=9-r$ で、これは正だから $r\le8$ である。
両方が同時に成り立たないことは次の通りである。$r=1$ の曲面は $(-1)$ 曲線をもつが、$\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1$ は負の曲線をもたない。ほかの $r$ とは次数で区別される。$\square$

次数 $e$ の既約曲線 $D$ の $p_i$ での重複度を $m_i$ とし、$X$ への固有変換を $\tilde D$ とする。$L$ を直線の類の引き戻し、$E_i$ を例外曲線とすると $-K_X=3L-\sum_iE_i$ なので
$$ -K_X\cdot\tilde D=3e-\sum_im_i $$
である。1 の直線では $3-3=0$ 以下、2 の 2 次曲線では $6-6=0$ 以下、3 の 3 次曲線では $9-(2+7)=0$ である。どれも $-K_X$ の豊富さに反する。$\square$

$X$ が Fano 多様体なら、$-K_X$ は正の直線束なので、$2\pi c_1(X)$ は正の閉 $(1,1)$ 形式 $\rho'$ で代表される。$X$ の Kähler 形式を 1 つとり、Calabi予想 の定理「Calabi 予想（Calabi–Yau の定理）」を $\rho'$ に使うと、$\rho(\omega')=\rho'$ となる Kähler 形式 $\omega'$ がある。
逆に $\rho(\omega)$ が正なら、Calabi予想 の命題「Ricci 形式と第 1 Chern 類」の証明のとおり、$\rho(\omega)$ は $-K_X$ の Hermite 計量の曲率で与えられるので、$-K_X$ は正の直線束である。小平の埋め込み定理 により $X$ は射影多様体で、$-K_X$ は豊富である。$\square$