零点の位数

$f(z)=\sum_{k\geq0}a_k(z-p)^k$ を $|z-p|< r$ で収束する Taylor 展開とする。Taylor 係数は $a_k=f^{(k)}(p)/k!$ で与えられるから（出典 Ahl79 Chapter 4 §3）、1 と 3 は定義から直ちに同値である。
1 ⇒ 2：$a_0=\cdots=a_{m-1}=0$、$a_m\neq0$ とする。$h(z):=\sum_{k\geq m}a_k(z-p)^{k-m}$ とおく。この冪級数は $|z-p|< r$ で収束する（$z\neq p$ なら $(z-p)^{-m}\sum_{k\geq m}a_k(z-p)^k$ に等しく、$z=p$ では値 $a_m$ をとる）から、$h$ は $|z-p|< r$ 上の正則関数であり、$h(p)=a_m\neq0$、$f(z)=(z-p)^mh(z)$ が成り立つ。
2 ⇒ 1：$h(z)=\sum_{k\geq0}b_k(z-p)^k$（$b_0=h(p)\neq0$）を $h$ の Taylor 展開とすると、$f(z)=(z-p)^mh(z)=\sum_{k\geq0}b_k(z-p)^{k+m}$ は $f$ の $p$ を中心とする冪級数展開であり、冪級数展開の一意性から $a_k=0$（$k< m$）、$a_m=b_0\neq0$ である。ゆえに $\mathrm{ord}_p(f)=m$ である。

$z,z'$ を $x$ を中心とする 2 つの局所座標とし、座標変換 を $\psi:=z\circ z'^{-1}$ とおく。$\psi$ は $0$ の近傍から $0$ の近傍への 双正則写像 で $\psi(0)=0$、$\psi'(0)\neq0$ である。$m:=\mathrm{ord}_0(f\circ z^{-1})$ とおくと、prop-order-of-zero-factorization により $f\circ z^{-1}(u)=u^mh(u)$、$h(0)\neq0$ と書ける。また $\psi(0)=0$ より、同じ命題（$m=1$ の場合）により $\psi(u')=u'\eta(u')$、$\eta(0)=\psi'(0)\neq0$ と書ける。したがって
$$f\circ z'^{-1}(u')=f\circ z^{-1}\bigl(\psi(u')\bigr)=\psi(u')^m\,h(\psi(u'))=u'^m\Bigl[\eta(u')^m\,h(\psi(u'))\Bigr]$$
であり、角括弧内は $0$ の近傍で正則で、$u'=0$ での値 $\eta(0)^mh(0)$ は $0$ でない。再び prop-order-of-zero-factorization により $\mathrm{ord}_0(f\circ z'^{-1})=m$ である。

$m:=\mathrm{ord}_p(f)$ は有限で $m\geq1$ である。prop-order-of-zero-factorization により $p$ のある近傍 $V_0$ 上で $f(z)=(z-p)^mh(z)$、$h$ は正則、$h(p)\neq0$ と書ける。$h$ は連続（連続写像）だから、$p$ のある近傍 $V\subset V_0$ 上で $h\neq0$ である。$z\in V\setminus\{p\}$ に対し $(z-p)^m\neq0$ かつ $h(z)\neq0$ なので $f(z)\neq0$ である。ゆえに $V$ 内の $f$ の零点は $p$ のみである。Riemann 面の場合は、$x$ を中心とする局所座標 $z$ をとって $f\circ z^{-1}$ に上の議論を適用すればよい。

1 ⇒ 2：Laurent 展開 $f\circ z^{-1}(z)=\sum_{k\geq-n}a_kz^k$（$a_{-n}\neq0$）に対し $h(z):=\sum_{k\geq-n}a_kz^{k+n}=\sum_{j\geq0}a_{j-n}z^j$ とおく。これは $0<|z|< r$ で $z^nf\circ z^{-1}(z)$ に等しい収束冪級数であり、$|z|< r$ 上の正則関数を定め、$h(0)=a_{-n}\neq0$ である。
2 ⇒ 3：$h(0)\neq0$ より $0$ のある近傍で $h\neq0$ であり、そこで $1/f\circ z^{-1}(z)=z^n\cdot(1/h(z))$、$1/h$ は正則で $(1/h)(0)\neq0$ である。右辺は $z=0$ で値 $0$ をとる正則関数だから、これが $1/f$ の $x$ への正則な拡張であり、prop-order-of-zero-factorization により $1/f$ の $x$ における零点の位数は $n$ である。
3 ⇒ 1：prop-order-of-zero-factorization により $1/f\circ z^{-1}(z)=z^ng(z)$、$g(0)\neq0$ と書け、$0$ の近傍で $f\circ z^{-1}(z)=z^{-n}(1/g(z))$ である。$1/g$ を Taylor 展開して $z^{-n}$ を掛ければ、最低次数 $-n$（係数 $1/g(0)\neq0$）の Laurent 展開が得られる。Laurent 展開の一意性（出典 Ahl79 Chapter 5 §1）により極の位数は $n$ である。
局所座標によらないことは、3 の言い換えと prop-order-of-zero-well-defined から従う。

1. $F:=w\circ f\circ z^{-1}$ とおく。$z$ を取り替えることは $F$ を右から座標変換 $\psi$（$\psi(0)=0$、$\psi'(0)\neq0$）と合成することであり、$\mathrm{ord}_0(F\circ\psi)=\mathrm{ord}_0(F)$ は prop-order-of-zero-well-defined の証明そのものである。$w$ を $w'=\chi\circ w$（$\chi$ は $0$ の近傍の双正則写像、$\chi(0)=0$）に取り替えると $F$ は $\chi\circ F$ に変わる。$e:=\mathrm{ord}_0(F)$ とすると prop-order-of-zero-factorization により $F(z)=z^eH(z)$、$H(0)\neq0$、また $\chi(u)=u\,\theta(u)$、$\theta(0)=\chi'(0)\neq0$ と書けるので
   $$\chi(F(z))=F(z)\,\theta(F(z))=z^e\Bigl[H(z)\,\theta(F(z))\Bigr]$$
   となり、角括弧内は $z=0$ で値 $H(0)\theta(0)\neq0$ をとる正則関数である。ゆえに $\mathrm{ord}_0(\chi\circ F)=e$ である。
2. $f(x)=0$ のとき、$0\in\mathbb{P}^1$ のまわりの局所座標として恒等座標 $w=\mathrm{id}$ をとれば $F=f\circ z^{-1}$ であり、$e_x(f)=\mathrm{ord}_0(f\circ z^{-1})=\mathrm{ord}_x(f)$ である。$f(x)=\infty$ のとき、$\infty$ のまわりの局所座標として $w=1/\cdot$ をとれば $F=1/(f\circ z^{-1})$ であり、$e_x(f)=\mathrm{ord}_0(1/f\circ z^{-1})$ は prop-order-of-zero-pole-reciprocal により $f$ の $x$ における極の位数に等しい。
3. $x_0\in X$ を任意にとり、局所座標 $z$（$z(x_0)=0$）、$w$（$w(f(x_0))=0$）による座標表示 $F=w\circ f\circ z^{-1}$ を $0$ を中心とする開円板 $D$ 上で考える。$D$ 内の点 $z$ に対応する点 $x=z^{-1}(z)$ における分岐指数は、$z$ を平行移動した座標 $z-z(x)$ と $w$ を平行移動した座標 $w-w(f(x))$ で計算でき、1 により $e_x(f)=\mathrm{ord}_{z(x)}\bigl(F-F(z(x))\bigr)$ である。prop-order-of-zero-factorization の条件 3 により、これが $2$ 以上であることと $F'(z(x))=0$ とは同値である。$F$ は $D$ 上で定数でない（$f$ が定数でなく $X$ が連結なので、一致の定理 により $f$ はどの開集合上でも定数でない）から、$F'$ は $D$ 上恒等的に $0$ ではなく（$F'\equiv0$ なら $F$ は円板 $D$ 上で定数である）、$F'$ の零点は prop-order-of-zero-isolated により孤立している。ゆえに $x_0$ のある近傍には $x_0$ 以外の分岐点がない。

$x$ を中心とする局所座標 $z$ をとり、$m:=\mathrm{ord}_x(f)$、$n:=\mathrm{ord}_x(g)$ とおく。prop-order-of-zero-factorization と prop-order-of-zero-pole-reciprocal、および def-order-of-zero-general により、$m,n$ の符号によらず $0$ のある近傍で $f\circ z^{-1}(z)=z^mu(z)$、$g\circ z^{-1}(z)=z^nv(z)$（$u,v$ は正則で $u(0)\neq0$、$v(0)\neq0$）と書ける。逆に有理型関数が $0$ の近傍で $z^ku(z)$（$u(0)\neq0$）と書けるならその $x$ における位数は $k$ である（$k\geq0$ なら prop-order-of-zero-factorization、$k<0$ なら prop-order-of-zero-pole-reciprocal）。

1. $fg\circ z^{-1}(z)=z^{m+n}u(z)v(z)$ で $u(0)v(0)\neq0$ だから $\mathrm{ord}_x(fg)=m+n$ である。$f\cdot(1/f)=1$ と $\mathrm{ord}_x(1)=0$ から $\mathrm{ord}_x(1/f)=-m$ が従う。
2. $m\leq n$ として一般性を失わない。$(f+g)\circ z^{-1}(z)=z^m\bigl(u(z)+z^{n-m}v(z)\bigr)$ である。$m< n$ のときは括弧内の $z=0$ での値は $u(0)\neq0$ なので $\mathrm{ord}_x(f+g)=m=\min\{m,n\}$ である。$m=n$ のときは括弧内は $u+v$ で、$0$ の近傍で恒等的に $0$ でない（$f+g\neq0$ と 一致の定理）から、その位数 $k\geq0$ をとれば $\mathrm{ord}_x(f+g)=m+k\geq m$ である。