Picard–Lindelöfの定理

局所 Lipschitz 条件の $\eta$、$r$ をとり、thm-pl-main を $T:=\eta$、$\delta:=r$ で使えば、$T_0>0$ について $[t_0-T_0,t_0+T_0]$ 上の解が得られる。$\varepsilon:=T_0$ としてその内部に制限すればよい。後半は常微分方程式の記事の系「解の一意性」である（そこでは、各点の近くで Grönwall の不等式から 2 つの解の差が $0$ であることを示し、一致する時刻の集合が開かつ閉であることを使っている）。$\square$

$t\ge t_0$ の側を示す（$t\le t_0$ の側も同様）。$S:=\{s\in[t_0,t_0+T_0]\mid\text{すべての }r\in[t_0,s]\text{ で }\lvert y(r)-x_0\rvert\le\delta\}$ とおき、$s^\ast:=\sup S$ とする。$t_0\in S$ であり、$y$ の連続性から $s^\ast\in S$ である。$s^\ast< t_0+T_0$ と仮定する。$[t_0,s^\ast]$ の上では $(r,y(r))\in V$ なので $\lvert f(r,y(r))\rvert\le M$ であり、積分方程式から
$$ \lvert y(s^\ast)-x_0\rvert\le\int_{t_0}^{s^\ast}\bigl\lvert f(r,y(r))\bigr\rvert\,dr\le M(s^\ast-t_0)< MT_0\le\delta $$
である（$M=0$ なら左辺は $0<\delta$）。連続性から $s^\ast$ の少し先まで $\lvert y-x_0\rvert<\delta$ が続くので、$s^\ast=\sup S$ に反する。よって $s^\ast=t_0+T_0$ である。$\square$

段 1（空間）．$L>0$ としてよい（Lipschitz 定数は大きくとり直してもよい）。$X:=C(I_0,\mathbb{R}^n)$ を $I_0$ 上の連続写像全体とし、
$$ \|x\|_w:=\max_{t\in I_0}e^{-2L\lvert t-t_0\rvert}\,\lvert x(t)\rvert,\qquad d_w(x,y):=\|x-y\|_w $$
とおく。最大値ノルム $\|x\|_\infty:=\max_{I_0}\lvert x\rvert$ との間に $e^{-2LT_0}\|x\|_\infty\le\|x\|_w\le\|x\|_\infty$ が成り立つので、$d_w$ の Cauchy 列は $\|\cdot\|_\infty$ の Cauchy 列であり、収束も同じである。$(X,\|\cdot\|_\infty)$ は完備である（完備距離空間の記事の命題「有界関数と有界連続関数の空間の完備性」を各成分に使う）から、$(X,d_w)$ も完備である。
$$ C:=\bigl\{x\in X\ \big|\ \text{すべての }t\in I_0\text{ で }\lvert x(t)-x_0\rvert\le\delta\bigr\} $$
は定数写像 $x_0$ を含み、$d_w$ について閉じている（各点での不等式は一様収束の極限で保たれる）。閉部分集合なので $(C,d_w)$ は空でない完備距離空間である。
段 2（写像 $K$）．$x\in C$ なら $(s,x(s))\in V\subset U$ なので、
$$ K(x)(t):=x_0+\int_{t_0}^{t}f\bigl(s,x(s)\bigr)\,ds\qquad(t\in I_0) $$
が定義でき、$K(x)$ は連続である。さらに $\lvert K(x)(t)-x_0\rvert\le M\lvert t-t_0\rvert\le MT_0\le\delta$ なので $K(x)\in C$ である。
段 3（縮小）．$x,y\in C$、$t\ge t_0$ とすると、Lipschitz 条件と $\lvert x(s)-y(s)\rvert\le e^{2L(s-t_0)}\|x-y\|_w$ から
$$ \lvert K(x)(t)-K(y)(t)\rvert\le\int_{t_0}^{t}L\,\lvert x(s)-y(s)\rvert\,ds\le L\,\|x-y\|_w\int_{t_0}^{t}e^{2L(s-t_0)}\,ds\le\frac12\,e^{2L(t-t_0)}\,\|x-y\|_w $$
である。$t\le t_0$ でも積分の向きを変えて同じ評価 $\frac12e^{2L\lvert t-t_0\rvert}\|x-y\|_w$ を得る。両辺に $e^{-2L\lvert t-t_0\rvert}$ を掛けて $t$ について最大をとると
$$ \|K(x)-K(y)\|_w\le\frac12\,\|x-y\|_w $$
であり、$K\colon C\to C$ は定数 $\frac12$ の縮小写像である。
段 4（存在）．縮小写像の不動点定理により、$K(x)=x$ となる $x\in C$ がただ 1 つある。$x$ は積分方程式をみたす連続写像なので、上で見た同値により $I_0$ 上の解であり、$x(I_0)\subset\overline{B}_\delta(x_0)$ である。
段 5（一意性）．$y$ を $I_0$ 上の任意の解とする。lem-pl-stay により $y\in C$ であり、積分方程式から $K(y)=y$ である。不動点はただ 1 つなので $y=x$ である。$\square$

$t\ge t_0$ の側を $m$ についての帰納法で示す（$t\le t_0$ も同様）。$m=0$ では、積分方程式と $(s,x(s))\in V$ から $\lvert x(t)-x_0\rvert\le\int_{t_0}^t\lvert f(s,x(s))\rvert\,ds\le M(t-t_0)$ である。$m$ で成り立つとすると、$x$ と $x_m$ はともに $C$ に属するので Lipschitz 条件が使え、
$$ \lvert x(t)-x_{m+1}(t)\rvert\le\int_{t_0}^{t}L\,\lvert x(s)-x_m(s)\rvert\,ds\le\int_{t_0}^{t}\frac{M\,L^{m+1}(s-t_0)^{m+1}}{(m+1)!}\,ds=\frac{M\,L^{m+1}(t-t_0)^{m+2}}{(m+2)!} $$
である。右辺の最大値 $ML^mT_0^{m+1}/(m+1)!$ は $m\to\infty$ で $0$ に近づく（階乗は指数関数より速く増える）ので、収束は一様である。$\square$

$t_0$ を含む有界閉区間 $I\subset J$ を固定し、$L:=\max\{L_I,1\}$ とする。prf-pl-main と同じ重み付きノルム $\|x\|_w:=\max_{t\in I}e^{-2L\lvert t-t_0\rvert}\lvert x(t)\rvert$ を $X:=C(I,\mathbb{R}^n)$ に入れると、$(X,d_w)$ は完備である。今度は $f$ が $I\times\mathbb{R}^n$ 全体で定義されているので、$K(x)(t):=x_0+\int_{t_0}^tf(s,x(s))\,ds$ は $X$ 全体から $X$ への写像であり、段 3 と同じ計算で $\|K(x)-K(y)\|_w\le\frac12\|x-y\|_w$ である。よって $K$ はただ 1 つの不動点 $x_I\in X$ をもち、それが $I$ 上の解である。また $I$ 上の任意の解は $K$ の不動点なので $x_I$ に等しい。
$I\subset I'$ なら、$x_{I'}$ の $I$ への制限は $I$ 上の解なので $x_I$ に等しい。$J$ は $t_0$ を含む有界閉区間の増大列の和集合なので、$x(t):=x_I(t)$（$t\in I$）は $I$ の選び方によらずに $J$ 上の写像を定め、各点の近くで解に一致するから $J$ 上の解である。$J$ 上の 2 つの解は各 $I$ の上で $x_I$ に一致するので等しい。$\square$