完全四辺形

4 本の直線 $\ell_1:\ y=0$、$\ell_2:\ y=2x$、$\ell_3:\ x+y=6$、$\ell_4:\ x-2y=-2$ を考える。
(1) 交点。$\ell_1$ と $\ell_2$ の交点は $A(0,0)$、$\ell_1$ と $\ell_3$ の交点は $B(6,0)$、$\ell_1$ と $\ell_4$ の交点は $x=-2$ より $E(-2,0)$ である。$\ell_2$ と $\ell_3$ は $x+2x=6$ より $F(2,4)$、$\ell_2$ と $\ell_4$ は $x-4x=-2$ より $D\left(\dfrac23,\dfrac43\right)$、$\ell_3$ と $\ell_4$ は、2 式を引いて $3y=8$ より $C\left(\dfrac{10}3,\dfrac83\right)$ である。
(2) 対角線。四角形 $ABCD$ は凸四角形で、辺 $AB$、$BC$、$CD$、$DA$ は $\ell_1$、$\ell_3$、$\ell_4$、$\ell_2$ の上にある。$E$ は $AB$ と $CD$ の交点、$F$ は $AD$ と $BC$ の交点である。共通の直線の上にない 2 点を結ぶ 3 本の線分 $AC$、$BD$、$EF$ が対角線である。
(3) 3 つの円。対角線を直径とする円は、上の式から
$$ \begin{aligned} \Gamma_1\ (AC):&\quad x\left(x-\frac{10}3\right)+y\left(y-\frac83\right)=x^2+y^2-\frac{10}3x-\frac83y=0\\ \Gamma_2\ (BD):&\quad (x-6)\left(x-\frac23\right)+y\left(y-\frac43\right)=x^2+y^2-\frac{20}3x-\frac43y+4=0\\ \Gamma_3\ (EF):&\quad (x+2)(x-2)+y(y-4)=x^2+y^2-4y-4=0 \end{aligned} $$
である。
(4) 根軸。$\Gamma_1$ と $\Gamma_2$ の式を引くと $\dfrac{10}3x-\dfrac43y-4=0$、$3$ 倍して $2$ で割ると $5x-2y=6$ である。$\Gamma_2$ と $\Gamma_3$ の式を引くと $-\dfrac{20}3x+\dfrac83y+8=0$、$-\dfrac43$ で割るとやはり $5x-2y=6$ である。2 組の根軸（根軸と根心）が同じ直線になった。
(5) 垂心。4 本から 3 本を選ぶと三角形が 4 つできる。$\ell_4$ を除いた三角形 $ABF$ の垂心は、$F$ からの垂線 $x=2$ と、$A$ から $BF$（向き $(-1,1)$）への垂線 $y=x$ の交点 $H_4(2,2)$ である。$5\cdot2-2\cdot2=6$ なので $H_4$ は直線 $5x-2y=6$ の上にある。残りの 3 つの三角形の垂心も、同じ直線の上にある。

ex-cq-start では、$V_{12}=A$、$V_{13}=B$、$V_{14}=E$、$V_{23}=F$、$V_{24}=D$、$V_{34}=C$ である。対角線は $V_{12}V_{34}=AC$、$V_{13}V_{24}=BD$、$V_{14}V_{23}=EF$ で、三角形は $T_1=FDC$、$T_2=EBC$、$T_3=AED$、$T_4=ABF$ である。
三角形 $T_4=ABF$ で見ると、対角線 $AC$ は頂点 $A$ と、$A$ の向かいの辺 $BF$ を含む直線 $\ell_3$ の上の点 $C$ を結ぶ。対角線 $BD$ は頂点 $B$ と、向かいの辺 $AF$ を含む直線 $\ell_2$ の上の点 $D$ を、対角線 $EF$ は頂点 $F$ と、向かいの辺 $AB$ を含む直線 $\ell_1$ の上の点 $E$ を結ぶ。

ex-cq-start の三角形 $ABF$（$A(0,0)$、$B(6,0)$、$F(2,4)$、垂心 $H_4(2,2)$）で確かめる。
(1) 3 つの内積。$\overrightarrow{HA}=(-2,-2)$、$\overrightarrow{HB}=(4,-2)$、$\overrightarrow{HF}=(0,2)$ で、
$$ \overrightarrow{HA}\cdot\overrightarrow{HB}=-8+4=-4,\qquad \overrightarrow{HB}\cdot\overrightarrow{HF}=0-4=-4,\qquad \overrightarrow{HF}\cdot\overrightarrow{HA}=0-4=-4 $$
である。$s=-4$ である。
(2) 頂点 $F$ と、向かいの辺 $AB$ を含む $x$ 軸の上の点 $X(5,0)$、$X'(-1,0)$ をとる。$\overrightarrow{HX}=(3,-2)$、$\overrightarrow{HX'}=(-3,-2)$ で、$\overrightarrow{HF}\cdot\overrightarrow{HX}=0-4=-4$、$\overrightarrow{HF}\cdot\overrightarrow{HX'}=0-4=-4$ である。$FX$、$FX'$ を直径とする 2 つの円に関する $H$ の方べきは、どちらも $-4$ になる。2 つの円は、$F$ から $x$ 軸に下ろした垂線の足 $F_1(2,0)$ を通る（$\angle FF_1X=90^\circ$）。
(3) 対角線 $AC$ は頂点 $A$ と直線 $BF$ の上の点 $C$ を結ぶ。$\overrightarrow{HC}=\left(\dfrac43,\dfrac23\right)$ で、$\overrightarrow{HA}\cdot\overrightarrow{HC}=-\dfrac83-\dfrac43=-4$ である。ex-cq-start の $\Gamma_1$ の式に $(2,2)$ を代入しても $4+4-\dfrac{20}3-\dfrac{16}3=-4$ になる。

ex-cq-start で、対角線 $EF$ を含む直線 $m$ は $E(-2,0)$、$F(2,4)$ を通る $y=x+2$ である。
(1) 直線 $AC$ は $y=\dfrac45x$ で、$m$ との交点は $x+2=\dfrac45x$ より $G(-10,-8)$ である。
(2) 直線 $BD$ は $B(6,0)$、$D\left(\dfrac23,\dfrac43\right)$ を通るので傾きは $\dfrac{\frac43}{\frac23-6}=-\dfrac14$、式は $y=-\dfrac14(x-6)$ である。$m$ との交点は $x+2=-\dfrac14x+\dfrac32$、$\dfrac54x=-\dfrac12$ より $K\left(-\dfrac25,\dfrac85\right)$ である。
(3) $m$ の上の点を $x$ 座標で表す（直線の上の符号つきの比は、$x$ 座標の比で計算できる）。$E=-2$、$F=2$、$G=-10$、$K=-\dfrac25$ で、$EF$ の中点は $0$、半分の長さにあたる値は $2$ である。調和点列 の言いかえ「中点からの積」で確かめると
$$ (-10-0)\cdot\left(-\frac25-0\right)=4=2^2 $$
なので、$G$ と $K$ は $E$、$F$ に関して調和共役である。

4 本の直線 $y=0$、$y=4$、$x=0$、$x+y=6$ では、$y=0$ と $y=4$ が交わらないので、交点は $(0,0)$、$(6,0)$、$(0,4)$、$(2,4)$ と、$x=0$ と $x+y=6$ の交点 $(0,6)$ の 5 個である。$(0,6)$ はほかの 4 点のどれとも共通の直線の上にある。同じ直線の上にない 2 点の組は $(0,0)$ と $(2,4)$、$(6,0)$ と $(0,4)$ の 2 組だけで、3 本目の対角線（$y=0$ と $y=4$ の交点を使うもの）ができない。3 本から作る三角形も、平行な 2 本を含む組では三角形にならず、2 つしかない。主定理の「3 つの円」がそろわない。

$\ell_1:\ y=0$、$\ell_2:\ x=0$、$\ell_3:\ y=x$、$\ell_4:\ x+y=6$ では、$\ell_1$、$\ell_2$、$\ell_3$ が原点を通るので $V_{12}=V_{13}=V_{23}=(0,0)$ で、交点は $(0,0)$、$(6,0)$、$(0,6)$、$(3,3)$ の 4 個しかない。$\ell_4$ を除いた 3 本は 1 点で交わって三角形を作らず、垂心がない。また、$V_{13}V_{24}$ は $(0,0)$ と $(0,6)$ を結ぶ線分で、直線 $\ell_2$ の上にあるので、def-cq の意味の対角線にならない。

ex-cq-start の $\Gamma_1$、$\Gamma_2$ の代わりに、辺 $AB$（$A(0,0)$、$B(6,0)$）を直径とする円 $x(x-6)+y^2=x^2+y^2-6x=0$ を考える。4 つの垂心を代入すると
$$ H_1:\ \frac{80}{81},\qquad H_2:\ \frac{176}9,\qquad H_3:\ -\frac{16}9,\qquad H_4:\ -4 $$
である。$H_4$ では $s_4=-4$ に等しい（$AB$ は三角形 $ABF$ の辺で、lem-cq-orthocenter の $X=B$ の場合にあたる）が、$H_1$ では $\dfrac{80}{81}\ne-\dfrac{64}{81}$ である。$AB$ は三角形 $FDC$ の「頂点と向かいの辺の直線の上の点」を結ぶ線分ではないので、lem-cq-orthocenter が使えない。この円は $\Gamma_1$ と共通の根軸をもつ円の仲間に入らない。