対称群

置換 $\sigma$ の値を順に決める。$\sigma(1)$ には $n$ 通り、$\sigma(2)$ には既に使った像を除いて $n-1$ 通り、以下同様に $\sigma(n)$ には1通りある。積の法則から全単射の総数は $n(n-1)\cdots1=n!$ である。

任意の置換は互いに素な巡回置換の積へ分解され、$k$-巡回は $k-1$ 個の互換の積に書けるので、互換全体が $S_n$ を生成する。
任意の互換 $(i\ j)$（$i< j$）は
$$ (i\ j)=s_i s_{i+1}\cdots s_{j-2}s_{j-1}s_{j-2}\cdots s_{i+1}s_i $$
と隣接互換の積に書ける。右辺は $i$ を隣接交換で $j$ まで運び、$j$ を元の位置へ戻し、他の元を最終的に固定する。従って隣接互換だけで全互換、ゆえに $S_n$ を生成する。

$\tau(a_1\cdots a_k)\tau^{-1}=(\tau(a_1)\cdots\tau(a_k))$ なので、共役は各巡回のラベルを付け替えるだけで巡回長を保つ。従って共役なら巡回型は一致する。
逆に $\sigma,\rho$ の巡回型が同じとする。対応する同じ長さの巡回を一つずつ組にし、$\sigma$ の各巡回に並ぶ元を $\rho$ の対応する巡回の同じ位置の元へ送る置換 $\tau$ を作る。このとき各元上で $\tau\sigma=\rho\tau$、従って $\rho=\tau\sigma\tau^{-1}$ である。

各 $g\in G$ に左移動
$$ L_g:G\to G,\qquad L_g(x)=gx $$
を対応させる。$L_g$ は逆写像 $L_{g^{-1}}$ を持つ置換であり、$L_gL_h=L_{gh}$ だから
$$ L:G\to S_G,\qquad g\mapsto L_g $$
は群準同型である。$L_g=L_h$ なら単位元 $e$ で評価して $g=L_g(e)=L_h(e)=h$ なので単射。従って像 $L(G)$ は $G$ と同型な部分群である。

作用から $\rho(g)(x)=g\cdot x$ と置く。作用律 $(gh)\cdot x=g\cdot(h\cdot x)$ により $\rho(gh)=\rho(g)\rho(h)$、単位元の作用により $\rho(e)=1_X$ だから準同型である。逆に準同型 $\rho$ から $g\cdot x=\rho(g)(x)$ と定めれば、準同型性が作用律を与える。二つの構成は互いに逆である。