曲面の双有理射の分解定理

thm-fbm-resolution により $p\colon Z\to X$ と射 $q:=\varphi\circ p$ がある。$q$ は双有理写像の合成なので双有理射であり、thm-fbm-main により点のブローアップの合成である。$\square$

要点：$Y$ は正規なので、Zariskiの主定理 の系「正規な底への双有理な固有射」により、ファイバーが有限な点の集合 $Y^\circ$ の上で $f$ は同型、その外のファイバーは連結で次元 $1$ 以上である。$Y^\circ$ がちょうど $f^{-1}$ の定義域であることと、基本点の集合が余次元 $2$ 以上であることを確かめる。

$E\cong\mathbb{P}^1$ の点 $Q=[t_0:u_0]$ は、$(x,y)$ に $\mathrm{GL}_2(k)$ を作用させると $[t:u]$ も同じく変換されるので、$Q=[0:1]$ としてよい。開集合 $u\ne0$ の上で $\pi^{-1}(U)$ は $\operatorname{Spec}A[t]/(x-ty)$（$U=\operatorname{Spec}A$）であり、$Q$ は $P$ のイデアル $(x,y)$ と $t$ で生成される極大イデアルにあたる。$x=ty$ なので $\mathfrak{m}_Q=(x,y,t)=(t,y)$ である。$E$ のイデアルは $\mathfrak{m}_P\mathcal{O}_{\tilde{Y}}=(x,y)=(ty,y)=(y)$ である。$\mathcal{O}_{\tilde{Y},Q}$ は 2 次元の正則局所環なので、極大イデアルを生成する 2 元 $t,y$ はどちらも $\mathfrak{m}_Q^2$ に属さない。$\mathcal{O}_{\tilde{Y},Q}/(y)=\mathcal{O}_{E,Q}$ は整域なので $(y)$ は素イデアルである。$\square$

$T:=\pi^{-1}\circ f\colon X\dashrightarrow\tilde{Y}$ は双有理写像である。$T$ が射であることを示せばよい（そのとき $\pi\circ T$ と $f$ は稠密な開集合で一致するので等しい）。$T$ が基本点 $P'$ をもつと仮定して矛盾を導く。$\tilde{Y}$ は射影的で $X$ は正規なので、$P'$ は閉点である（双有理不変量 の補題「不確定点は余次元 2 以上」）。
段 1：$f(P')=P$ で、$T(P')=E$．$f(P')\ne P$ なら、$P'$ の近傍は $f$ で $Y\setminus\{P\}$ に写り、その上で $\pi^{-1}$ は射なので $T$ は $P'$ で定義される。よって $f(P')=P$ である。$\Gamma\subset X\times\tilde{Y}$ を $T|_{\operatorname{dom}T}$ のグラフの閉包（被約な構造を入れた整スキーム）とし、$p_1,p_2$ を射影とする。$p_1\colon\Gamma\to X$ は固有な双有理射で $X$ は正規である。$p_1^{-1}(P')$ が有限なら、Zariskiの主定理 の系「正規な底への双有理な固有射」により $p_1$ は $P'$ の近くで同型で、$T=p_2\circ p_1^{-1}$ は $P'$ で定義されてしまう。よって $p_1^{-1}(P')$ は次元 $1$ 以上で、$p_1^{-1}(P')\subset\{P'\}\times\tilde{Y}\cong\tilde{Y}$ なので、$T(P'):=p_2(p_1^{-1}(P'))\subset\tilde{Y}$ は次元 $1$ 以上の閉集合である。$\pi\circ p_2$ と $f\circ p_1$ は $\Gamma$ の稠密な開集合で一致するので等しく、$T(P')\subset\pi^{-1}(f(P'))=E$ である。$E$ は既約な曲線なので $T(P')=E$ である。
段 2：$E$ の点から $P'$ へ戻る．$X$ は固有、$\tilde{Y}$ は正規なので、$T^{-1}=f^{-1}\circ\pi\colon\tilde{Y}\dashrightarrow X$ の基本点は有限個であり（双有理不変量 の補題「不確定点は余次元 2 以上」）、$T^{-1}$ は $E$ のある空でない開集合 $E\cap W$（$W:=\operatorname{dom}T^{-1}$）の上で射 $h\colon W\to X$ として定義される。$h\circ T$ は $T^{-1}(W)\cap\operatorname{dom}T$ の上で包含写像に等しいので、$T$ のグラフの $X\times W$ の部分は閉集合 $\{(h(w),w)\mid w\in W\}$ に含まれ、閉包をとっても $\Gamma\cap(X\times W)\subset\{(h(w),w)\}$ である。$T(P')=E$ より $E\cap W$ の各点 $Q'$ で $(P',Q')\in\Gamma$、したがって $h(Q')=P'$ である。点 $Q\in E\cap W$ を 1 つ固定する。
段 3：局所環．$X,Y,\tilde{Y}$ の関数体を同一視する。$h(Q)=P'$ なので $\mathcal{O}_{X,P'}\subset\mathcal{O}_{\tilde{Y},Q}$ で、$\mathfrak{m}_Q\cap\mathcal{O}_{X,P'}=\mathfrak{m}_{P'}$ である（$h$ が誘導する局所準同型）。同様に $f(P')=P$ から $\mathcal{O}_{Y,P}\subset\mathcal{O}_{X,P'}$ である。lem-fbm-local の局所座標 $x,y,t$ を $Q$ に対してとる。
$P$ は $f^{-1}$ の基本点なので、lem-fbm-fiber の 2 により $P'\in f^{-1}(P)$ はある曲線 $C\subset f^{-1}(P)$ の上にある。$\mathcal{O}_{X,P'}$ は正則局所環なので一意分解整域であり、$C$ の $P'$ での素イデアルは単項 $(z)$ である。$x,y\in\mathfrak{m}_P$ は $f^{-1}(P)\supset C$ の上で消えるので $x=az$、$y=bz$（$a,b\in\mathcal{O}_{X,P'}$）と書ける。$b\in\mathfrak{m}_{P'}$ なら $y=bz\in\mathfrak{m}_{P'}^2\subset\mathfrak{m}_Q^2$ となって lem-fbm-local に反するので、$b$ は単元であり、$t=x/y=a/b\in\mathcal{O}_{X,P'}$ である。$t\in\mathfrak{m}_Q$ なので $t\in\mathfrak{m}_Q\cap\mathcal{O}_{X,P'}=\mathfrak{m}_{P'}$ である。
段 4：矛盾．$h$ は $Q$ の近くの $E$ の点をすべて $P'$ に写すので、$w\in\mathfrak{m}_{P'}$ の $h$ による引き戻しは $Q$ の近くの $E$ の閉点で消える。$E$ は被約な $k$ 上有限型のスキームなので、その関数は $\mathcal{O}_{E,Q}$ の中で $0$ であり、$w\in(y)\mathcal{O}_{\tilde{Y},Q}$ である。とくに $t\in(y)$ で、$\mathfrak{m}_Q=(t,y)=(y)$ は単項になり、$\dim\mathcal{O}_{\tilde{Y},Q}=2$ に反する。$\square$

$n(f)$ の有限性と $n(f)=0\iff f$ が同型は lem-fbm-fiber の 3 である。$n(f)$ についての帰納法で示す。$n(f)\ge1$ とすると $f^{-1}$ の基本点 $P$ があり、prop-fbm-factor-through により $f=\pi\circ f_1$（$\pi\colon\tilde{Y}\to Y$ は $P$ のブローアップ）と分解する。$\tilde{Y}$ は曲面で、$f_1=\pi^{-1}\circ f$ は双有理射である。$n(f_1)=n(f)-1$ を示せば、帰納法の仮定から $f_1$ は $n(f)-1$ 個の点のブローアップの合成であり、$f$ は $n(f)$ 個の合成になる。
$f_1$ がつぶす曲線は $f$ もつぶす。$f$ がつぶすが $f_1$ がつぶさない曲線 $C$ では $f(C)=\{P\}$ であり（$f(C)$ が $P$ 以外の点なら、$\pi$ はその点の上で同型なので $f_1(C)$ も 1 点になる）、$f_1(C)$ は $\pi^{-1}(P)=E$ に含まれる 1 次元の既約閉集合（$f_1$ は固有なので像は閉）だから $f_1(C)=E$ である。そのような $C$ がちょうど 1 つあることを示す。
存在：$f_1$ は固有で支配的なので全射であり、閉集合 $f_1^{-1}(E)$ の有限個の既約成分の像（閉で既約）が $E$ を覆うから、ある成分 $C_E$ は $E$ の上へ写る。$C_E\ne X$ で次元は $1$ 以上なので曲線であり、$f(C_E)=\pi(E)=P$ である。
一意性：lem-fbm-fiber の 1 を $f_1$ に当てると、$f_1$ は $\tilde{Y}$ の有限集合の外で同型なので、$E$ の生成点 $\eta_E$ の上のファイバーは 1 点である。$f_1(C)=E$ となる曲線 $C$ の生成点は $\eta_E$ に写るので、そのような $C$ は 1 つしかない。
よって $n(f_1)=n(f)-1$ である。$\square$

$0\ne s\in V$ をとり、その零点の有効因子を $D$、$D$ の既約成分を $C_1,\dots,C_r$ とする。各 $j$ について $V_j:=\{s'\in V\mid s'|_{C_j}=0\}$ は $V$ の真の部分空間である（$C_j$ は無限集合で $\operatorname{Bs}(V)$ は有限だから）。$k$ は無限体なので $V\ne V_1\cup\cdots\cup V_r$ であり、どの $V_j$ にも属さない $s'$ をとると、その零点の有効因子 $D'$ は $D$ と共通の既約成分をもたない。曲面の交点形式 の定理「交点形式」の 3 により
$$ (\mathcal{L}\cdot\mathcal{L})=D\cdot D'=\sum_{x\in D\cap D'}\dim_k\mathcal{O}_{X,x}/(f_x,g_x)\ \ge0 $$
である（$f_x,g_x$ は $D,D'$ の局所方程式）。$x\in\operatorname{Bs}(V)$ なら $x\in D\cap D'$ で、その項は $1$ 以上である。$D=0$ なら $\mathcal{L}\cong\mathcal{O}_X$ で $(\mathcal{L}\cdot\mathcal{L})=0$、$s$ はどこでも消えないので $\operatorname{Bs}(V)=\emptyset$ である。$\square$

線形系による表示．$Y\subset\mathbb{P}^N$ を閉埋め込みとし、$U:=\operatorname{dom}\varphi$、$g\colon U\to\mathbb{P}^N$ をその上の射とする。$X\setminus U$ は有限個の点である（双有理不変量 の補題「不確定点は余次元 2 以上」）。$\mathcal{L}_U:=g^*\mathcal{O}(1)$ は切断 $g^*x_0,\dots,g^*x_N$ で生成される。$X$ は滑らかなので局所環は一意分解整域であり、余次元 $2$ の集合を除いても因子類群は変わらず、因子類群と Picard 群は一致する（Har77 II, Proposition 6.5(b), p. 133、Corollary 6.16, p. 145）。よって $X$ 上の可逆層 $\mathcal{L}$ で $\mathcal{L}|_U\cong\mathcal{L}_U$ となるものがあり、切断 $g^*x_i$ は $X$ 全体の切断 $s_i$ に一意に延びる（双有理幾何学 の補題「局所自由層の切断の延長」）。$V:=\langle s_0,\dots,s_N\rangle$ とすると $\operatorname{Bs}(V)\subset X\setminus U$ は有限である。
基点でのブローアップ．$\operatorname{Bs}(V)$ の点 $P$ をとり、$\pi\colon\tilde{X}\to X$ を $P$ のブローアップとする。$P$ で消える切断の引き戻しは $E$ の上で消えるので、$\pi^*s_i$（$s_i\ne0$）の零点の因子に $E$ が現れる重複度の最小値 $e\ge1$ をとると、$\pi^*s_i=\sigma^{e}\tilde{s}_i$ となる $\tilde{s}_i\in H^0(\tilde{X},\tilde{\mathcal{L}})$、$\tilde{\mathcal{L}}:=\pi^*\mathcal{L}\otimes\mathcal{O}(-eE)$ がある（$\sigma$ は $\mathcal{O}(E)$ の標準的な切断）。$\tilde{V}:=\langle\tilde{s}_i\rangle$ は $\tilde{X}\setminus E$ の上で $\pi^*V$ と同じ有理写像 $\varphi\circ\pi$ を定める。ある $\tilde{s}_i$ は $E$ の上で恒等的には消えないので、$\operatorname{Bs}(\tilde{V})\cap E$ は有限であり、$\operatorname{Bs}(\tilde{V})$ は有限である。交点数については $(\pi^*\mathcal{L}\cdot E)=0$、$E^2=-1$、$(\pi^*\mathcal{L})^2=\mathcal{L}^2$（Har77 V, Proposition 3.2, pp. 386–387）から
$$ (\tilde{\mathcal{L}}\cdot\tilde{\mathcal{L}})=(\mathcal{L}\cdot\mathcal{L})-e^2\le(\mathcal{L}\cdot\mathcal{L})-1 $$
である。
終わり．これを繰り返すと、lem-fbm-mobile により自己交点数はつねに $0$ 以上で、基点がある限り $1$ 以上減るので、高々 $(\mathcal{L}\cdot\mathcal{L})$ 回で基点がなくなる。そのとき得られた $p\colon Z\to X$ と可逆層・切断は射 $\psi\colon Z\to\mathbb{P}^N$ を定め（Har77 II, Theorem 7.1, p. 150）、$\psi$ は稠密な開集合の上で $\varphi\circ p$ に一致する。$\psi^{-1}(Y)$ は稠密な閉集合なので $Z$ 全体であり、$Z$ は被約なので $\psi$ は $Y$ を経由し、$\varphi\circ p=\psi$ は射 $Z\to Y$ である。$\square$

要点：cor-fbm-birational-map により、1 点のブローアップ $\pi\colon\tilde{X}\to X$ について $\pi_*\mathcal{O}_{\tilde{X}}=\mathcal{O}_X$、$R^i\pi_*\mathcal{O}_{\tilde{X}}=0$（$i>0$）を示せばよい。前者は Zariski の主定理、後者は形式関数の定理で例外曲線の無限小近傍のコホモロジーを計算して示す（Har77 V, Proposition 3.4・Corollary 5.6, pp. 387, 413）。