完備束

下限。 $D:=\bigcap\mathcal{A}$ は閉包系の定義により $\mathcal{C}$ に属し、$\mathcal{A}$ の各元に含まれるので下界である。$M\in\mathcal{C}$ が $\mathcal{A}$ の下界なら、$M$ は $\mathcal{A}$ の各元に含まれるので $M\subseteq D$ である。よって $D$ は最大の下界である。
上限。 $N$ を右辺とする。$N$ は $\mathcal{C}$ の部分族の共通部分なので $\mathcal{C}$ に属する（部分族が空なら $N=X\in\mathcal{C}$）。共通部分をとる各 $M$ が $\bigcup\mathcal{A}$ を含むので $\bigcup\mathcal{A}\subseteq N$、すなわち $N$ は $\mathcal{A}$ の上界である。$M\in\mathcal{C}$ が $\mathcal{A}$ の上界なら $\bigcup\mathcal{A}\subseteq M$ なので、$M$ は共通部分をとる族に属し、$N\subseteq M$ である。よって $N$ は最小の上界である。$\square$

1. $\mathcal{A}\subseteq\mathcal{C}_C$ とし $D:=\bigcap\mathcal{A}$ とおく。各 $A\in\mathcal{A}$ について $D\subseteq A$ なので、単調性から $C(D)\subseteq C(A)=A$ であり、$C(D)\subseteq D$ となる。拡大性から $D\subseteq C(D)$ なので $C(D)=D$、すなわち $D\in\mathcal{C}_C$ である（$\mathcal{A}=\emptyset$ のときも $D=X$ で、$X\subseteq C(X)\subseteq X$ から成り立つ）。次に、冪等性から $C(A)$ は閉集合で、拡大性から $A$ を含む。$M$ が $A$ を含む閉集合なら、単調性から $C(A)\subseteq C(M)=M$ である。よって $C(A)$ は $A$ を含む最小の閉集合である。
2. $C:=C_{\mathcal{C}}$ と書く。$C(A)$ は $\mathcal{C}$ の部分族の共通部分なので $\mathcal{C}$ に属し、共通部分をとる各元が $A$ を含むので $A\subseteq C(A)$ である。$A\subseteq B$ なら、$B$ を含む $M\in\mathcal{C}$ は $A$ も含むので、$C(B)$ の共通部分をとる族は $C(A)$ の族に含まれ、$C(A)\subseteq C(B)$ である。$C(A)\in\mathcal{C}$ は $C(A)$ を含むので、$C(C(A))\subseteq C(A)$ であり、拡大性と合わせて冪等性が従う。閉集合については、$M\in\mathcal{C}$ なら $M$ 自身が共通部分をとる族に属するので $C(M)\subseteq M$、拡大性から $C(M)=M$ である。逆に $C(A)=A$ なら $A=C(A)\in\mathcal{C}$ である。
3. 2 は $\mathcal{C}_{C_{\mathcal{C}}}=\mathcal{C}$ を述べている。1 から、閉包作用素 $C$ について $C(A)$ は $A$ を含む最小の閉集合であり、最小元はそれを含む族の共通部分に等しいので $C(A)=C_{\mathcal{C}_C}(A)$ である。$\square$

$L$ の元の族 $(x_i)_{i\in I}$ について、$y\le x_i$ がすべての $i$ で成り立つことと、$y\le\bigwedge_ix_i$ は同値である。よって $\bigcap_i{\downarrow}x_i={\downarrow}\bigl(\bigwedge_ix_i\bigr)\in\mathcal{D}$ であり、$I=\emptyset$ のときも $\bigcap\emptyset=L={\downarrow}\top$ となる。したがって $\mathcal{D}$ は閉包系である。
$x\le y$ なら推移律から ${\downarrow}x\subseteq{\downarrow}y$ であり、逆に ${\downarrow}x\subseteq{\downarrow}y$ なら $x\in{\downarrow}x$ から $x\le y$ である。よって $x\mapsto{\downarrow}x$ は順序埋め込みであり、$\mathcal{D}$ の定義から全射なので順序同型である。最後に、$A\subseteq L$ を含む $\mathcal{D}$ の元 ${\downarrow}x$ は、$A$ の各元が $x$ 以下であること、すなわち $\bigvee A\le x$ と同値なので、その最小のものは ${\downarrow}\bigvee A$ である。thm-cl-correspondence の 2 から $C(A)={\downarrow}\bigvee A$ となる。$\square$

任意の部分集合が上限をもてば $L$ は完備束なので（Knaster–Tarskiの定理 の命題「上限だけからの完備性」）、上限をもたない部分集合 $S$ がある。整列可能定理により $S=\{s_\gamma\mid\gamma< \kappa\}$（$\kappa$ は順序数）と番号を付け、$\alpha\le\kappa$ に対し $S_\alpha:=\{s_\gamma\mid\gamma< \alpha\}$ とおく。$S_\kappa=S$ は上限をもたないので、上限をもたない $S_\alpha$ を与える最小の $\alpha$ がある。それを $\lambda$ とする。
$\lambda$ は後続順序数でない。実際 $\lambda=\beta+1$ なら、$S_\beta$ は上限 $t$ をもち、$u$ が $S_{\beta+1}=S_\beta\cup\{s_\beta\}$ の上界であることは $t\le u$ かつ $s_\beta\le u$、すなわち $t\vee s_\beta\le u$ と同値なので、$t\vee s_\beta$ が $S_{\beta+1}$ の上限になって $\lambda$ の選び方に反する。
$\alpha< \lambda$ について $t_\alpha:=\bigvee S_\alpha$ とおくと、$\alpha< \beta$ なら $S_\alpha\subseteq S_\beta$ なので $t_\alpha\le t_\beta$ である。$\{t_\alpha\}_{\alpha< \lambda}$ の上界全体が $S_\lambda$ の上界全体と一致することを示す。$u$ が各 $t_\alpha$ 以上なら、$\gamma< \lambda$ について $\lambda$ が後続順序数でないことから $\gamma+1< \lambda$ であり、$s_\gamma\le t_{\gamma+1}\le u$ となる。逆に $u$ が $S_\lambda$ の上界なら、各 $S_\alpha$ の上界なので $t_\alpha\le u$ である。上界の集合が同じなので上限の有無も同じであり、$S_\lambda$ が上限をもたないことから $\{t_\alpha\}$ も上限をもたない。$\lambda=0$ のときは族が空で、空集合が上限（最小元）をもたないことを意味する。$\square$

$U$ について二つのことを確かめる。(a) $u,v\in U$ なら、各 $t_\alpha$ は $u$ と $v$ の下界なので $t_\alpha\le u\wedge v$ であり、$u\wedge v\in U$ である。(b) $U$ は最小元をもたない。最小元があれば、それは最小の上界、すなわち上限になってしまう。
$L$ の整列順序 $\lhd$ を一つ固定する。超限再帰で、次の手順を続けられる限り $d_\beta$ を定める。$(d_\gamma)_{\gamma< \beta}$ が定まったとき、$X_\beta:=\{x\in U\mid\text{すべての }\gamma< \beta\text{ で }x\le d_\gamma\}$ とおく。$X_\beta=\emptyset$ なら止めて $\mu:=\beta$ とする。$X_\beta\neq\emptyset$ なら、その $\lhd$ に関する最小元を $x_\beta$ とする。(b) により $x_\beta$ は $U$ の最小元でないので、$x_\beta\not\le u$ となる $u\in U$ があり、そのうち $\lhd$ に関して最小のものを $u_\beta$ とする。そして $d_\beta:=x_\beta\wedge u_\beta$ とおく。
(a) により $d_\beta\in U$ であり、$d_\beta\le x_\beta\le d_\gamma$（$\gamma< \beta$）なので族は減少する。また $d_\beta\le u_\beta$ かつ $x_\beta\not\le u_\beta$ なので $d_\beta\neq x_\beta$、すなわち $d_\beta< x_\beta$ である。$\beta< \beta'$ で両方が定まれば、$x_{\beta'}\in X_{\beta'}$ から $x_{\beta'}\le d_\beta< x_\beta$ となるので $x_{\beta'}\neq x_\beta$ である。したがって $\beta\mapsto x_\beta$ は単射である。
$\mathcal{P}(L)$ の整列順序の順序型を $\theta$ とすると、Cantorの定理により $\theta$ から $L$ への単射はない。よって手順は $\theta$ に達する前に止まり、ある $\mu< \theta$ で $X_\mu=\emptyset$ となる。これは主張の性質そのものである（$U=\emptyset$ なら $\mu=0$ で止まる）。$\square$

1 ⇒ 2. $L$ を完備束、$f$ を単調写像とし、$P:=\{x\in L\mid f(x)\le x\}$、$p:=\bigwedge P$ とおく。$x\in P$ なら $p\le x$ なので $f(p)\le f(x)\le x$ であり、$f(p)$ は $P$ の下界である。よって $f(p)\le p$、すなわち $p\in P$ である。単調性から $f(f(p))\le f(p)$ なので $f(p)\in P$ であり、$p\le f(p)$ となる。反対称律から $f(p)=p$ である。
2 ⇒ 1. 対偶を示す。$L$ が完備束でないとし、lem-cl-increasing-family の族 $(t_\alpha)_{\alpha< \lambda}$、その上界全体 $U$、lem-cl-gap の族 $(d_\beta)_{\beta< \mu}$ をとる。$x\in L$ に対し $f(x)$ を次のように定める。

• $x\notin U$ のとき：$A(x):=\{\alpha< \lambda\mid t_\alpha\not\le x\}$ は空でない。その最小元を $\alpha(x)$ とし、$f(x):=t_{\alpha(x)}$ とおく。
• $x\in U$ のとき：lem-cl-gap により $B(x):=\{\beta< \mu\mid x\not\le d_\beta\}$ は空でない。その最小元を $\beta(x)$ とし、$f(x):=d_{\beta(x)}$ とおく。
  $f$ は不動点をもたない。$x\notin U$ なら $f(x)=t_{\alpha(x)}\not\le x$ なので $f(x)\neq x$ であり、$x\in U$ なら $x\not\le d_{\beta(x)}=f(x)$ なので $f(x)\neq x$ である。
  $f$ が単調であることを示す。$x\le y$ とする。

1. $x,y\notin U$ のとき：$t_\alpha\not\le y$ なら $t_\alpha\not\le x$（$t_\alpha\le x\le y$ になってしまうので）だから $A(y)\subseteq A(x)$、よって $\alpha(x)\le\alpha(y)$ であり、族が増加することから $f(x)\le f(y)$。
2. $x,y\in U$ のとき：$x\not\le d_\beta$ なら $y\not\le d_\beta$ だから $B(x)\subseteq B(y)$、よって $\beta(y)\le\beta(x)$ であり、族が減少することから $f(x)=d_{\beta(x)}\le d_{\beta(y)}=f(y)$。
3. $x\notin U$、$y\in U$ のとき：$f(x)$ はある $t_\alpha$ で、$f(y)\in U$ はすべての $t_\alpha$ の上界なので $f(x)\le f(y)$。
4. $x\in U$、$y\notin U$ となることはない。$U$ は上集合だからである（$t_\alpha\le x\le y$）。
   よって $f$ は不動点をもたない単調写像であり、2 が成り立たない。$\square$