Riemann球面

$P=(x_1,x_2,x_3)\in S^2\setminus\{N\}$ とすると $x_3<1$ である。$N$ と $P$ を通る直線は $r(t)=N+t(P-N)=(tx_1,\ tx_2,\ 1+t(x_3-1))$（$t\in\mathbb{R}$）で、第 3 成分が $0$ になるのは $t=1/(1-x_3)$ のときだけだから、$\varphi(P)=(x_1+ix_2)/(1-x_3)$ である。$x_1^2+x_2^2=1-x_3^2$ を使うと

$$\lvert\varphi(P)\rvert^2=\frac{x_1^2+x_2^2}{(1-x_3)^2}=\frac{(1-x_3)(1+x_3)}{(1-x_3)^2}=\frac{1+x_3}{1-x_3}$$

を得る。右辺は $x_3$ について狭義に単調増加で、$x_3=-1,0$ で $0,1$ になるから、半球についての主張が従う。

次に $w\in\mathbb{C}$、$s:=\lvert w\rvert^2$ とし、$\psi(w)$ を主張の右辺で定める。$\psi(w)$ の成分の 2 乗和は $\bigl(4s+(s-1)^2\bigr)/(s+1)^2=1$ だから $\psi(w)\in S^2$ で、第 3 成分は $1$ より小さいので $\psi(w)\neq N$ である。$1-\frac{s-1}{s+1}=\frac{2}{s+1}$ より $\varphi(\psi(w))=\frac{2w/(s+1)}{2/(s+1)}=w$ である。逆に $P\neq N$ で $s=\lvert\varphi(P)\rvert^2=\frac{1+x_3}{1-x_3}$ とすると $s+1=\frac{2}{1-x_3}$、$s-1=\frac{2x_3}{1-x_3}$ なので、$\psi(\varphi(P))$ の第 3 成分は $x_3$、第 1 成分は $\frac{2x_1}{1-x_3}\cdot\frac{1-x_3}{2}=x_1$、第 2 成分も同様に $x_2$ である。よって $\varphi$ は $S^2\setminus\{N\}$ から $\mathbb{C}$ への全単射で、$N\mapsto\infty$ と合わせて全単射 $S^2\to\hat{\mathbb{C}}$ になる。

最後に連続性を示す。$S^2\setminus\{N\}$ 上の $\varphi$ と $\mathbb{C}$ 上の $\psi$ は、分母の消えない有理式で書けるので連続である。$N$ と $\infty$ での連続性を見るため、$R>0$ を任意にとり、$c_R:=\frac{R^2-1}{R^2+1}$ とおく。$\lvert\varphi(P)\rvert^2=\frac{1+x_3}{1-x_3}$ は $x_3$ の増加関数なので、$P\neq N$ について $\lvert\varphi(P)\rvert>R$ と $x_3>c_R$ は同値である。$S^2$ 上で $\lvert P-N\rvert^2=x_1^2+x_2^2+(x_3-1)^2=2-2x_3$ だから、$\{P\in S^2\mid x_3>c_R\}$ は $N$ を中心とする半径 $\sqrt{2-2c_R}$ の開球と $S^2$ の交わりであり、$R\to\infty$ のとき半径は $0$ に近づく。したがって $\varphi$ は、$N$ の近傍の基本系 $\{P\mid x_3>c_R\}$ を $\infty$ の近傍の基本系 $\{\lvert w\rvert>R\}\cup\{\infty\}$ にちょうど写す。これで $\varphi$ の $N$ での連続性と $\varphi^{-1}$ の $\infty$ での連続性が示され、$\varphi$ は連続な全単射で逆写像も連続、すなわち同相写像である。

$a_3=k$ のとき、$(\ast)$ は $a_1u+a_2v=k$ となる。ここで $(a_1,a_2)\neq(0,0)$ である（もし $a_1=a_2=0$ なら $a_3=\pm1$ で $\lvert k\rvert=1$ となり $\lvert k\rvert<1$ に反する）から、これは直線であり、$\varphi(\gamma)$ はこの直線に $\varphi(N)=\infty$ を加えたものである。$a_3\neq k$ のとき、$(\ast)$ を $a_3-k$ で割って平方完成すると

$$\left\lvert w+\frac{a_1+ia_2}{a_3-k}\right\rvert^2=\frac{a_1^2+a_2^2+a_3^2-k^2}{(a_3-k)^2}=\frac{1-k^2}{(a_3-k)^2}$$

となり、右辺は正だから $\varphi(\gamma)$ は円である。

$\mathbb{C}$ の円 $\lvert w-c\rvert=r$ は $u^2+v^2-2(\operatorname{Re}c)u-2(\operatorname{Im}c)v+\lvert c\rvert^2-r^2=0$、直線は $Bu+Cv+D=0$（$(B,C)\neq(0,0)$）と書けるので、どちらも実数 $A,B,C,D$ で $A(u^2+v^2)+Bu+Cv+D=0$、$B^2+C^2>4AD$ の形に書ける（円では $B^2+C^2-4AD=4r^2$）。$(A-D)^2+B^2+C^2>(A+D)^2\geq0$ だから、$\lambda>0$ を $\lambda^2\bigl((A-D)^2+B^2+C^2\bigr)=4$ となるようにとれる。

$a_1:=\lambda B/2$、$a_2:=\lambda C/2$、$a_3:=\lambda(A-D)/2$、$k:=-\lambda(A+D)/2$ とおくと、$(a_1,a_2,a_3)$ は単位ベクトルで、$1-k^2=\frac{\lambda^2}{4}\bigl(B^2+C^2-4AD\bigr)>0$ より $\lvert k\rvert<1$ である。さらに $a_3-k=\lambda A$、$2a_1=\lambda B$、$2a_2=\lambda C$、$-(a_3+k)=\lambda D$ だから、$(\ast)$ の左辺は $\lambda\bigl(A(u^2+v^2)+Bu+Cv+D\bigr)$ に等しい。よって、この平面 $H$ による円 $S^2\cap H$ の像は与えられた円（直線なら $\infty$ を加えたもの）である。

(i)：prop-riemann-sphere-stereographic-formula により $\hat{\mathbb{C}}$ は $S^2$ と同相である。$S^2$ は $\mathbb{R}^3$ の有界閉集合だからコンパクトで、$\mathbb{R}^3$ の部分空間として Hausdorff かつ可算な開基をもち、連結である（n次元球面 の記事の命題「球面の基本的な位相的性質」）。これらの性質は同相写像で保たれる。

(ii)：$U_0=\mathbb{C}$ は def-riemann-sphere-extended-plane の条件 (i) により開集合で、$z$ は恒等写像だから同相写像である。$U_\infty=\hat{\mathbb{C}}\setminus\{0\}$ は、$U_\infty\cap\mathbb{C}=\mathbb{C}\setminus\{0\}$ が開集合で $\{\lvert p\rvert>1\}\subset U_\infty$ だから、同じ定義の条件 (ii) により開集合である。$w$ は $\mathbb{C}\setminus\{0\}$ 上では同相写像 $p\mapsto1/p$ であり、$\infty\mapsto0$ を合わせて全単射 $U_\infty\to\mathbb{C}$ になる。さらに $R>0$ について $w$ は $\{\lvert p\rvert>R\}\cup\{\infty\}$ を $\{\lvert w\rvert<1/R\}$ にちょうど写し、前者は $\infty$ の近傍の基本系、後者は $0$ の近傍の基本系をなすので、$w$ と $w^{-1}$ は $\infty$ と $0$ でも連続である。座標変換 $1/z$、$1/w$ が $\mathbb{C}\setminus\{0\}$ 上で正則であることは定義で見た。(i) と合わせて、$\hat{\mathbb{C}}$ は連結な Hausdorff 第二可算空間に正則な座標変換をもつ座標の族を与えたもの、すなわちコンパクトな Riemann 面である（リーマン面 の定義）。

$F$ が定数 $0$ でないので $p\neq0$ である。$\mathbb{C}$ の中で $F(z_0)=\infty$ となる点は $q$ の根で、そこでは $p(z_0)\neq0$ だから、座標 $1/w$ で書いた $1/F=q/p$ の零点の位数、すなわち $m_{z_0}(F)$ は $q$ の根 $z_0$ の重複度に等しい。その和は $n$ である。$\infty$ では $1/F(1/u)=u^{\,m-n}q^\sharp(u)/p^\sharp(u)$ だから、$m>n$ なら $F(\infty)=\infty$ で $m_\infty(F)=m-n$、$m\leq n$ なら $F(\infty)\neq\infty$ である。総和は $n+\max\{0,\,m-n\}=d$ である。

(i)⇒(ii)：$F$ は全単射だから定数でなく、thm-riemann-sphere-rational-maps により次数 $k\geq1$ の有理関数 $p/q$ であって、各値の逆像はただ 1 点 $z_1$ で $m_{z_1}(F)=k$ である。$F'=(p'q-pq')/q^2$ は恒等的に $0$ ではない（$0$ なら $F$ は $\mathbb{C}$ 上で定数になる）ので、$F'$ の零点と $q$ の零点は有限個である。そこでそれ以外の $z_0\in\mathbb{C}$ をとると $F'(z_0)\neq0$ だから $m_{z_0}(F)=1$、よって $k=1$ である。

(ii)⇒(iii)：次数 $1$ の有理関数は、共通の根をもたない $p=az+b$、$q=cz+d$（$\max\{\deg p,\deg q\}=1$）で $p/q$ と書ける。$q\neq0$ より $(c,d)\neq(0,0)$ だから、$ad-bc=0$ なら $(a,b)$ は $(c,d)$ の定数倍で、$p$ は $q$ の定数倍となり、$F$ は定数になって次数 $1$ に反する。よって $ad-bc\neq0$ である。$\infty$ と $-d/c$ での値は def-riemann-sphere-rational-function から読み取れる。

(iii)⇒(i)：$ad-bc\neq0$ なら $p=az+b$ と $q=cz+d$ は比例しない。共通の根 $z_0$ をもつと、$(x,y)=(z_0,1)$ が連立 1 次方程式 $ax+by=0$、$cx+dy=0$ の $0$ でない解になるので、係数の行列式 $ad-bc$ は $0$ となって矛盾する。よって $F$ は次数 $1$ の有理関数で、thm-riemann-sphere-rational-maps により正則写像であり、各値をちょうど 1 回とるので全単射である。逆写像は $(dz-b)/(-cz+a)$ で与えられ（$F$ に代入して確かめられる）、その係数から作る $da-bc$ も $0$ でないので、同じ理由で正則である。