極大単調作用素

はじめに、$\lambda>0$ と $u\in D(A)$ について、単調性と Cauchy–Schwarz の不等式から
$$ |u|^2\le|u|^2+\lambda(Au,u)=\bigl(u+\lambda Au,u\bigr)\le|u+\lambda Au|\,|u| $$
なので $|u|\le|u+\lambda Au|$ である。よって $I+\lambda A$ は単射で、値域の上で逆写像はノルムを増やさない。
1：$f\in H$ がすべての $v\in D(A)$ と直交するとする。$v_0+Av_0=f$ となる $v_0\in D(A)$ をとると、$0=(f,v_0)=|v_0|^2+(Av_0,v_0)\ge|v_0|^2$ なので $v_0=0$、したがって $f=0$ である。直交補空間が $\{0\}$ なので、Hilbert空間 の系「稠密な部分空間の判定」により $D(A)$ は稠密である。
2：$J_1=(I+A)^{-1}$ は冒頭の評価から $H$ 上の有界線形作用素である。$u_n\in D(A)$、$u_n\to u$、$Au_n\to g$ とすると、$u_n=J_1(u_n+Au_n)\to J_1(u+g)$ なので $u=J_1(u+g)$、すなわち $u\in D(A)$ かつ $u+Au=u+g$ である。よって $Au=g$ で、$A$ は閉である。
3：ある $\lambda_0>0$ で $I+\lambda_0A$ が全射なら、$\lambda>\lambda_0/2$ でも $I+\lambda A$ が全射であることを示す。$f\in H$ について、$u+\lambda Au=f$ は
$$ u=J_{\lambda_0}\Bigl[\frac{\lambda_0}{\lambda}f+\Bigl(1-\frac{\lambda_0}{\lambda}\Bigr)u\Bigr] $$
と同値である（両辺に $I+\lambda_0A$ を施して $\lambda/\lambda_0$ 倍すればよい）。右辺の写像は $\|J_{\lambda_0}\|\le1$ により Lipschitz 定数 $|1-\lambda_0/\lambda|<1$ の縮小写像なので、Banachの不動点定理 により不動点 $u$ がある。$u$ は $J_{\lambda_0}$ の値なので $D(A)$ に属する。$\lambda_0=1$ から始めると $\lambda>1/2$ で全射、それを $\lambda_0=2/3$ に使うと $\lambda>1/3$ で全射、と帰納的に $\lambda_0=(2/3)^k$ について全射であり、すべての $\lambda>0$ が覆われる。$\square$

1：$v+Av=x+y$ となる $v\in D(A)$ をとると $x-v=Av-y$ なので、仮定から $0\le(y-Av,x-v)=-|y-Av|^2$ である。よって $y=Av$、$x=v$ である。
2：まず $R(I+A)$ は閉である。実際、$(I+A)u_n\to g$ なら prf-mm-basic 冒頭の評価 $|u_n-u_m|\le|(I+A)(u_n-u_m)|$ から $u_n\to u$、$Au_n\to g-u$ となり、閉性から $u\in D(A)$、$(I+A)u=g$ である。$R(I+A)\neq H$ と仮定し、$R(I+A)$ に直交する $f\neq0$ をとる。すべての $u\in D(A)$ で $(Au,f)=-(u,f)$ である。$f\in D(A)$ なら $u=f$ として $(Af,f)=-|f|^2< 0$ となり単調性に反するので、$f\notin D(A)$ である。そこで $D(B):=D(A)\oplus\mathbb{R}f$ 上で $B(u+tf):=Au+tf$ と定めると
$$ \bigl(B(u+tf),u+tf\bigr)=(Au,u)+t(Au,f)+t(f,u)+t^2|f|^2=(Au,u)+t^2|f|^2\ge0 $$
なので $B$ は $A$ を真に拡張する単調な作用素であり、仮定に反する。$\square$

$\Rightarrow$：$A$ は単調である。$w\in D(A^*)$、$\lambda>0$ とし、$f:=w+\lambda A^*w$ とおく。$v\in D(A)$ について $(f,v)=(w,v)+\lambda(w,Av)=(w,v+\lambda Av)$ である。thm-mm-basic の 3 により任意の $h\in H$ は $h=v+\lambda Av$（$v=J_\lambda h$）と書けるので、$(f,J_\lambda h)=(w,h)$ である。$h=w$ とすると
$$ |w|^2=(f,J_\lambda w)\le|f|\,|J_\lambda w|\le|f|\,|w| $$
なので $|w|\le|w+\lambda A^*w|$ である。両辺を 2 乗して展開すると $0\le2\lambda(A^*w,w)+\lambda^2|A^*w|^2$ であり、$\lambda$ で割って $\lambda\to0$ とすると $(A^*w,w)\ge0$ を得る。
$\Leftarrow$：prf-mm-graph の 2 と同じく、$A$ が閉で単調なので $R(I+A)$ は閉である。$f$ が $R(I+A)$ に直交するとすると、すべての $v\in D(A)$ で $(f,Av)=-(f,v)$ であり、右辺は $v$ について有界なので $f\in D(A^*)$、$A^*f=-f$ である。$A^*$ の単調性から $0\le(A^*f,f)=-|f|^2$、よって $f=0$ である。したがって $R(I+A)=H$ である。$\square$

$\Leftarrow$：自己共役作用素は閉であり（自己共役作用素 の補題「随伴の閉性と対称作用素の閉包」）、$A^*=A$ は単調なので thm-mm-adjoint による。
$\Rightarrow$：$J:=J_1$ とする。$u,v\in H$ について $x=Ju$、$y=Jv$ とおくと $u=x+Ax$、$v=y+Ay$ なので、対称性から $(Ju,v)=(x,y)+(x,Ay)=(x,y)+(Ax,y)=(u,Jv)$ である。$w\in D(A^*)$ をとり $f:=w+A^*w$ とおくと、$v\in D(A)$ について $(f,v)=(w,v+Av)$ であり、$v=Jh$ を代入して $(f,Jh)=(w,h)$、すなわち $(Jf,h)=(w,h)$（$h\in H$）を得る。よって $w=Jf\in D(A)$ である。対称性から $A\subset A^*$ なので、$D(A^*)=D(A)$ かつ $A^*=A$ である。$\square$

要点：閉で稠密に定義された $A$ について、$A^*$ も閉で稠密に定義され $A^{**}=A$ である（グラフを $H\times H$ の直交補空間で表す）。これを使って thm-mm-adjoint を $A$ と $A^*$ の両方に当てる。

$A+B$ は単調で、$A$ が閉で $B$ が有界なので閉、$D(A)$ は稠密である（thm-mm-basic）。$v\mapsto(w,Bv)$ は有界なので、$v\mapsto(w,(A+B)v)$ が有界であることと $w\in D(A^*)$ は同値であり、$(A+B)^*=A^*+B^*$ である。thm-mm-adjoint の $\Rightarrow$ により $A^*$ は単調で、$(B^*w,w)=(w,Bw)\ge0$ なので $(A+B)^*$ も単調である。thm-mm-adjoint の $\Leftarrow$ により $A+B$ は極大単調である。$\square$

要点：$v=J_\lambda v+\lambda A_\lambda v$ と $A$ の単調性から $(A_\lambda v,v)\ge\lambda|A_\lambda v|^2$ が出る。$D(A)$ の上では $A_\lambda=J_\lambda A$ で、$\|J_\lambda\|\le1$ と $D(A)$ の稠密性から各点の収束が出る。