Lorentz変換

同義語：ローレンツ変換Lorentz transformation

概要

前提知識: Minkowski空間, 双曲線関数, 直交行列

Lorentz 変換（Lorentz transformation）とは、時刻と位置を並べた 4 次元の座標 $(ct,x,y,z)$ の線形変換で、2 つの事象の間の量 $-c^2\Delta t^2+\Delta x^2+\Delta y^2+\Delta z^2$ を変えないもののことである。代表は、$x$ 軸の向きに速さ $v$（$|v|< c$）で動く観測者の座標へ移る boost
$$ t'=\gamma\Bigl(t-\frac{vx}{c^2}\Bigr),\qquad x'=\gamma(x-vt),\qquad y'=y,\qquad z'=z,\qquad\gamma=\frac1{\sqrt{1-v^2/c^2}} $$
である。boost は平面 $(ct,x)$ の「双曲線に沿った回転」であり、$\tanh\varphi=v/c$ で定まる ラピディティ $\varphi$ を使うと、同じ向きの boost の合成はラピディティの和になる。そこから速度の合成則 $\frac{u+w}{1+uw/c^2}$ が出て、光より遅い速度どうしを合成しても光の速さを超えないことが分かる。
逆に、$x$ 軸の向きに動く観測者への座標変換で、軸の向きを保ち（下の「標準配置」）、光の信号を光の信号に写し、運動の向きと垂直な長さを変えないものは、boost に限られる。この記事では、boost の基本性質、2 次元の Lorentz 変換の分類、光の信号を保つ変換が boost になるという導出、任意の向きの boost の式を示す。一方、向きの異なる 2 つの boost の合成は boost ではない。

結果	内容
thm-lor-boost	boost は Lorentz 変換で、同じ向きの合成はラピディティの和、速度の合成則
thm-lor-2d	2 次元の Lorentz 変換は boost と 2 つの反転の組合せで尽きる
thm-lor-derivation	光の信号を保つ標準配置の変換は boost の正の定数倍。相反性と等方性で定数は $1$
prop-lor-general	任意の向きの速度 $\boldsymbol v$ の boost の式
ex-lor-counterexamples	条件を 1 つずつ外した反例（Galilei 変換、尺度の付いた変換、向きの異なる boost の合成など）

定義

以下、$c>0$ を光の速さとし、事象の座標を $X=(x^0,x^1,x^2,x^3)=(ct,x,y,z)\in\mathbb{R}^4$ と書く（時間を長さの単位で測るため $x^0=ct$ とおく）。$e_0,\dots,e_3$ を標準基底とし、$\mathbb{R}^4$ に対称双線形形式
$$ \langle X,Y\rangle:=-x^0y^0+x^1y^1+x^2y^2+x^3y^3={}^{t}X\eta Y,\qquad\eta:=\operatorname{diag}(-1,1,1,1) $$
を考える。これは時間の座標を最初に書いた 4 次元の Minkowski空間である（その記事は時間の座標を最後に書くが、座標の順を入れ替えれば同じものである）。$0$ でない $X$ は、$\langle X,X\rangle< 0$ のとき時間的、$=0$ のとき光的、$>0$ のとき空間的という。光的なベクトルは、光が $\Delta t$ の間に距離 $c|\Delta t|$ だけ進むことを表す。

Lorentz 変換

線形写像 $\Lambda\colon\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^4$ が、すべての $X,Y$ について $\langle\Lambda X,\Lambda Y\rangle=\langle X,Y\rangle$ を満たすとき、すなわち行列で ${}^{t}\Lambda\,\eta\,\Lambda=\eta$ を満たすとき、$\Lambda$ を Lorentz 変換 という。Lorentz 変換の全体は群をなし、これを Lorentz 群 $\mathrm{O}(1,3)$ と書く。$\Lambda$ の $(0,0)$ 成分が正（このとき $1$ 以上になる）のものを順時（orthochronous）という。

2 つの事象の座標の差 $\Delta X$ について $\langle\Delta X,\Delta X\rangle=-c^2\Delta t^2+|\Delta\boldsymbol{x}|^2$ であり、Lorentz 変換はこの量を変えない。$\langle\ ,\ \rangle$ は $\langle X,X\rangle$ の値から $\langle X,Y\rangle=\frac14(\langle X+Y,X+Y\rangle-\langle X-Y,X-Y\rangle)$ と決まるので、「すべての $X$ で $\langle\Lambda X,\Lambda X\rangle=\langle X,X\rangle$」と言っても同じである。順時であることは、未来向きの時間的なベクトルを未来向きに写すことと同値である（Minkowski空間の命題「Lorentz 変換と時間の向き」の 3。座標の順を読み替える）。この群は Lee18（p. 67）の $\mathrm{O}(3,1)$ と、時間の座標の位置が違うだけで同じものである。
$\varphi\in\mathbb{R}$ に対し、
$$ L(\varphi):=\begin{pmatrix}\cosh\varphi&-\sinh\varphi&0&0\\ -\sinh\varphi&\cosh\varphi&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\end{pmatrix} $$
とおく。$|v|< c$ のとき $\beta:=v/c$、$\gamma:=1/\sqrt{1-\beta^2}$、$\varphi(v):=\operatorname{artanh}\beta$ とおくと $\cosh\varphi(v)=\gamma$、$\sinh\varphi(v)=\beta\gamma$ であり、$B(v):=L(\varphi(v))$ は冒頭の式
$$ ct'=\gamma(ct-\beta x),\qquad x'=\gamma(x-\beta\,ct),\qquad y'=y,\qquad z'=z $$
を与える。$B(v)$ を $x$ 方向の速度 $v$ の boost、$\varphi(v)$ をその ラピディティ（rapidity）という。$X'=B(v)X$ は、$x$ 軸の向きに速さ $v$ で動く観測者が、時刻 $0$ に原点が重なるようにとった座標である。実際、その観測者の原点 $(ct,x)=(ct,vt)$ は $x'=\gamma(vt-vt)=0$ に写る。

直感

Euclid 平面の回転は $x^2+y^2$ を保ち、点を円に沿って動かす。boost は $(ct)^2-x^2$ を保ち、点を双曲線 $(ct)^2-x^2=\text{一定}$ に沿って動かす。回転の $\cos$・$\sin$ が $\cosh$・$\sinh$ に替わり、回転角に当たるのがラピディティである。回転角が足し算で合成されるのと同じく、同じ向きの boost のラピディティは足し算で合成される。しかし速度そのものは $v=c\tanh\varphi$ なので足し算にならず、$\tanh$ の値が $1$ を超えないことが「光の速さを超えられない」ことにあたる。

例

速さ 3c/5 の boost

$v=\frac35c$ では $\beta=\frac35$、$\gamma=\frac54$、$\beta\gamma=\frac34$ で、ラピディティは $\varphi=\operatorname{artanh}\frac35=\frac12\log\frac{1+3/5}{1-3/5}=\log2$ である（実際 $\cosh(\log2)=\frac{2+1/2}2=\frac54$）。boost は
$$ ct'=\frac{5\,ct-3x}4,\qquad x'=\frac{5x-3\,ct}4 $$
である。事象 $(ct,x)=(5,3)$ は $(ct',x')=(4,0)$ に写り、$-5^2+3^2=-16=-4^2+0^2$ と量が保たれている。この事象は動く観測者の原点で起こり、その観測者の時計では $ct'=4$、静止した座標では $ct=5$ で、時間が $\gamma=\frac54$ 倍に延びて見える（特殊相対論の命題「運動学の 3 つの効果」の 2）。速さ $\frac35c$ の boost を 2 回続けるとラピディティは $2\log2$ で、速さは $c\tanh(2\log2)=c\cdot\frac{16-1}{16+1}=\frac{15}{17}c$ である（$\frac65c$ にはならない）。

回転と反転

$R\in\mathrm{O}(3)$（3 次の直交行列）に対し $\operatorname{diag}(1,R)$ は Lorentz 変換である（時間の座標を変えず、空間の長さを保つ）。
空間の反転 $P:=\operatorname{diag}(1,-1,-1,-1)$ と時間の反転 $T:=\operatorname{diag}(-1,1,1,1)$ も Lorentz 変換である。$T$ は順時でない。
Lorentz 変換の正の定数倍 $\lambda\Lambda$（$\lambda\ne1$）は $\langle\ ,\ \rangle$ を $\lambda^2$ 倍するので Lorentz 変換ではないが、光的なベクトルを光的なベクトルに写す。

主定理

boost の合成と速度の合成則

boostの基本性質

すべての $\varphi$ について $L(\varphi)$ は順時の Lorentz 変換で、$\det L(\varphi)=1$ である。
$L(\varphi)L(\psi)=L(\varphi+\psi)$、$L(\varphi)^{-1}=L(-\varphi)$ である。
$|u|,|w|< c$ のとき
$$ B(u)\,B(w)=B(u\oplus w),\qquad u\oplus w:=\frac{u+w}{1+uw/c^2} $$
であり、$|u\oplus w|< c$ である。特に $B(v)^{-1}=B(-v)$ である。

双曲線関数の加法定理

1：$L(\varphi)$ の左上の $2\times2$ の部分を $A$ とし、$\eta_2:=\operatorname{diag}(-1,1)$ とする。${}^{t}A\eta_2A$ の成分は、$\cosh^2\varphi-\sinh^2\varphi=1$ を使って
$$ (0,0)：-\cosh^2\varphi+\sinh^2\varphi=-1,\quad(0,1)：\cosh\varphi\sinh\varphi-\sinh\varphi\cosh\varphi=0,\quad(1,1)：-\sinh^2\varphi+\cosh^2\varphi=1 $$
であり、${}^{t}A\eta_2A=\eta_2$ である。右下の単位行列の部分は $y,z$ を変えないので、${}^{t}L(\varphi)\eta L(\varphi)=\eta$ である。$(0,0)$ 成分は $\cosh\varphi\ge1>0$、行列式は $\cosh^2\varphi-\sinh^2\varphi=1$ である。
2：左上の部分の積は、加法定理 $\cosh(\varphi+\psi)=\cosh\varphi\cosh\psi+\sinh\varphi\sinh\psi$、$\sinh(\varphi+\psi)=\sinh\varphi\cosh\psi+\cosh\varphi\sinh\psi$ により
$$ \begin{pmatrix}\cosh\varphi&-\sinh\varphi\\ -\sinh\varphi&\cosh\varphi\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\cosh\psi&-\sinh\psi\\ -\sinh\psi&\cosh\psi\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cosh(\varphi+\psi)&-\sinh(\varphi+\psi)\\ -\sinh(\varphi+\psi)&\cosh(\varphi+\psi)\end{pmatrix} $$
である。$\psi=-\varphi$ とおけば $L(\varphi)L(-\varphi)=L(0)=I$ である。
3：$\varphi=\varphi(u)$、$\psi=\varphi(w)$ とすると 2 から $B(u)B(w)=L(\varphi+\psi)$ である。$\tanh$ の加法定理から
$$ \tanh(\varphi+\psi)=\frac{\tanh\varphi+\tanh\psi}{1+\tanh\varphi\tanh\psi}=\frac{u/c+w/c}{1+uw/c^2}=\frac{u\oplus w}c $$
である。$\tanh$ の値は $(-1,1)$ に入るので $|u\oplus w|< c$ であり、$\varphi+\psi=\varphi(u\oplus w)$、すなわち $L(\varphi+\psi)=B(u\oplus w)$ である。$w=-u$ なら $u\oplus w=0$ で $B(0)=I$ である。$\square$

3 の物理的な意味：観測者 $S'$ が $S$ に対して速度 $w$ で、$S''$ が $S'$ に対して速度 $u$ で、どれも $x$ 軸の向きに動いているとする。座標は $X'=B(w)X$、$X''=B(u)X'$ なので $X''=B(u)B(w)X=B(u\oplus w)X$ であり、$S''$ は $S$ に対して速度 $u\oplus w$ で動いている。$c$ に比べて $u,w$ が小さければ $u\oplus w\approx u+w$ で、Newton 力学の速度の足し算に戻る。$u=c$（光の信号）を形式的に代入すると $u\oplus w=c$ で、光の速さはどの観測者から見ても $c$ である。

2 次元の Lorentz 変換

$y,z$ を省いた平面 $\mathbb{R}^2=\{(x^0,x^1)\}$ に $\langle X,Y\rangle_2:=-x^0y^0+x^1y^1$ を考え、これを保つ線形変換の群を $\mathrm{O}(1,1)$ と書く。$L(\varphi)$ の左上の $2\times2$ の部分も同じ記号 $L(\varphi)$ で表し、$P_1:=\operatorname{diag}(1,-1)$、$T_1:=\operatorname{diag}(-1,1)$ とおく。

2次元のLorentz変換の分類

$\Lambda\in\mathrm{O}(1,1)$ は、ただ 1 つの $\varphi\in\mathbb{R}$ と $\varepsilon_0,\varepsilon_1\in\{1,-1\}$ によって
$$ \Lambda=L(\varphi)\operatorname{diag}(\varepsilon_0,\varepsilon_1) $$
と書ける。$\varepsilon_0$ は $\Lambda$ の $(0,0)$ 成分の符号、$\varepsilon_0\varepsilon_1$ は $\det\Lambda$ である。特に、$\Lambda e_0$ の $x^0$ 成分と $\Lambda e_1$ の $x^1$ 成分がともに正なら $\Lambda=L(\varphi)$ である。

列ベクトルを双曲線の上で決める

段 1（第 0 列）．$w:=\Lambda e_0$ は $\langle w,w\rangle_2=\langle e_0,e_0\rangle_2=-1$、すなわち $(w^0)^2-(w^1)^2=1$ を満たす。よって $|w^0|\ge1$ で、$\varepsilon_0:=w^0/|w^0|$ とおくと $\varepsilon_0w$ は双曲線 $(x^0)^2-(x^1)^2=1$ の $x^0>0$ の枝にある。この枝は $\varphi\mapsto(\cosh\varphi,-\sinh\varphi)$ で 1 対 1 に表される（$\sinh$ は $\mathbb{R}$ から $\mathbb{R}$ への全単射で、$x^0=\sqrt{1+(x^1)^2}$ は $x^1$ で決まる）。よって $w=\varepsilon_0(\cosh\varphi,-\sinh\varphi)$ となる $\varphi$ がただ 1 つある。
段 2（第 1 列）．$w':=\Lambda e_1$ は $\langle w,w'\rangle_2=0$、$\langle w',w'\rangle_2=1$ を満たす。$\langle w,w'\rangle_2=\varepsilon_0(-\cosh\varphi\,w'^0-\sinh\varphi\,w'^1)=0$ から $w'$ は $(-\sinh\varphi,\cosh\varphi)$ の実数倍で、$\langle(-\sinh\varphi,\cosh\varphi),(-\sinh\varphi,\cosh\varphi)\rangle_2=1$ なので $w'=\varepsilon_1(-\sinh\varphi,\cosh\varphi)$、$\varepsilon_1=\pm1$ である。
段 3．$L(\varphi)$ の第 0 列は $(\cosh\varphi,-\sinh\varphi)$、第 1 列は $(-\sinh\varphi,\cosh\varphi)$ なので、段 1・2 は $\Lambda=L(\varphi)\operatorname{diag}(\varepsilon_0,\varepsilon_1)$ を意味する。$(0,0)$ 成分は $\varepsilon_0\cosh\varphi$ で符号は $\varepsilon_0$、行列式は $\det L(\varphi)\cdot\varepsilon_0\varepsilon_1=\varepsilon_0\varepsilon_1$ である。最後の主張は、$\Lambda e_0$ の $x^0$ 成分 $\varepsilon_0\cosh\varphi$ と $\Lambda e_1$ の $x^1$ 成分 $\varepsilon_1\cosh\varphi$ の符号が $\varepsilon_0$、$\varepsilon_1$ であることによる。$\square$

$\operatorname{diag}(\varepsilon_0,\varepsilon_1)$ は $I$、$P_1$、$T_1$、$P_1T_1=-I$ の 4 通りで、$\mathrm{O}(1,1)$ は (順時か、行列式の符号) で 4 つに分かれる。4 次元の $\mathrm{O}(1,3)$ が同じく 4 つの連結成分をもつことは Minkowski空間の定理「Lorentz 群の連結成分」で示されている。

光の信号を保つ変換の導出

観測者 $S'$ が観測者 $S$ に対して $x$ 軸の向きに速度 $v$ で動き、時刻 $0$ に原点が重なるとする。$S$ の座標から $S'$ の座標への変換を $L$ とする。

標準配置

$v\in\mathbb{R}$ とする。線形写像 $L\colon\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^4$ が次の 3 つを満たすとき、$L$ は 速度 $v$ の標準配置 にあるという。

$S'$ の原点の世界線 $(ct,vt,0,0)$（$t\in\mathbb{R}$）を、$x^1=x^2=x^3=0$ の直線に写す。
$L$ は平面 $\{x^2=x^3=0\}$ をそれ自身に写し、正の数 $\alpha,\alpha'$ によって $Le_2=\alpha e_2$、$Le_3=\alpha'e_3$ である（$y$ 軸と $z$ 軸は向きを変えずに平行）。
$Le_0$ の $x^0$ 成分と $Le_1$ の $x^1$ 成分はどちらも正である（時間と $x$ 軸の向きを変えない）。

光の信号を保つ変換はboost

$L$ が速度 $v$ の標準配置にあり、光的なベクトルを光的なベクトルに写すとする。このとき $|v|< c$、$\alpha=\alpha'$ であり、$L=\alpha\,B(v)$ である。
さらに、各速度 $v$（$|v|< c$）に対して 1 の仮定を満たす変換 $L_v=\lambda(v)B(v)$ が定まっているとし、相反性 $L_{-v}L_v=I$ と 等方性 $\lambda(-v)=\lambda(v)$ を仮定する。このとき $\lambda(v)=1$、すなわち $L_v=B(v)$ である。

光的なベクトルの族を使う

段 1（記号）．標準配置の 2 から $Le_0=(a,b,0,0)$、$Le_1=(p,q,0,0)$ と書ける。
段 2（光的なベクトルの族）．$\theta\in\mathbb{R}$ について $X_\theta:=e_0+\cos\theta\,e_1+\sin\theta\,e_2$ は $\langle X_\theta,X_\theta\rangle=-1+\cos^2\theta+\sin^2\theta=0$ なので光的である。$LX_\theta=(a+p\cos\theta,\ b+q\cos\theta,\ \alpha\sin\theta,\ 0)$ も光的なので、$s:=\cos\theta$ とおいて $\sin^2\theta=1-s^2$ を使うと
$$ 0=-(a+ps)^2+(b+qs)^2+\alpha^2(1-s^2)=(-a^2+b^2+\alpha^2)+2(bq-ap)\,s+(q^2-p^2-\alpha^2)\,s^2 $$
が $-1\le s\le1$ のすべての $s$ で成り立つ。$s$ の 2 次以下の多項式が無限個の値で $0$ なので、係数はすべて $0$ であり
$$ a^2-b^2=\alpha^2,\qquad ap-bq=0,\qquad q^2-p^2=\alpha^2 $$
である。$e_2$ の代わりに $e_3$ を使った族 $e_0+\cos\theta\,e_1+\sin\theta\,e_3$ から、同じく $a^2-b^2=\alpha'^2$ を得る。よって $\alpha^2=\alpha'^2$ で、どちらも正なので $\alpha=\alpha'$ である。
段 3（Lorentz 変換になる）．$\Lambda:=\alpha^{-1}L$ とおく。段 2 の 3 式を $\alpha^2$ で割ると $\langle\Lambda e_0,\Lambda e_0\rangle=-1$、$\langle\Lambda e_0,\Lambda e_1\rangle=0$、$\langle\Lambda e_1,\Lambda e_1\rangle=1$ であり、$\Lambda e_2=e_2$、$\Lambda e_3=e_3$ と $\Lambda e_0,\Lambda e_1$ の第 2・第 3 成分が $0$ であることから、残りの基底の組でも $\langle\Lambda e_i,\Lambda e_j\rangle=\langle e_i,e_j\rangle$ である。双線形性から $\Lambda$ は Lorentz 変換であり、$(x^0,x^1)$ 平面への制限は $\mathrm{O}(1,1)$ の元である。標準配置の 3 と thm-lor-2d の最後の主張から、ある $\varphi$ で $\Lambda=L(\varphi)$ である。
段 4（速度との関係）．標準配置の 1 から、$L(ct,vt,0,0)$ の $x^1$ 成分 $\alpha(-\sinh\varphi\cdot ct+\cosh\varphi\cdot vt)$ はすべての $t$ で $0$ なので、$\tanh\varphi=v/c$ である。$\tanh$ の値は $(-1,1)$ に入るので $|v|< c$ であり、$\varphi=\varphi(v)$、$L=\alpha L(\varphi(v))=\alpha B(v)$ である。これで 1 が示された。
段 5（尺度の決定）．$\varphi(-v)=-\varphi(v)$ なので、thm-lor-boost の 2 から $B(-v)B(v)=I$ である。相反性から $I=L_{-v}L_v=\lambda(-v)\lambda(v)B(-v)B(v)=\lambda(-v)\lambda(v)I$、すなわち $\lambda(-v)\lambda(v)=1$ である。等方性と合わせて $\lambda(v)^2=1$ で、$\lambda(v)=\alpha>0$ から $\lambda(v)=1$ である。$\square$

1 の証明が示すとおり、光の信号を保つことと標準配置だけから「観測者は光より速く動けない」ことが従う。$\lambda=\alpha$ は運動に垂直な方向の長さの尺度であり、2 は「相反性と等方性があれば、運動に垂直な長さは変わらない」ことを言っている。特殊相対論では、座標の変換がアフィン写像であることを相対性原理として仮定し、光速度不変の原理からその線形部分が光の信号を保つことを導いている。

任意の向きの boost

任意の向きのboost

$\boldsymbol v\in\mathbb{R}^3$、$0< |\boldsymbol v|< c$ とし、$\boldsymbol s:=\boldsymbol v/|\boldsymbol v|$、$\beta:=|\boldsymbol v|/c$、$\gamma:=1/\sqrt{1-\beta^2}$ とする。$g\in\mathrm{SO}(3)$ を $ge_1=\boldsymbol s$ となるようにとり（$\mathbb{R}^3$ の標準基底も $e_1,e_2,e_3$ と書く）、$\hat g:=\operatorname{diag}(1,g)$ とおくと、$B(\boldsymbol v):=\hat g\,B(|\boldsymbol v|)\,\hat g^{-1}$ は $g$ のとり方によらず、$X=(ct,\boldsymbol x)$ を
$$ t'=\gamma\Bigl(t-\frac{\boldsymbol v\cdot\boldsymbol x}{c^2}\Bigr),\qquad\boldsymbol x'=\boldsymbol x+(\gamma-1)(\boldsymbol s\cdot\boldsymbol x)\,\boldsymbol s-\gamma\,\boldsymbol v\,t $$
に写す順時の Lorentz 変換である。その行列は対称行列
$$ B(\boldsymbol v)=\begin{pmatrix}\gamma&-\beta\gamma\,{}^{t}\boldsymbol s\\ -\beta\gamma\,\boldsymbol s&I_3+(\gamma-1)\,\boldsymbol s\,{}^{t}\boldsymbol s\end{pmatrix} $$
である。

速度に沿った成分と垂直な成分に分ける

要点：空間を速度の向きの成分と垂直な成分に分けると、速度の向きの成分と時刻には $x$ 方向の boost が働き、垂直な成分は変わらない。

詳しい証明を開く

$\boldsymbol x=(\boldsymbol s\cdot\boldsymbol x)\boldsymbol s+\boldsymbol x_\perp$（$\boldsymbol x_\perp\perp\boldsymbol s$）と分ける。$g^{-1}$ は内積を保ち $g^{-1}\boldsymbol s=e_1$ なので、$g^{-1}\boldsymbol x$ の第 1 成分は $e_1\cdot g^{-1}\boldsymbol x=\boldsymbol s\cdot\boldsymbol x$ で、$g^{-1}\boldsymbol x_\perp$ は $e_1$ と直交する。$B(|\boldsymbol v|)$ は $(x^0,x^1)$ を $(\gamma(x^0-\beta x^1),\gamma(x^1-\beta x^0))$ に写し、$e_1$ と直交する空間の成分を変えない。$\hat g$ で戻すと$$ct'=\gamma\bigl(ct-\beta\,\boldsymbol s\cdot\boldsymbol x\bigr),\qquad\boldsymbol x'=\gamma\bigl(\boldsymbol s\cdot\boldsymbol x-\beta\,ct\bigr)\boldsymbol s+\boldsymbol x_\perp$$である。$\boldsymbol x_\perp=\boldsymbol x-(\boldsymbol s\cdot\boldsymbol x)\boldsymbol s$、$\beta c\,\boldsymbol s=\boldsymbol v$ を代入すると主張の式になる。右辺は $\boldsymbol v$ だけで書けているので $g$ のとり方によらない。行列は式から読み取れ、対称である。$\hat g$ と $B(|\boldsymbol v|)$ は順時の Lorentz 変換なので（ex-lor-rotation-reflection の 1、thm-lor-boost の 1）、その積も順時の Lorentz 変換である（$(0,0)$ 成分は $\gamma>0$）。$\square$

$\boldsymbol v=ve_1$ なら $B(\boldsymbol v)=B(v)$ である（$v< 0$ でも、$\boldsymbol s=-e_1$ として式が一致する）。順時で行列式 $1$ の Lorentz 変換は、どれも空間の回転 $\operatorname{diag}(1,R)$ と boost $B(\boldsymbol v)$ の積に書ける（Minkowski空間の定理「Lorentz 群の連結成分」の 1、極分解の系「空間回転とブーストへの分解」。後者は符号の流儀が逆である）。

条件を外したときの反例

外した条件	反例	成り立たなくなること
光的なベクトルを光的なベクトルに写す	Galilei 変換 $G$：$t'=t$、$x'=x-vt$、$y'=y$、$z'=z$（$0< \lvert v\rvert< c$）	$L=\alpha B(v)$（thm-lor-derivation の 1）
標準配置の 3（$Le_0$ の時間成分が正）	$TB(v)$	$L=\alpha B(v)$（thm-lor-derivation の 1）
等方性 $\lambda(-v)=\lambda(v)$	$L_v=e^{\kappa v}B(v)$（$\kappa\ne0$）	$\lambda(v)=1$（thm-lor-derivation の 2）
相反性 $L_{-v}L_v=I$	$L_v=(1+v^2/c^2)\,B(v)$	$\lambda(v)=1$（thm-lor-derivation の 2）
2 つの boost の向きが同じ	$x$ 方向の boost と $y$ 方向の boost の積	積が boost であること（thm-lor-boost の 2・3）

表の反例の確かめ

各行は、その行で引く結果の仮定のうち、表の左の条件だけを満たさない。

各行の確かめを開く

1 行目：$G$ は $(ct,vt,0,0)$ を $(ct,0,0,0)$ に写し、$Ge_2=e_2$、$Ge_3=e_3$、$Ge_0=e_0-\frac vce_1$ の時間成分は $1$、$Ge_1=e_1$ なので、標準配置の 1〜3 を満たす。光的な $e_0+e_1$ は $\bigl(1,1-\frac vc,0,0\bigr)$ に写り、$0< |v|< c$ から $1-\frac vc$ は $0$ と $2$ の間にあって $1$ でないので、$-1+(1-\frac vc)^2\ne0$ であり、像は光的でない。$G$ の $(0,0)$ 成分と $(1,1)$ 成分はともに $1$ で、$\alpha B(v)$ の形なら両方 $\alpha\gamma$、$(0,1)$ 成分 $-\alpha\beta\gamma$ は $0$ でないが、$G$ の $(0,1)$ 成分は $0$ なので、$G$ はこの形でない。

2 行目：$TB(v)$（$T=\operatorname{diag}(-1,1,1,1)$、$v\ne0$）は Lorentz 変換なので光的なベクトルを光的なベクトルに写す。$T$ は $x^1,x^2,x^3$ を変えないので標準配置の 1・2 と、3 のうち「$Le_1$ の $x^1$ 成分 $\gamma$ が正」を満たすが、$Le_0$ の時間成分は $-\gamma< 0$ である。$\alpha B(v)$ の $(0,0)$ 成分は $\alpha\gamma>0$ なので、$TB(v)$ はこの形でない。

3 行目：$L_v=e^{\kappa v}B(v)$ は Lorentz 変換の正の定数倍なので光的なベクトルを光的なベクトルに写し、標準配置の 1〜3 を満たす（$\alpha=\alpha'=e^{\kappa v}>0$）。$L_{-v}L_v=e^{-\kappa v}e^{\kappa v}B(-v)B(v)=I$ なので相反性も満たす。しかし $v\ne0$ なら $\lambda(v)=e^{\kappa v}\ne1$ で、$\lambda(-v)=e^{-\kappa v}\ne\lambda(v)$ である。

4 行目：$\lambda(v)=1+v^2/c^2$ は $\lambda(-v)=\lambda(v)$ を満たし、3 行目と同じく 1 の仮定を満たす。$L_{-v}L_v=(1+v^2/c^2)^2I\ne I$（$v\ne0$）なので相反性を満たさず、$\lambda(v)\ne1$ である。

5 行目：$c=1$ とし、$y,z$ のうち $z$ を省いて $(x^0,x^1,x^2)$ で書く。$a:=\cosh\varphi$、$b:=\sinh\varphi$（$\varphi\ne0$）とし、$x$ 方向と $y$ 方向の boost を$$B_1:=\begin{pmatrix}a&-b&0\\ -b&a&0\\ 0&0&1\end{pmatrix},\qquad B_2:=\begin{pmatrix}a&0&-b\\ 0&1&0\\ -b&0&a\end{pmatrix}$$とすると$$B_1B_2=\begin{pmatrix}a^2&-b&-ab\\ -ab&a&b^2\\ -b&0&a\end{pmatrix}$$である。$(1,2)$ 成分 $b^2$ と $(2,1)$ 成分 $0$ が異なるので、$B_1B_2$ は対称行列でない。prop-lor-general によりどの向きの boost も対称行列なので、$B_1B_2$ は boost ではない。thm-lor-boost の 2・3 の「boost の積は boost」は同じ向きの boost についての主張である。$B_1B_2$ は、ある boost と空間の回転の積に書ける（prop-lor-general の後の段落）。この回転は Wigner 回転（Thomas 回転）と呼ばれる。

補足

Galilei 変換との関係と Poincaré 変換

$B(v)$ を $(t,x)$ で書くと $t'=\gamma(t-vx/c^2)$、$x'=\gamma(x-vt)$ であり、$v$ を固定して $c\to\infty$ とすると $\gamma\to1$、$vx/c^2\to0$ なので、Galilei 変換 $t'=t$、$x'=x-vt$ に近づく。Galilei 変換は時間差 $\Delta t$ と同時刻の距離を保ち、Lorentz 変換は $-c^2\Delta t^2+|\Delta\boldsymbol x|^2$ を保つ。原点が重ならない観測者の間の変換は、Lorentz 変換に平行移動を合わせた $X\mapsto\Lambda X+a$ で、これを Poincaré 変換という（Minkowski空間）。順時で行列式 $1$ の Lorentz 変換の群 $\mathrm{SO}^+(1,3)$ は $\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$ によって二重に被覆され（SL(2,C)とSO^+(1,3)）、これが相対論的な量子力学でスピンを扱う出発点になる。