重み付き極限(∞圏)
概要
重み付き極限(∞圏)（weighted limit in an infinity-category）とは、空間値の重みからの自然変換空間を、写像空間によって普遍的に表現する構成である。重み付き余極限、要素の∞圏、エンド・コエンド、各点Kan拡張との関係を説明する。
前提知識: ∞圏, 写像空間(∞圏), 極限(∞圏), 余極限(∞圏), 重み付き極限
定義
本記事は準圏を基本モデルとする $(\infty,1)$-圏（∞圏）で、空間値の重みを扱う。準圏とは、内部ホーン $\Lambda_i^n$（$0< i< n$）をすべて充填できる単体的集合である。空間はKan複体で表示し、その∞圏（空間の∞圏）を $\mathcal S$ と書く。$\operatorname{Map}_{\mathcal D}(x,y)$ は射とすべての高次ホモトピーを含む写像空間（写像空間(∞圏)）である。HTT09 §§1.1.2, 1.1.5。
$\mathcal C$ を小さい∞圏、$F:\mathcal C\to\mathcal D$ を関手とする。必要な写像空間を扱える大きさの宇宙を固定する。
重みを関手 $W:\mathcal C\to\mathcal S$ とする。重み付き極限 $\{W,F\}$ は、$T$ に自然な同値
$$
\operatorname{Map}_{\mathcal D}(T,\{W,F\})
\simeq
\operatorname{Map}_{\operatorname{Fun}(\mathcal C,\mathcal S)}
\bigl(W,\operatorname{Map}_{\mathcal D}(T,F(-))\bigr)
$$
を持つ対象である。右辺は自然変換の集合ではなく自然変換の空間であり、すべてのホモトピー整合性を含む。
余極限の重みは $U:\mathcal C^{\mathrm{op}}\to\mathcal S$ とする。重み付き余極限 $U\star F$ は、自然な同値
$$
\operatorname{Map}_{\mathcal D}(U\star F,T)
\simeq
\operatorname{Map}_{\operatorname{Fun}(\mathcal C^{\mathrm{op}},\mathcal S)}
\bigl(U,\operatorname{Map}_{\mathcal D}(F(-),T)\bigr)
$$
を持つ対象である。
直感
集合値の重みは射の添字とその輸送を指定した。空間値の重みでは、添字の点だけでなく、その間の道や高次の関係も指定する。従って「重みの点を何個数えるか」ではなく、重みのホモトピー型と関手としての動きが重要になる。
空間 $K$ と対象 $X$ に対し、存在するとき
$$X^K=\lim_K X,\qquad K\odot X=\operatorname{colim}_K X$$
をそれぞれ余テンソル・テンソルという。右辺は $K$ を∞亜群（Kan複体の与える∞圏）とみなした定値図式の極限（極限(∞圏)）・余極限（余極限(∞圏)）である。普遍性は
$$
\operatorname{Map}_{\mathcal D}(T,X^K)\simeq
\operatorname{Map}_{\mathcal S}(K,\operatorname{Map}_{\mathcal D}(T,X)),
$$
$$
\operatorname{Map}_{\mathcal D}(K\odot X,T)\simeq
\operatorname{Map}_{\mathcal S}(K,\operatorname{Map}_{\mathcal D}(X,T))
$$
となる。特に $\mathcal D=\mathcal S$ なら $X^K=\operatorname{Map}_{\mathcal S}(K,X)$、$K\odot X=K\times X$ である。
例
$W$ が一点空間への定値関手なら、右辺の自然変換空間は通常のホモトピー整合的な錐の空間である。従って $\{*,F\}=\lim_{\mathcal C}F$ となる。同様に $*\star F=\operatorname{colim}_{\mathcal C}F$ である。ここで「通常」は∞圏の極限を意味し、厳密な集合レベルの極限ではない。定義から直接示す証明は prop-weighted-limit-infinity-constant-weight に与える。
$\mathcal C=*$、$W(*)=K$、$F(*)=X$ なら、$\{W,F\}=X^K$ である。$\mathcal D=\mathcal S$、$K=S^1$ なら自由ループ空間 $\operatorname{Map}(S^1,X)$ になる。余極限は $K\times X$ になる。一対象の添字でも、重みの道やループが計算結果に反映される。
$K=*$ と $K'=S^1$ はともに連結だが同じ重みではない。$X=S^1$ のとき $X^*=S^1$ は連結である一方、$X^{S^1}=\operatorname{Map}(S^1,S^1)$ の連結成分は写像の次数によって整数で区別される。従って重みを連結成分の集合に置き換えても同じ答えになるとは限らない。
性質
定値重みと通常の極限
$*:\mathcal C\to\mathcal S$ を一点空間への定値関手とする。$F:\mathcal C\to\mathcal D$ に対し、重み付き極限 $\{*,F\}$ と通常の極限 $\lim_{\mathcal C}F$（極限(∞圏)）は、一方が存在すれば他方も存在して同値である。双対に、$*\star F$ と $\operatorname{colim}_{\mathcal C}F$ についても同じことが成り立つ。また、定値重み $*$ に対応する要素の∞圏 $E_*\to\mathcal C$（後述）は $\mathcal C$ 自身と同値である。
記号を用意する。$\delta:\mathcal S\to\operatorname{Fun}(\mathcal C,\mathcal S)$ を定値図式をとる関手とし、$\mathcal S$ は小さい極限をすべて持つ（HTT09 §4.2.4）ので、極限関手 $\lim_{\mathcal C}:\operatorname{Fun}(\mathcal C,\mathcal S)\to\mathcal S$ が存在して $\delta$ の右随伴になる（HTT09 §4.3。$\delta$ は $\mathcal C\to*$ に沿う前合成であり、その右随伴が右Kan拡張すなわち極限である。後述の「各点Kan拡張」の節で用いる事実と同じである）。従って任意の空間 $K$ と図式 $G:\mathcal C\to\mathcal S$ に対し
$$
\operatorname{Map}_{\operatorname{Fun}(\mathcal C,\mathcal S)}(\delta K,G)
\simeq\operatorname{Map}_{\mathcal S}\bigl(K,\lim_{\mathcal C}G\bigr)
$$
である。$K=*$ とすると、一点からの写像空間は空間そのものだから（$\operatorname{Map}_{\mathcal S}(*,X)\simeq X$、HTT09 §1.2.2・§2.2 の写像空間の表示）、
$$
\operatorname{Map}_{\operatorname{Fun}(\mathcal C,\mathcal S)}(*,G)\simeq\lim_{\mathcal C}G
$$
を得る。これを式 (A) と呼ぶ。ここで左辺の $*$ は定値図式 $\delta(*)$ である。
次に、重み付き極限の定義の式に $W=*$ を代入する。$\{*,F\}$ が存在するとは、対象 $L$ と、$T$ に自然な同値
$$
\operatorname{Map}_{\mathcal D}(T,L)
\simeq
\operatorname{Map}_{\operatorname{Fun}(\mathcal C,\mathcal S)}
\bigl(*,\operatorname{Map}_{\mathcal D}(T,F(-))\bigr)
$$
があることである。右辺に式 (A) を $G=\operatorname{Map}_{\mathcal D}(T,F(-))$ として適用すると、$T$ に自然な同値
$$
\operatorname{Map}_{\mathcal D}(T,L)
\simeq
\lim_{c\in\mathcal C}\operatorname{Map}_{\mathcal D}(T,F(c))
$$
に書き換えられる。これを式 (B) と呼ぶ。式 (A) は $G$ に関して自然だから、式 (B) の自然性は保たれる。
式 (B) は極限の写像空間による判定そのものである。実際、式 (B) で $T=L$ とし恒等射 $\operatorname{id}_L$ の像をとると、$\lim_c\operatorname{Map}_{\mathcal D}(L,F(c))$ の点、すなわち $L$ を頂点とする $F$ への錐 $\lambda$ が得られる。∞圏版の米田の補題により、$T$ に自然な同値 (B) はこの錐 $\lambda$ との合成で誘導される写像に一致する。従って、すべての $T$ に対して錐 $\lambda$ が誘導する $\operatorname{Map}_{\mathcal D}(T,L)\to\lim_c\operatorname{Map}_{\mathcal D}(T,F(c))$ が同値であり、これは $(L,\lambda)$ が $F$ の極限であることの判定条件（∞圏の極限の写像空間による判定、HTT09 定理4.2.4.1・注意1.2.13.3）にほかならない。ゆえに $\{*,F\}$ が存在すれば $\lim_{\mathcal C}F$ も存在して同値である。
逆に $\lim_{\mathcal C}F$ が極限錐 $\lambda$ とともに存在すれば、同じ判定条件によって式 (B) が $L=\lim_{\mathcal C}F$ について $T$ に自然に成り立ち、式 (A) を逆向きに使えば定義の式が得られる。すなわち $\lim_{\mathcal C}F$ は $\{*,F\}$ の定義を満たす。余極限については、$\mathcal D^{\mathrm{op}}$ で同じ議論を行えばよい。
最後に要素の∞圏について述べる。定値重み $*$ を分類する左ファイブレーション $p:E_*\to\mathcal C$ は、各ファイバーが一点空間と同値である。ファイバーがすべて可縮な左ファイブレーションは自明Kanファイブレーションである（HTT09 §2.1.3）から、$p$ は圏同値であり、$E_*$ は $\mathcal C$ 自身と同値である。特に $\lim_{E_*}Fp\simeq\lim_{\mathcal C}F$ となり、後述の prop-weighted-limit-infinity-elements とも整合する。
要素の∞圏
共変重み $W:\mathcal C\to\mathcal S$ は、straightening・unstraighteningの対応によって左ファイブレーション $p:E_W\to\mathcal C$ で表せる。左ファイブレーションとは、相対的なホーン充填問題 $\Lambda_i^n\subseteq\Delta^n$（$n\geq1,0\leq i< n$）をすべて解ける写像である。そのファイバーは $W(c)$、共変な輸送は $W$ の作用を表す。
反変重み $U:\mathcal C^{\mathrm{op}}\to\mathcal S$ は右ファイブレーション $p:E_U\to\mathcal C$ で表す。こちらは $0< i\leq n$ の相対ホーン充填を持ち、輸送が反変になる。これは集合値の要素の圏の高次版である。分類対応自体は基礎定理であり、HTT09 §2.2 のstraighteningの理論を用いる。
必要な極限・余極限が存在するとき、
$$
\{W,F\}\simeq\lim_{E_W}Fp,\qquad
U\star F\simeq\operatorname{colim}_{E_U}Fp.
$$
従って小さい極限・余極限をすべて持つ $\mathcal D$ はそれぞれの存在の十分条件である。Hau21 Proposition 4.3・Corollary 4.4。
左ファイブレーションの分類対応の下で、$W\to\operatorname{Map}_{\mathcal D}(T,F(-))$ という自然変換は、各ファイバー $W(c)$ の点に射 $T\to F(c)$ を割り当て、輸送に関して高次まで整合させることである。これは $E_W$ 上の図式 $Fp$ への錐と同じ空間をなす。従って $\lim_{E_W}Fp$ が定義の自然変換空間を表現する。右ファイブレーションの場合は余錐で同じ議論を行う。この証明は上記の分類定理を用いており、その基礎定理自体の証明とは区別する。
エンド・コエンドによる計算
混合分散の関手 $H:\mathcal C^{\mathrm{op}}\times\mathcal C\to\mathcal D$ に対し、ここで使うエンド（エンド(∞圏)）は
$$\int_cH(c,c)=\lim_{\operatorname{Tw}^{\ell}(\mathcal C)}H(c,d)$$
である。左ねじれ矢印∞圏（ねじれ矢印∞圏）の対象は $c\to d$、$n$-単体は $(\Delta^n)^{\mathrm{op}}\star\Delta^n\to\mathcal C$ であり、射影先は $(c,d)$ である。一方、コエンド（コエンド(∞圏)）はこの添字圏の反対上で $H(d,c)$ を余極限にする。これにより反変・共変の両側の整合性を組み込む。Hau21 §3。
必要な空間による余テンソル・テンソルとエンド・コエンドが存在すれば、
$$
\{W,F\}\simeq\int_cF(c)^{W(c)},\qquad
U\star F\simeq\int^c U(c)\odot F(c).
$$
混合分散の関手は、それぞれ $(a,b)\mapsto F(b)^{W(a)}$ と $(a,b)\mapsto U(a)\odot F(b)$ である。Hau21 §4。
任意の $T$ から1つ目のエンドへの写像空間は、余テンソルの普遍性によって
$$
\int_c\operatorname{Map}_{\mathcal S}
(W(c),\operatorname{Map}_{\mathcal D}(T,F(c)))
$$
に同値になる。自然変換空間のエンド表示により、これは定義の右辺に一致する。2つ目の式は、コエンドから $T$ への写像空間にテンソルの普遍性を適用すると同じように得られる。自然変換空間のエンド表示は、ねじれ矢印構成の比較定理（Hau21 §§3–4）を用いる。
各点Kan拡張
$K:\mathcal C\to\mathcal B$ と $F:\mathcal C\to\mathcal D$ に対し、必要な重み付き極限・余極限が存在すれば各点で
$$
(K^\ddagger F)(b)\simeq
\{\operatorname{Map}_{\mathcal B}(b,K(-)),F\},
$$
$$
(K^\dagger F)(b)\simeq
\operatorname{Map}_{\mathcal B}(K(-),b)\star F
$$
と計算できる。左†・右‡は前合成 $K^*$ の左右の随伴を表す。各点Kan拡張（Kan拡張(∞圏)）のスライス圏（スライス圏(∞圏)）による計算を、要素の∞圏の式で書き換えたものである。HTT09 §4.3、Hau21 Proposition 4.3・Corollary 4.4。
この表示では、Homを写像空間に替えることで通常版の計算との対応が見える。一方で、結果にはその空間の高次情報が含まれる。
通常版・豊穣表示との比較
通常の圏の脈体、集合値の重み、通常の圏の脈体を値域とする図式に特殊化すると、自然変換空間は対応する集合になり、通常の重み付き極限（重み付き極限）・余極限の定義を回復する。値域を途中で $\mathbf{Set}$ から $\mathcal S$ へ替えた場合、余極限の値に高次ホモトピーが生じ得るので、この帰着と混同しない。
単体的豊穣圏で計算する場合は、適切に置換した重み・図式による導来重み付き極限（重み付き極限(豊穣圏)）・余極限と比較する。特にHom重みによる導来エンドの比較は Hau21 Remark 4.7、モデル圏でのbar・cobarによる計算法は Rie14 §9.2 にある。
局所Kanな単体的圏、単体的モデル圏のcofibrant–fibrant部分圏、単体的局所化を局所Kanに置換した表示は異なる入口である。ホモトピー整合的脈体で準圏へ移し、正しい導来写像空間と普遍性を比較する。未置換の厳密な自然変換対象を、無条件に∞圏の自然変換空間と見なさない。
関連項目
参考文献
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