正多面体

長さで割って $u,v,w$ は単位ベクトルとしてよい。$a:=\angle(u,v)$、$b:=\angle(v,w)$ とおく。
$a+b\ge\pi$ のときは $\angle(u,w)\le\pi\le a+b$ である。ここで等号 $\angle(u,w)=\pi$ が成り立つなら $w=-u$ となり、$u,v,w$ は線形独立でない。
$a=0$ なら $u=v$ で $\angle(u,w)=b=a+b$、$b=0$ なら $w=v$ で同様に等号が成り立ち、どちらも $u,v,w$ は線形独立でない。
残るのは $0< a$、$0< b$、$a+b<\pi$ の場合である。このとき $0< a<\pi$ なので $\sin a>0$ であり、$u':=(u-\cos a\,v)/\sin a$ とおくと $\langle u',v\rangle=0$、$\|u'\|=1$、$u=\cos a\,v+\sin a\,u'$ である（$\|u-\cos a\,v\|^2=1-\cos^2a=\sin^2a$）。同様に $w=\cos b\,v+\sin b\,w'$（$w'$ は $v$ に直交する単位ベクトル）と書ける。Cauchy–Schwarzの不等式により $\langle u',w'\rangle\ge-1$ なので
$$ \langle u,w\rangle=\cos a\cos b+\sin a\sin b\,\langle u',w'\rangle\ge\cos a\cos b-\sin a\sin b=\cos(a+b) $$
である。$\arccos$ は $[-1,1]$ 上で狭義単調減少で、$0< a+b<\pi$ なので $\angle(u,w)\le a+b$ が得られる。等号が成り立つのは $\langle u',w'\rangle=-1$、すなわち $w'=-u'$ のときに限り、このとき $u,w$ はどちらも $v,u'$ の張る平面に含まれるので、$u,v,w$ は線形独立でない。$\square$

$x$ に集まる辺を、$x$ のまわりに並ぶ順に $e_1,\dots,e_q$ とし、$e_i$ と $e_{i+1}$ にはさまれる面を $F_i$ とする（添字は $q$ を法として読む）。$x$ は凸多面体の頂点なので、$x$ を通り $P\setminus\{x\}$ を一方の側に真に含む平面 $H$ がある。$H$ を $P$ の側へ平行移動した平面 $H'$ を、$H$ と $H'$ の距離が $x$ 以外のどの頂点と $H$ の距離よりも小さくなるようにとる。すると $H'$ は各辺 $e_i$ とその内部の 1 点 $A_i$ で交わる。$P\cap H'$ は $A_1,\dots,A_q$ をこの順に頂点とする凸多角形 $K$ であり、三角形 $xA_iA_{i+1}$ は面 $F_i$ に含まれ、その $x$ における角は $\alpha_i$ である。$K$ の内部の点 $O$ を 1 つとる。
各 $i$ について、$A_i$ から $x$、$A_{i-1}$、$A_{i+1}$ へ向かうベクトルをそれぞれ $s,t,r$ とする。$t,r$ は平面 $H'$ に平行で、$K$ の内角は $\pi$ より小さいので線形独立であり、$x\notin H'$ なので $s$ はそれらの張る平面に含まれない。よって $s,t,r$ は線形独立であり、lem-reg-poly-angle-triangle により
$$ \angle A_{i-1}A_iA_{i+1}<\angle A_{i-1}A_ix+\angle xA_iA_{i+1} $$
である。一方 $O$ は凸多角形 $K$ の内部にあるので、$\angle A_{i-1}A_iA_{i+1}=\angle A_{i-1}A_iO+\angle OA_iA_{i+1}$ である。これらを $i=1,\dots,q$ について足し合わせる。右辺の和は、$q$ 個の三角形 $xA_iA_{i+1}$ の $x$ 以外の 2 つの角をすべて足したものなので、三角形の内角の和が $\pi$ であることから $q\pi-(\alpha_1+\dots+\alpha_q)$ に等しい。左辺の和は、$q$ 個の三角形 $OA_iA_{i+1}$ の $O$ 以外の 2 つの角をすべて足したものであり、$O$ のまわりの角 $\angle A_iOA_{i+1}$ の和が $2\pi$ なので $q\pi-2\pi$ に等しい。したがって
$$ q\pi-2\pi< q\pi-(\alpha_1+\dots+\alpha_q), $$
すなわち $\alpha_1+\dots+\alpha_q<2\pi$ である。$\square$

$P$ を型 $(p,q)$ の正多面体とする。1 つの頂点には正 $p$ 角形が $q$ 枚集まり、それぞれの内角は $(1-2/p)\pi$ なので、lem-reg-poly-vertex-angle-sum により
$$ q\left(1-\frac{2}{p}\right)\pi<2\pi $$
である。両辺に $p/\pi>0$ を掛けて $q(p-2)<2p$、すなわち $pq-2p-2q<0$ となり、両辺に $4$ を足して
$$ (p-2)(q-2)<4 $$
を得る。$p,q\ge3$ なので $p-2,q-2$ は正の整数であり、積が $4$ 未満になる組は $(p-2,q-2)=(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1)$ だけである。これが $(p,q)=(3,3),(3,4),(4,3),(3,5),(5,3)$ に当たる。
存在は次の prop-reg-poly-existence で示す。$\square$

有限個の点の集合 $X$ の凸包を $P$ とする。凸包の面は、ある 1 次式 $\langle n,y\rangle$ の $P$ 上の最大値をとる点全体（支持平面との共通部分）として現れる。逆に、$\langle n,y\rangle$ の $P$ 上の最大値をとる点全体は、$X$ のうち最大値をとる点の凸包であり、それらが同一直線上にない $3$ 点以上なら、この凸包は $P$ の面である。各場合にそのような $n$ を示す。

1. 凸包は $[-1,1]^3=\{y\mid|y_i|\le1\}$ である。面は $y_i=\pm1$ の 6 枚の正方形（1 辺 $2$）で、各頂点 $(\pm1,\pm1,\pm1)$ は $y_1,y_2,y_3=\pm1$ の 3 枚の面にのる。
2. $4$ 点は同一平面上になく、どの $2$ 点の距離も $2\sqrt2$ である。$4$ 点の凸包は四面体で、面は $3$ 点ずつの $4$ 枚の正三角形、各頂点には $3$ 枚の面が集まる。
3. 凸包は $\{y\mid|y_1|+|y_2|+|y_3|\le1\}$ である（右辺の集合は凸で $6$ 点を含み、その各点は $6$ 点の凸結合で書ける）。面は $\varepsilon_1y_1+\varepsilon_2y_2+\varepsilon_3y_3=1$（$\varepsilon_i=\pm1$）の $8$ 枚で、それぞれ $\varepsilon_1e_1,\varepsilon_2e_2,\varepsilon_3e_3$（$e_i$ は基本ベクトル）を頂点とする 1 辺 $\sqrt2$ の正三角形である。頂点 $\pm e_i$ は $\varepsilon_i$ が決まった $4$ 枚の面にのる。
   4 と 5 では、面をいくつか見つけるだけでなく、見つけた面が $P$ の面のすべてであることを示す必要がある（ほかに面があれば条件 1・2 が崩れうる）。そのために次の 2 つの事実を使う。
   (ア) $X$ を保つ直交変換 $g$（$g(X)=X$ となる直交行列）は $P$ を $P$ に写し、$P$ の頂点を頂点に、面を面に写す。$\langle n,y\rangle$ の最大値をとる面は、$\langle gn,y\rangle$ の最大値をとる面に写る（$\langle gn,gy\rangle=\langle n,y\rangle$ だから）。$g$ は距離を保つので、面の形は合同なまま写る。
   (イ) $P$ の頂点 $x$ を含む相異なる面 $G_1,\dots,G_k$（$k\ge3$）が、$G_1$ と $G_2$、$G_2$ と $G_3$、…、$G_{k-1}$ と $G_k$、$G_k$ と $G_1$ のそれぞれで $x$ を端点とする辺を共有しているならば、$x$ を含む面は $G_1,\dots,G_k$ だけである。
   (イ) の証明：冒頭の性質のとおり、$x$ を含む面を輪の順に $F_1,\dots,F_q$、$x$ を端点とする辺を $e_1,\dots,e_q$ とする。$F_j$ の辺のうち $x$ を端点とするものは $e_j,e_{j+1}$ で、各辺はちょうど 2 枚の面に共有されるので、$F_j$ と $x$ を端点とする辺を共有する面は $F_{j-1}$ と $F_{j+1}$ だけである。$G_1=F_j$ とすると $G_2$ は $F_{j-1}$ か $F_{j+1}$ であり、必要なら並ぶ向きを逆に読み直して $G_2=F_{j+1}$ としてよい。$G_3$ は $G_2=F_{j+1}$ と辺を共有し $G_1=F_j$ と異なるので $F_{j+2}$ であり、以下同様に $G_i=F_{j+i-1}$（$i=1,\dots,k$）となる。$G_i$ は相異なるので $k\le q$ である。$G_k=F_{j+k-1}$ と辺を共有する $G_1$ は $F_{j+k-2}$ か $F_{j+k}$ であり、$F_{j+k-2}=G_{k-1}$ は $G_1$ と異なる（$k\ge3$）ので $F_j=F_{j+k}$、すなわち $k$ は $q$ の倍数である。$k\le q$ と合わせて $k=q$ となり、$x$ を含む面は $G_1,\dots,G_k$ で尽きる。
   4 と 5 では、各座標の符号の反転 $(y_1,y_2,y_3)\mapsto(\pm y_1,\pm y_2,\pm y_3)$ と座標の巡回置換 $(y_1,y_2,y_3)\mapsto(y_2,y_3,y_1)$、$(y_1,y_2,y_3)\mapsto(y_3,y_1,y_2)$ を合成して得られる $24$ 個の直交変換の全体を $\Gamma$ とする。どちらの場合も $X$ は $\Gamma$ で保たれる。
4. $X$ を $12$ 点の集合とする。どの点も原点からの距離の $2$ 乗が $1+\varphi^2=\varphi+2$ で等しく、球面上の点は球面上の他の点の凸結合で書けないので、$12$ 点はどれも $P$ の頂点である。$(0,\pm1,\pm\varphi)$ の $4$ 点は符号の反転で互いに移り、巡回置換で残りの $8$ 点に移るので、$\Gamma$ で $v:=(0,1,\varphi)$ を $12$ 点のどれにでも移せる。
   $n=(1,1,1)$ とすると $\langle n,y\rangle$ の $X$ 上の最大値は $\varphi+1$ で、それをとるのは $(0,1,\varphi)$、$(1,\varphi,0)$、$(\varphi,0,1)$ の $3$ 点だけである。$n=(\varphi,0,2\varphi+1)$ とすると最大値は $3\varphi+2$ で、それをとるのは $(0,1,\varphi)$、$(0,-1,\varphi)$、$(\varphi,0,1)$ の $3$ 点だけである（いずれも $12$ 点に代入して確かめる）。これらの $3$ 点はどの $2$ 点の距離も $2$ の正三角形をなす。たとえば $(0,1,\varphi)$ と $(1,\varphi,0)$ の距離の $2$ 乗は $1+(\varphi-1)^2+\varphi^2=2+2\varphi^2-2\varphi=4$ である。この 2 つの面を $\Gamma$ で写したものの全体を $\mathcal{L}$ とする。(ア) により $\mathcal{L}$ の元はどれも $P$ の面で、1 辺 $2$ の正三角形である。
   $v$ の近くを見る。$w_1=(1,\varphi,0)$、$w_2=(\varphi,0,1)$、$w_3=(0,-1,\varphi)$、$w_4=(-\varphi,0,1)$、$w_5=(-1,\varphi,0)$ とおき、三角形 $vw_iw_{i+1}$（$w_6=w_1$）を $G_i$ とする。$G_1$ は $n=(1,1,1)$ の面、$G_2$ は $n=(\varphi,0,2\varphi+1)$ の面である。第 1 座標の符号の反転は $v$ を動かさず、$G_2$ を $G_3$ に、$G_1$ を $G_4$ に写し、巡回置換 $(y_1,y_2,y_3)\mapsto(y_2,y_3,y_1)$ は $G_2$ を $G_5$ に写す。したがって $G_1,\dots,G_5$ はどれも $\mathcal{L}$ に属する $P$ の面である。$G_i$ と $G_{i+1}$ は辺 $vw_{i+1}$ を、$G_5$ と $G_1$ は辺 $vw_1$ を共有するので、(イ) により $v$ を含む $P$ の面は $G_1,\dots,G_5$ の $5$ 枚だけで、どれも $\mathcal{L}$ に属する。
   任意の頂点 $x$ について、$x=g(v)$ となる $g\in\Gamma$ をとると、(ア) により $x$ を含む面は $g(G_1),\dots,g(G_5)$ の $5$ 枚だけであり、どれも $\mathcal{L}$ に属する。$P$ のどの面も頂点を含むので、$P$ の面は $\mathcal{L}$ の元で尽きる。よって $P$ の面はすべて 1 辺 $2$ の合同な正三角形で、どの頂点にも $5$ 枚の面が集まり、型 $(3,5)$ の正多面体である。面の数は、頂点ごとに数えた $12\cdot5$ を、各面の頂点の数 $3$ で割って $20$ である。
5. $X$ を $20$ 点の集合とする。どの点も原点からの距離の $2$ 乗が $3$ である（$1/\varphi^2+\varphi^2=(2-\varphi)+(\varphi+1)=3$）ので、$20$ 点はどれも $P$ の頂点である。$(\pm1,\pm1,\pm1)$ の $8$ 点は符号の反転で互いに移り、残りの $12$ 点は 4 と同じく $\Gamma$ で互いに移る。
   $n=(1,0,\varphi)$ とすると $\langle n,y\rangle$ の最大値は $\varphi+1$ で、それをとるのは
   $$ (0,1/\varphi,\varphi),\quad(0,-1/\varphi,\varphi),\quad(1,-1,1),\quad(\varphi,0,1/\varphi),\quad(1,1,1) $$
   の $5$ 点だけである。この順に並べると、隣り合う点（最後と最初も隣り合うとみる）の距離がすべて $2/\varphi$、隣り合わない点の距離がすべて $2$ の五角形をなす。辺と対角線がそれぞれ等しい五角形は、3 辺が等しい三角形の合同により内角もすべて等しく、正五角形である。この面を $Q$ とし、$Q$ を $\Gamma$ で写したものの全体を $\mathcal{L}$ とする。(ア) により $\mathcal{L}$ の元はどれも $P$ の面で、$Q$ と合同な正五角形である。
   頂点 $u:=(1,1,1)$ の近くを見る。巡回置換 $\sigma(y_1,y_2,y_3)=(y_3,y_1,y_2)$、$\tau(y_1,y_2,y_3)=(y_2,y_3,y_1)$ は $u$ を動かさない。$Q$、$\sigma(Q)$、$\tau(Q)$ はそれぞれ $n=(1,0,\varphi)$、$(\varphi,1,0)$、$(0,\varphi,1)$ の面で、どれも $u$ を含む。上の並びで $u$ に隣り合う頂点は、$Q$ では $(0,1/\varphi,\varphi)$ と $(\varphi,0,1/\varphi)$、$\sigma(Q)$ では $(\varphi,0,1/\varphi)$ と $(1/\varphi,\varphi,0)$、$\tau(Q)$ では $(1/\varphi,\varphi,0)$ と $(0,1/\varphi,\varphi)$ である。よって $Q$ と $\sigma(Q)$、$\sigma(Q)$ と $\tau(Q)$、$\tau(Q)$ と $Q$ はそれぞれ $u$ を端点とする辺を共有し、(イ) により $u$ を含む面はこの $3$ 枚だけである。
   頂点 $u':=(0,1/\varphi,\varphi)$ の近くを見る。第 1 座標の符号の反転を $\rho$ とすると、$\rho$ は $u'$ を動かさない。$Q$、$\tau(Q)$、$\rho(Q)$ はどれも $u'$ を含む面で、$u'$ に隣り合う頂点は、$Q$ では $(0,-1/\varphi,\varphi)$ と $(1,1,1)$、$\tau(Q)$ では $(1,1,1)$ と $(-1,1,1)$、$\rho(Q)$ では $(-1,1,1)$ と $(0,-1/\varphi,\varphi)$ である（$\tau(Q)$ の頂点は並びの順に $(1/\varphi,\varphi,0)$、$(-1/\varphi,\varphi,0)$、$(-1,1,1)$、$(0,1/\varphi,\varphi)$、$(1,1,1)$、$\rho(Q)$ の頂点は $(0,1/\varphi,\varphi)$、$(0,-1/\varphi,\varphi)$、$(-1,-1,1)$、$(-\varphi,0,1/\varphi)$、$(-1,1,1)$）。よって 3 枚は輪を閉じ、(イ) により $u'$ を含む面はこの $3$ 枚だけである。
   任意の頂点は $\Gamma$ で $u$ か $u'$ から移るので、4 と同じ議論により、$P$ の面は $\mathcal{L}$ の元で尽き、どの頂点にも $3$ 枚の面が集まる。よって型 $(5,3)$ の正多面体であり、面の数は $20\cdot3/5=12$ である。
   以上により 5 つの型のすべてについて正多面体が存在する。$\square$

各面は $p$ 本の辺をもち、各辺はちょうど 2 枚の面に共有されるので、面ごとに辺を数えると $pF=2E$ である。各頂点からは $q$ 本の辺が出て、各辺は 2 つの頂点を結ぶので、頂点ごとに辺を数えると $qV=2E$ である。これを $V-E+F=2$ に代入すると
$$ \frac{2E}{q}-E+\frac{2E}{p}=2,\qquad\text{すなわち}\qquad \frac1p+\frac1q=\frac12+\frac1E $$
である。$E>0$ なので $1/p+1/q>1/2$ であり、両辺に $2pq$ を掛けると $2q+2p>pq$、すなわち $(p-2)(q-2)<4$ となる。以下は prf-reg-poly-classification と同じ議論で $(p,q)$ が 5 通りに限られる。また $\dfrac1E=\dfrac{2p+2q-pq}{2pq}$ から $E$ の式が、$qV=2E$、$pF=2E$ から $V,F$ の式が得られる。$\square$