Švarc–Milnorの補題

1．上からの評価は $d(hf(x),hf(x'))\le\lambda_2(\lambda_1d(x,x')+c_1)+c_2$、下からの評価は $d(hf(x),hf(x'))\ge\lambda_2^{-1}(\lambda_1^{-1}d(x,x')-c_1)-c_2$ である。$z\in Z$ に対し $d(z,h(y))\le c_2$ となる $y$、$d(y,f(x))\le c_1$ となる $x$ をとると、$d(z,hf(x))\le c_2+(\lambda_2c_1+c_2)$ である。$\lambda_2c_1+2c_2$ は $\lambda_2c_1+c_2$ と $c_1/\lambda_2+c_2$ 以上なので、3 つの評価はすべて主張の定数で成り立つ。
2．各 $y\in Y$ に $d(y,f(x))\le c$ となる $x$ を 1 つ選んで $\bar f(y)$ とおく。$y,y'\in Y$ について、三角不等式から $\lvert d(f\bar f(y),f\bar f(y'))-d(y,y')\rvert\le2c$ である。$f$ の下からの評価と合わせると $\lambda^{-1}d(\bar f(y),\bar f(y'))-c\le d(y,y')+2c$、上からの評価と合わせると $d(y,y')-2c\le\lambda d(\bar f(y),\bar f(y'))+c$ なので、
$$ \frac1\lambda\,d(y,y')-\frac{3c}\lambda\le d\bigl(\bar f(y),\bar f(y')\bigr)\le\lambda\,d(y,y')+3\lambda c $$
である。また $x\in X$ について $d(f\bar f(f(x)),f(x))\le c$ と $f$ の下からの評価から $d(\bar f(f(x)),x)\le\lambda(c+c)=2\lambda c$ で、$X$ のどの点も $\bar f$ の像から $2\lambda c$ 以内にある。
3．恒等写像は $(1,0)$-準等長写像なので反射律が成り立ち、2 から対称律、1 から推移律が従う。$\square$

段 0（準備）． $K$ をコンパクトで $GK=X$ となる集合とし、$K\subset\bar B(x_0,R)$ となる $R\ge0$ をとる（コンパクト集合は有界）。$B:=\bar B(x_0,R)$ について $GB=X$ である。言い換えると、任意の $x\in X$ について $d(x,gx_0)\le R$ となる $g\in G$ がある（$x\in gB$ なら $d(x,gx_0)=d(g^{-1}x,x_0)\le R$）。
$$ S_0:=\{g\in G\setminus\{1\}\mid d(x_0,gx_0)\le2R+1\} $$
とおく。$L:=\bar B(x_0,2R+1)$ は $X$ が固有なのでコンパクトであり、$g\in S_0$ なら $gx_0\in gL\cap L$ である。作用は固有なので $S_0$ は有限集合である。作用が等長なので $d(x_0,g^{-1}x_0)=d(gx_0,x_0)$ であり、$S_0^{-1}=S_0$ である。
段 1（語の長さを距離で上からおさえる）． $g\in G$ について
$$ \lvert g\rvert_{S_0}\le d(x_0,gx_0)+1 $$
を示す（ここで $\lvert g\rvert_{S_0}$ は $S_0$ の元の積で書くときの個数の最小値で、書けなければ $\infty$ とする）。$\ell:=d(x_0,gx_0)$ とおく。$\ell=0$ なら $g\in S_0\cup\{1\}$ なので $\lvert g\rvert_{S_0}\le1$ である。$\ell>0$ なら $k:=\lceil\ell\rceil$ とし、$x_0$ から $gx_0$ への測地線分 $\sigma$ をとって $y_i:=\sigma(i\ell/k)$（$i=0,1,\dots,k$）とおく。$d(y_{i-1},y_i)=\ell/k\le1$ である。各 $i$ について $d(y_i,g_ix_0)\le R$ となる $g_i\in G$ を選ぶ。ただし $y_0=x_0$、$y_k=gx_0$ なので $g_0:=1$、$g_k:=g$ と選べる。すると
$$ d\bigl(x_0,\ g_{i-1}^{-1}g_i\,x_0\bigr)=d(g_{i-1}x_0,g_ix_0)\le d(g_{i-1}x_0,y_{i-1})+d(y_{i-1},y_i)+d(y_i,g_ix_0)\le2R+1 $$
なので、$s_i:=g_{i-1}^{-1}g_i$ は $S_0\cup\{1\}$ に属する。$g=g_0^{-1}g_k=s_1s_2\cdots s_k$ であり、$1$ に等しい $s_i$ を除けば $S_0$ の元 $k$ 個以下の積になる。よって $\lvert g\rvert_{S_0}\le k\le\ell+1$ である。
とくにすべての $g$ が $S_0$ の元の積で書けるので、$S_0$ は $G$ の有限生成系であり、$G$ は有限生成である。
段 2（距離を語の長さで上からおさえる）． $\mu:=\max\bigl(\{d(x_0,sx_0)\mid s\in S_0\}\cup\{1\}\bigr)$ とおく。$g=s_1\cdots s_m$（$s_j\in S_0$、$m=\lvert g\rvert_{S_0}$）と書き、$p_j:=s_1\cdots s_j$（$p_0=1$）とおくと、作用が等長であることから
$$ d(x_0,gx_0)\le\sum_{j=1}^md(p_{j-1}x_0,p_jx_0)=\sum_{j=1}^md(x_0,s_jx_0)\le\mu\,\lvert g\rvert_{S_0} $$
である。
段 3（まとめ）． $g,h\in G$ について $d(gx_0,hx_0)=d(x_0,g^{-1}hx_0)$、$d_{S_0}(g,h)=\lvert g^{-1}h\rvert_{S_0}$ なので、段 1・段 2 を $g^{-1}h$ に当てはめて
$$ d_{S_0}(g,h)-1\le d(gx_0,hx_0)\le\mu\,d_{S_0}(g,h) $$
を得る。段 0 により $X$ のどの点も軌道 $Gx_0$ から距離 $R$ 以内にある。$\mu\ge1$ なので、軌道写像 $(G,d_{S_0})\to X$ は $(\mu,\max(R,1))$-準等長写像である。
任意の有限生成系 $S$ については、恒等写像 $(G,d_S)\to(G,d_{S_0})$ が準等長写像なので（生成系の取り替え）、lem-sm-equivalence の 1 により、その合成である軌道写像 $(G,d_S)\to X$ も準等長写像である。$\square$

$x_0\in X$ をとる。thm-sm-main により軌道写像 $q_G\colon G\to X$、$q_H\colon H\to X$ はどちらも準等長写像である。lem-sm-equivalence の 2 の $\bar q_G\colon X\to G$ をとると、1 により $\bar q_G\circ q_H\colon H\to G$ は準等長写像である。$\square$

Riemann 多様体は Riemann 距離で距離空間とみる。$\Gamma$ は $M$ の基本群に同型である（被覆変換 の系「普遍被覆の被覆変換群」、Lee18 Proposition C.22、p. 414）。thm-sm-main の仮定を確かめる。
1．$\tilde M$ は固有で測地的。 $M$ はコンパクトなので完備であり（Hopf–Rinowの定理 の系「コンパクトなリーマン多様体は完備」）、$\pi$ は Riemann 被覆なので $\tilde M$ も完備である（Lee18 Corollary 6.24、p. 173）。Hopf–Rinowの定理 の定理「Hopf–Rinow の定理」の 4 により有界閉集合はコンパクトで、$\tilde M$ は固有である。同じ定理の最後の主張により任意の 2 点 $p,q$ は長さ $d(p,q)$ の測地線で結ばれ、それを弧長で径数づけた $\sigma$ は $d(\sigma(s),\sigma(t))\le\lvert s-t\rvert$ を満たし、三角不等式から等号が成り立つので、測地線分である。
2．作用は等長。 $\varphi\in\Gamma$ は $\pi\circ\varphi=\pi$ を満たすので $\varphi^*\tilde g=\varphi^*\pi^*g=\pi^*g=\tilde g$ であり、$\varphi$ は計量を保つ微分同相で、Riemann 距離を保つ（Lee18 Proposition 2.51、p. 37）。
3．作用は固有。 Lee18 Proposition C.20（p. 414）により、離散位相を入れた $\Gamma$ の作用は固有、すなわち作用の写像 $\Gamma\times\tilde M\to\tilde M\times\tilde M$、$(\gamma,x)\mapsto(\gamma x,x)$ は固有写像である。コンパクト集合 $K$ について $K\times K$ の逆像は $\{(\gamma,x)\mid x\in K,\ \gamma x\in K\}$ でコンパクトなので、その $\Gamma$ への射影 $\{\gamma\mid\gamma K\cap K\ne\emptyset\}$ は離散空間のコンパクト集合で、有限である。
4．作用は余コンパクト。 $D$ を $M$ の直径とする（$M$ はコンパクト）。$\tilde x\in\tilde M$ について、$\pi(\tilde x)$ から $\pi(\tilde x_0)$ への区分的に滑らかな曲線 $c$ で長さが $D+1$ 未満のものがある。$c$ を $\tilde x$ から持ち上げた曲線 $\tilde c$ は、$\pi$ が局所等長写像なので区分的に滑らかで $c$ と同じ長さをもち、終点は $\pi^{-1}(\pi(\tilde x_0))$ にある。$\Gamma$ はファイバーに推移的に作用する（Lee18 Proposition C.22）ので、終点は $\gamma\tilde x_0$（$\gamma\in\Gamma$）の形で、$d(\tilde x,\gamma\tilde x_0)< D+1$ である。よって $\tilde M=\Gamma\,\bar B(\tilde x_0,D+1)$ で、閉球は 1 によりコンパクトである。
以上により thm-sm-main が使える。$\square$