de Moivreの定理

$n=3$ では $\cos3\theta=\cos^3\theta-3\cos\theta\sin^2\theta$、$\sin3\theta=3\cos^2\theta\sin\theta-\sin^3\theta$ である。$\sin^2\theta=1-\cos^2\theta$ などで書き直すと
$$ \cos3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta,\qquad \sin3\theta=3\sin\theta-4\sin^3\theta $$
となる。$n=5$ の正弦は $\sin5\theta=5\cos^4\theta\sin\theta-10\cos^2\theta\sin^3\theta+\sin^5\theta$ で、$\cos^2\theta=1-\sin^2\theta$ を代入して整理すると
$$ \sin5\theta=16\sin^5\theta-20\sin^3\theta+5\sin\theta $$
である。

$\theta=\pi/5$ では $\sin5\theta=\sin\pi=0$ であり、$s:=\sin\frac\pi5>0$ なので、ex-dmv-triple の式を $s$ で割ると $16s^4-20s^2+5=0$ である。$s^2$ についての 2 次方程式を解くと $s^2=\frac{5\pm\sqrt5}8$ である。同じ方程式は $\theta=2\pi/5$ でも成り立ち、$0< \frac\pi5< \frac{2\pi}5< \frac\pi2$ で $\sin$ は増加するので、$\sin^2\frac\pi5$ は小さいほうの根である。よって
$$ \sin\frac\pi5=\sqrt{\frac{5-\sqrt5}8} $$
である（$\approx0.5878$）。

$n=4$ では、$j=0,4$ の項が $\cos4\theta$、$j=1,3$ の項が $4\cos2\theta$、$j=2$ の項が $6$ なので
$$ \cos^4\theta=\frac{2\cos4\theta+8\cos2\theta+6}{16}=\frac{\cos4\theta+4\cos2\theta+3}8 $$
である。$\cos4\theta$、$\cos2\theta$ は $[0,2\pi]$ での積分が $0$ なので、$\int_0^{2\pi}\cos^4\theta\,d\theta=2\pi\cdot\frac38=\frac{3\pi}4$ である。

$1+i=\sqrt2\,E(\pi/4)$ なので、cor-dmv-polar により
$$ (1+i)^{10}=2^5E\Bigl(\frac{10\pi}4\Bigr)=32\,E\Bigl(\frac\pi2+2\pi\Bigr)=32i $$
である（$(1+i)^2=2i$ から $(2i)^5=32i$ と確かめられる）。同様に $1+\sqrt3\,i=2E(\pi/3)$ から $(1+\sqrt3\,i)^6=2^6E(2\pi)=64$ である。

$n\ge0$ を整数、$\theta$ を実数とすると
$$ \sum_{k=0}^n\binom nk\cos k\theta=2^n\cos^n\frac\theta2\cos\frac{n\theta}2 $$
である。実際、$z=E(\theta)$ とおくと、二項定理と thm-dmv-main により $(1+z)^n=\sum_k\binom nkE(k\theta)$ である。一方 lem-dmv-product により $1+z=E(\tfrac\theta2)\bigl(E(-\tfrac\theta2)+E(\tfrac\theta2)\bigr)=2\cos\frac\theta2\,E(\tfrac\theta2)$ なので、$(1+z)^n=2^n\cos^n\frac\theta2\,E(\tfrac{n\theta}2)$ である。2 つの表示の実部を比べればよい（虚部を比べると $\sin$ の同じ形の式が出る）。$\theta=0$ では $\sum_k\binom nk=2^n$ になる。

$n\ge2$ とし、$\zeta:=E(2\pi/n)$ とおく。thm-dmv-main により $\zeta^n=E(2\pi)=1$ であり、$0< 2\pi/n< 2\pi$ なので $\zeta\ne1$ である。等比数列の和の公式から
$$ \sum_{k=0}^{n-1}\zeta^k=\frac{\zeta^n-1}{\zeta-1}=0 $$
である。$\zeta^k=E(2\pi k/n)$ なので、実部と虚部を比べると $\sum_{k=0}^{n-1}\cos\frac{2\pi k}n=0$、$\sum_{k=0}^{n-1}\sin\frac{2\pi k}n=0$ を得る。正 $n$ 角形の頂点の重心が中心にあることを表している。

$1=E(0)=E(2\pi)$ である。もし $n=\frac12$ でも定理が成り立つなら、同じ数 $1$ の「$\frac12$ 乗」が $E(0)=1$ と $E(\pi)=-1$ の 2 つの値に等しくなってしまう。指数 $\frac12$ では、左辺は $E(\theta)$ という数だけでは決まらず、角 $\theta$ の選び方に依存する。

$0$ でない複素数 $w$ の偏角を $(-\pi,\pi]$ から選んだもの $\operatorname{Arg}w$ を主値といい、$w^{1/2}:=|w|^{1/2}E\bigl(\frac12\operatorname{Arg}w\bigr)$ と定めると、$w^{1/2}$ は $w$ だけで決まる。$\theta=\frac{3\pi}2$ では $E(\theta)=-i$、$\operatorname{Arg}(-i)=-\frac\pi2$ なので
$$ (\cos\theta+i\sin\theta)^{1/2}=E\Bigl(-\frac\pi4\Bigr)=\frac{1-i}{\sqrt2},\qquad \cos\frac\theta2+i\sin\frac\theta2=E\Bigl(\frac{3\pi}4\Bigr)=\frac{-1+i}{\sqrt2} $$
であり、両辺は一致しない（符号が逆である）。