abc予想

前提知識: 素因数分解, 最大公約数, 多項式, Weil高さ

abc 予想（abc conjecture）とは、互いに素な整数 $a,b,c$ が $a+b+c=0$ をみたすとき、$\max(\lvert a\rvert,\lvert b\rvert,\lvert c\rvert)$ は $abc$ を割る素数の積 $\operatorname{rad}(abc)$ の $1+\varepsilon$ 乗をほとんど超えない、という予想である。正確には、各 $\varepsilon>0$ について定数 $C(\varepsilon)$ があって $\max(\lvert a\rvert,\lvert b\rvert,\lvert c\rvert)\le C(\varepsilon)\operatorname{rad}(abc)^{1+\varepsilon}$ が成り立つと予想する。1985 年に D. Masser と J. Oesterlé の議論から生まれた（Oes88 I.3、p. 169）。
足し算の関係 $a+b+c=0$ と、素因数分解という掛け算の情報を結びつける予想で、成り立てば Fermat の最終定理の十分大きい指数の場合をはじめ、多くの Diophantus 方程式の結果が一度に従う。多項式の世界では対応する主張が定理（Mason–Stothers の定理）として成り立ち、そこから多項式の Fermat 方程式が解けないことが簡単に出る。また abc 予想は、Nevanlinna 理論で知られている「打ち切った個数関数の第二主要定理」の数論版であり、Vojta予想 の個数関数を打ち切った形の最も簡単な場合にあたる。
この記事では、予想を述べ、指数 $1+\varepsilon$ を $1$ にできないこと、多項式の abc（Mason–Stothers の定理）とその系、abc 予想から Fermat の最終定理の十分大きい指数の場合が出ることを完全に証明する。予想そのものは未解決として扱う。

主張

たとえば $\operatorname{rad}(72)=\operatorname{rad}(2^3\cdot3^2)=6$ である。素因数分解 で $\lvert n\rvert=\prod_pp^{e_p}$ と書けば $\operatorname{rad}(n)=\prod_{e_p>0}p$ で、$\operatorname{rad}(n)\le\lvert n\rvert$、また互いに素な $m,n$ について $\operatorname{rad}(mn)=\operatorname{rad}(m)\operatorname{rad}(n)$ である。

これは Oes88 Conjecture 3（p. 169）の形である。「互いに素」は 3 つの最大公約数が $1$ という意味だが、$a+b+c=0$ のもとでは 2 つずつ互いに素であることと同値である（素数 $p$ が 2 つを割れば、残りの 1 つも割る）。対数をとれば
$$ \log\max(\lvert a\rvert,\lvert b\rvert,\lvert c\rvert)\le(1+\varepsilon)\sum_{p\mid abc}\log p+C'(\varepsilon) $$
であり、これは Voj11 Conjecture 22.6（p. 190）の形である。$a+b+c=0$ の代わりに、正の整数で $a+b=c$ と書くことも多い（符号を替えるだけで同値）。

例 2 のように $c$ が $\operatorname{rad}(abc)$ の $1.6$ 乗を超える組もあるが、abc 予想は、どの $\varepsilon>0$ についても $c>\operatorname{rad}(abc)^{1+\varepsilon}$ となる組は有限個しかないことと同値である（有限個の例外は定数 $C(\varepsilon)$ に吸収できる）。

指数を $1$ にはできない

$n=1,\dots,5$ では $c_n/\operatorname{rad}(b_nc_n)$ は $1.5,\ 2.7,\ 5.33,\ 10.66,\ 21.33$（小数第 3 位以下を切り捨て）で、下界 $2^{n+1}/3$ をわずかに上回る（Python による計算）。Oes88 p. 168 は、同じ目的で、$a_0=16$、$b_0=1$、$c_0=-17$ から $a_{n+1}=4a_nb_n$、$b_{n+1}=(a_n-b_n)^2$、$c_{n+1}=-(a_n+b_n)^2$ で定める組の列を挙げ、関連する Szpiro の予想で指数を小さくできないことを示している。

多項式の abc（Mason–Stothers の定理）

多項式では、整数の大きさの代わりに次数、根基の代わりに相異なる根の個数を使うと、abc 予想の類似が $\varepsilon$ なしで成り立つ。

この証明は Oes88 Théorème 2（p. 169）の証明と同じである。Oes88 は、abc 予想の関数体での類似は知られていて、関数体上の Diophantus 方程式の研究に役立つと述べ、R. C. Mason の本を挙げている。$\operatorname{rad}$ の類似が「相異なる根の個数」であるのは、$\operatorname{rad}(PQR)$ にあたる多項式 $\prod_i(X-x_i)$ の次数が $s$ だからである。

$n=2$ では $(t^2-1)^2+(2t)^2=(t^2+1)^2$ があり、系は成り立たない（節「反例と注意」）。

abc 予想からの帰結

Fermat の最終定理の十分大きい指数の場合

Oes88 p. 168 は、同じ議論を Szpiro の予想から行っている（Corollaire）。Fermat の最終定理はすべての $n\ge3$ について A. Wiles らにより証明されている（Wil95）。上の議論は、abc 予想がもし証明されれば、Fermat の最終定理の十分大きい指数の場合がわずか数行で出ることを示している。ただし定数 $C(1)$ が具体的に分からない限り、$N_0$ は具体的に求まらない。

ほかの帰結

abc 予想からは、ほかにも多くの有限性が出る（どれもこの記事では証明しない）。

• 楕円曲線．abc 予想は、楕円曲線の最小モデルの不変量 $c_4,c_6$ と導手 $N$ についての不等式 $\max(\lvert c_4\rvert^3,\lvert c_6\rvert^2)\le C(\varepsilon)N^{6+\varepsilon}$ と同値である（Oes88 Conjecture 4 とその後の証明、pp. 169–170）。これは Szpiro予想 の一つの形である。
• Mordell 予想・Roth の定理．N. Elkies は abc 予想から Mordell 予想（Faltingsの定理）が出ることを示し、E. Bombieri は abc 予想から Rothの定理 が出ることを示した（Voj11 §31、pp. 218–219）。Voj11 は、これらの議論の出発点の 1 つとして、曲線から射影直線への $0,1,\infty$ の外で不分岐な写像が存在するという Belyi の定理を挙げている（同 Theorem 31.1、p. 219）。

Vojta 予想と Nevanlinna 理論から見た abc 予想

abc 予想は、Vojta予想 の「個数関数を打ち切った形」の最も簡単な場合と同値である（Voj11 §22、pp. 189–191）。互いに素な $a,b,c$（$a+b+c=0$）に、射影平面の直線 $x_0+x_1+x_2=0$ 上の点 $x=[a:b:c]$ を対応させる。高さは $h_{\mathbb{Q}}(x)=\log\max(\lvert a\rvert,\lvert b\rvert,\lvert c\rvert)$ である。座標超平面 $x_0=0$ の素数 $p$ での Weil 関数の値は $\operatorname{ord}_p(a)\log p$ で、座標超平面 3 つの和を $D$ とすると
$$ N(D,x)=\sum_p\bigl(\operatorname{ord}_p(a)+\operatorname{ord}_p(b)+\operatorname{ord}_p(c)\bigr)\log p=\log\lvert abc\rvert $$
である。重複度 $\operatorname{ord}_p$ を $1$ で打ち切った個数関数は
$$ N^{(1)}(D,x)=\sum_{p\mid abc}\log p=\log\operatorname{rad}(abc) $$
であり、abc 予想は $h_{\mathbb{Q}}(x)\le(1+\varepsilon)N^{(1)}(D,x)+C$ と書ける（Voj11 pp. 190–191）。打ち切らない $N(D,x)=\log\lvert abc\rvert$ は $h_{\mathbb{Q}}(x)$ 以上なので、対応する不等式は自明に成り立つ。abc 予想の内容は、重複度を打ち切ること、すなわち根基をとることにある。
Nevanlinna 理論では、曲線への正則写像について、重複度を $1$ で打ち切った個数関数の第二主要定理が知られている（Voj11 Theorem 22.2、p. 188）。Riemann 球面の 3 点 $0,1,\infty$ の場合、これは abc 予想の Nevanlinna 側の対応物にあたる（Nevanlinna理論 の節「数論との対応」）。多項式の Mason–Stothers の定理も、関数体での対応物である。どちらの側でも証明には導関数が使われる（Mason–Stothers の証明では $D=PQ'-P'Q$）が、整数には導関数の類似物がない（Voj11 §5、p. 128）。

研究の現状

abc 予想は未解決の予想として深いものと考えられている（Voj11 p. 192）。
望月新一は、宇宙際 Teichmüller 理論（inter-universal Teichmüller theory）の 4 本の論文で、双曲的曲線についての Vojta 予想・abc 予想・Szpiro 予想を導く Diophantus 的な結果を得たと主張しており、これらの論文は 2021 年に数理解析研究所の雑誌 Publications of the RIMS の 57 巻 1/2 号に掲載された（主張は第 IV 論文 Moc21 の要旨）。一方、P. Scholze と J. Stix は 2018 年の原稿で、この論証の中心である IUT III の Corollary 3.12 の議論に、小さな修正では直らない問題があると論じた。望月と星裕一郎はこの指摘に同意しておらず、原稿にもそのことが記されている（SS18 冒頭と §2.2）。このように証明の正否について見解が分かれており、この記事では abc 予想を未解決の予想として扱う。

反例と注意

主張の仮定を外すと、結論は成り立たなくなる。確かめは表の下にある。

各行の反例が、どの条件を破っているかを確かめる。

• 有効性．abc 予想が定数 $C(\varepsilon)$ を具体的に与える形で証明されれば、thm-abc-fermat の $N_0$ も具体的になる。予想の形では $C(\varepsilon)$ の存在しか述べていない。
• 下からの評価．prop-abc-exponent-one は、$c/\operatorname{rad}(abc)$ が有界でない組が無限個あることを示す。abc 予想は、この比が $\operatorname{rad}(abc)^{\varepsilon}$ の程度を超えて大きくなることはない、という主張である。

関連項目

• 前提: 素因数分解, 最大公約数, 多項式, Weil高さ
• 比較: Vojta予想, Nevanlinna理論, Rothの定理
• 直後に読む: Szpiro予想, Fermatの最終定理, Mason–Stothersの定理
• 発展: Faltingsの定理, 宇宙際Teichmüller理論, 楕円曲線