コンパクト開位相

1. 有限集合はコンパクトなので、各点収束の位相の準開基の元 $W(F,U)$（$F$ 有限）はコンパクト開位相の準開基の元である。準開基の元が開なら、それらが生成する位相の開集合はすべて開である。
2. $f\neq g$ なら $f(x)\neq g(x)$ となる $x\in X$ があり、$Y$ の Hausdorff 性により交わらない開集合 $U\ni f(x)$、$V\ni g(x)$ がある。$W(\{x\},U)$ と $W(\{x\},V)$ はそれぞれ $f,g$ を含む開集合であり、$h$ が両方に属せば $h(x)\in U\cap V=\emptyset$ となって矛盾するので交わらない。$\square$

まず、$g\in N(f;K,\varepsilon)$ に対し、$N(g;K,\varepsilon')\subset N(f;K,\varepsilon)$ となる $\varepsilon'>0$ があることを見る。$K=\emptyset$ なら $N(f;K,\varepsilon)=C(X,Y)$ である。$K\neq\emptyset$ なら $x\mapsto d(f(x),g(x))$ は連続なのでコンパクト集合 $K$ 上で最大値 $m<\varepsilon$ をとり（コンパクト空間の記事の定理（最大値・最小値の存在））、$\varepsilon':=\varepsilon-m$ とすれば三角不等式により $N(g;K,\varepsilon')\subset N(f;K,\varepsilon)$ である。したがって、1 を示すには「各 $g\in N(f;K,\varepsilon)$ に対し、$g$ を含むコンパクト開位相の開集合で $N(g;K,\varepsilon')$ に含まれるものがある」ことを示せばよく、これは次の (b) である。
(a) 準開基の元 $W(K,U)$ と $f\in W(K,U)$ に対し、$N(f;K,\varepsilon)\subset W(K,U)$ となる $\varepsilon>0$ がある。$K=\emptyset$ なら $W(K,U)=C(X,Y)$ なので $K\neq\emptyset$ とする。コンパクト空間の記事の命題（保存と閉性）により $f(K)$ はコンパクトで、開集合 $U$ に含まれる。$y\in f(K)$ と $r>0$ で $B(y,2r)\subset U$ を満たすすべての組 $(y,r)$ に対する開球 $B(y,r)$ は $f(K)$ を覆うので、有限個の $B(y_i,r_i)$（$i=1,\dots,n$）で $f(K)$ を覆える。$\varepsilon:=\min_ir_i>0$ とおく。$g\in N(f;K,\varepsilon)$ と $x\in K$ に対し、$f(x)\in B(y_i,r_i)$ となる $i$ をとると $d(g(x),y_i)<\varepsilon+r_i\le2r_i$ なので $g(x)\in B(y_i,2r_i)\subset U$ である。よって $N(f;K,\varepsilon)\subset W(K,U)$ である。
(b) $N(f;K,\varepsilon)$ に対し、$f$ を含むコンパクト開位相の開集合で $N(f;K,\varepsilon)$ に含まれるものがある。$K=\emptyset$ なら $C(X,Y)$ 自身でよい。$K\neq\emptyset$ とし、$x\in K$ に対する開集合 $f^{-1}(B(f(x),\varepsilon/3))$ による $K$ の開被覆から有限部分被覆をとり、その中心を $x_1,\dots,x_n$ とする。
$$ K_i:=K\cap f^{-1}\bigl(\overline{B}(f(x_i),\varepsilon/3)\bigr) $$
（$\overline{B}$ は閉球）は $K$ の閉部分集合なのでコンパクトであり、$K_1\cup\cdots\cup K_n=K$ である。$f(K_i)\subset\overline{B}(f(x_i),\varepsilon/3)\subset B(f(x_i),2\varepsilon/3)$ なので
$$ f\in O:=\bigcap_{i=1}^nW\bigl(K_i,B(f(x_i),2\varepsilon/3)\bigr) $$
であり、$O$ はコンパクト開位相の開集合である。$g\in O$ と $x\in K$ に対し、$x\in K_i$ となる $i$ をとると
$$ d(g(x),f(x))\le d(g(x),f(x_i))+d(f(x_i),f(x))<2\varepsilon/3+\varepsilon/3=\varepsilon $$
なので $O\subset N(f;K,\varepsilon)$ である。
1 は冒頭の注意と (b) から従う。2 については、$f$ を含む開集合は有限個の準開基の元の共通部分 $W(K_1,U_1)\cap\cdots\cap W(K_m,U_m)\ni f$ を含み、(a) により各 $j$ に $N(f;K_j,\varepsilon_j)\subset W(K_j,U_j)$ となる $\varepsilon_j$ がある。$K:=K_1\cup\cdots\cup K_m$（コンパクト）、$\varepsilon:=\min_j\varepsilon_j$ とすれば $N(f;K,\varepsilon)$ が求めるものである（$m=0$ なら任意の $K,\varepsilon$ でよい）。収束についての主張は近傍基の言い換えである。選ぶ対象はコンパクト集合から得る有限部分被覆だけなので、この証明は選択公理を使わない。$\square$

連続写像 $x\mapsto d(f(x),g(x))$ は空でないコンパクト空間 $X$ 上で最大値をとる（コンパクト空間の記事の定理（最大値・最小値の存在））ので上限は有限であり、距離の公理は $Y$ の距離の公理から各点ごとに従う。$X$ 自身がコンパクトなので、prop-compact-open-topology-uniform-on-compacts により $N(f;X,\varepsilon)$ が $f$ の近傍基をなし、これは $d_\infty$ に関する半径 $\varepsilon$ の開球である。よって両位相は一致する。この証明は選択公理を使わない。$\square$

$(f,x)\in C(X,Y)\times X$ と $f(x)$ の開近傍 $U$ をとる。$f^{-1}(U)$ は $x$ の開近傍なので、局所コンパクト空間の記事の定理（コンパクト近傍の同値な形）の 3 により、開集合 $V$ で $x\in V\subset\overline{V}\subset f^{-1}(U)$ かつ $K:=\overline{V}$ がコンパクトとなるものがある。このとき $W(K,U)\times V$ は $(f,x)$ の開近傍である。$(g,y)$ がこの積に属せば $y\in K$ かつ $g(K)\subset U$ なので $g(y)\in U$ である。したがって評価写像は連続である。この証明は選択公理を使わない。$\square$

まず $F\colon Z\times X\to Y$ を連続とし、$\widehat F$ が連続であることを示す。準開基の元 $W(K,U)$ と $z_0\in\widehat F^{-1}(W(K,U))$ をとる。各 $x\in K$ で $(z_0,x)\in F^{-1}(U)$ だから、直積位相の定義により $z_0\in V_x\subset Z$ と $x\in O_x\subset X$ を満たす開集合で $V_x\times O_x\subset F^{-1}(U)$ となるものがある（各 $x$ について一組ずつ選ぶので、ここでは選択公理を使う）。$K$ のコンパクト性から有限個の $O_{x_1},\dots,O_{x_n}$ で $K$ を覆える。$V:=\bigcap_iV_{x_i}$ とおけば $V\times K\subset F^{-1}(U)$ なので $V\subset\widehat F^{-1}(W(K,U))$ である。ゆえに $\widehat F$ は連続である。この向きには $X$ の局所コンパクト性も Hausdorff 性も使わない。また各 $\widehat F(z)=F(z,-)$ が連続であることは、$F$ と包含 $x\mapsto(z,x)$ の合成だからである。
逆に $G\colon Z\to C(X,Y)$ が連続なら、
$$ \check G=\operatorname{ev}\circ(G\times\operatorname{id}_X) $$
である。prop-co-topology-evaluation により評価写像が連続なので、$\check G$ も連続である。集合の写像としてカリー化と非カリー化が互いに逆であることは、値を $(z,x)$ で評価すれば分かる。自然性、すなわち連続写像 $u\colon Y\to Y'$、$v\colon Z'\to Z$ に対し $\widehat{u\circ F\circ(v\times\operatorname{id}_X)}=u_*\circ\widehat F\circ v$ となることは、両辺を $(z',x)$ で評価すれば分かる（$u_*$ は prop-compact-open-topology-fixed-composition の写像）。$\square$

thm-co-topology-exponential-law で $Z=[0,1]$ とすればよい。道 $\widehat H$ の両端は $H(0,-)$ と $H(1,-)$ なので、二つの写像が同じ弧状連結成分に属することと、それらがホモトピックであることは同値である。この証明は選択公理を使わない。$\square$

$K\subset Z$ がコンパクトで $U\subset Y$ が開なら
$$ (a^*)^{-1}(W(K,U))=W(a(K),U) $$
であり、$a(K)$ はコンパクト集合の連続像なのでコンパクトである。$K\subset X$ がコンパクトで $V\subset W$ が開なら
$$ (b_*)^{-1}(W(K,V))=W(K,b^{-1}(V)) $$
であり、$b^{-1}(V)$ は開である。どちらも準開基の元の逆像が開なので連続である。この証明は選択公理を使わない。$\square$

$(f,g)$ と、$g\circ f$ を含む準開基の元 $W(K,U)$ をとる。コンパクト集合 $f(K)$ は開集合 $g^{-1}(U)$ に含まれる。局所コンパクト空間の記事の命題（コンパクト集合と開集合の間の緩衝帯）により、開集合 $V$ で $f(K)\subset V\subset L:=\overline{V}\subset g^{-1}(U)$ かつ $L$ がコンパクトとなるものがある。すると
$$ W(K,V)\times W(L,U) $$
は $(f,g)$ の開近傍であり、この近傍の任意の $(f',g')$ について $g'(f'(K))\subset g'(V)\subset g'(L)\subset U$、すなわち $g'\circ f'\in W(K,U)$ である。したがって合成写像は連続である。$\square$