佐藤超関数

$\Omega=\bigcup_i\Omega_i$ とし、$g_i\in\mathcal B(\Omega_i)$ が $\Omega_i\cap\Omega_j$ の上で一致するとする。$\mathbb R$ の開集合の族は可算個の部分族で同じ和集合をおおえるので、まず $i=1,2,\dots$ が可算個の場合を考える。$g_i=[F_i]$（$F_i\in\mathcal O(\mathbb C\setminus\mathbb R)$）と書くと、仮定は $F_i-F_j$ が $g_{ij}\in\mathcal O(W_i\cap W_j)$ に延びることである。$\mathbb C\setminus\mathbb R$ の上で $(F_i-F_j)+(F_j-F_k)+(F_k-F_i)=0$ なので、稠密性から $W_i\cap W_j\cap W_k$ の上で $g_{ij}+g_{jk}+g_{ki}=0$ である。lem-hf-cousin により $h_i\in\mathcal O(W_i)$ があって $g_{ij}=h_j-h_i$ となる。$\mathbb C\setminus\mathbb R$ の上で $F_i+h_i=F_j+h_j$ なので、これを $F$ とおくと $F-F_i=h_i\in\mathcal O(W_i)$、すなわち $g:=[F]\in\mathcal B(\Omega)$ は $g|_{\Omega_i}=g_i$ を満たす。一般の族 $(\Omega_i)_{i\in I}$ では、可算な部分族 $(\Omega_j)_{j\in J}$ で上の $g$ を作る。$i\in I$ について、$\Omega_i$ は $\Omega_i\cap\Omega_j$（$j\in J$）でおおわれ、その上で $g|_{\Omega_i}$ と $g_i$ はともに $g_j$ に等しいので、局所性から $g|_{\Omega_i}=g_i$ である。$\square$

$K:=\operatorname{supp}u$ とする。

1． $z_0\notin K$、$d:=\operatorname{dist}(z_0,K)$ とし、$V:=\{t\in\mathbb R\mid\operatorname{dist}(t,K)< d/2\}$ とおく。$|z-z_0|< d/4$ のとき $t\in V$ と $z$ の距離は $d/4$ 以上である。$g_z(t):=1/(t-z)$ について $\partial_t^kg_z(t)=(-1)^kk!(t-z)^{-k-1}$ は $z$ について正則で、$t\in V$ について一様に有界なので、Cauchy の評価から差分商 $(\partial_t^kg_{z+h}-\partial_t^kg_z)/h$ は $h\to0$ で $\partial_t^k(\partial_zg_z)$ に $t\in V$ について一様に収束する。すなわち $z\mapsto g_z$ は $C^\infty(V)$ の値をとる関数として複素微分可能であり、$u$ が $C^\infty(V)$ の上で連続線形なので $\mathcal Cu$ は正則で $(\mathcal Cu)'(z)=\frac1{2\pi i}\langle u_t,(t-z)^{-2}\rangle$ となる。一方 $\mathcal C(u')(z)=-\frac1{2\pi i}\langle u_t,\partial_t(t-z)^{-1}\rangle=\frac1{2\pi i}\langle u_t,(t-z)^{-2}\rangle$ である。

2． $P_\varepsilon(s):=\frac1\pi\frac{\varepsilon}{s^2+\varepsilon^2}$（Poisson 核）とおくと、$\frac1{t-x-i\varepsilon}-\frac1{t-x+i\varepsilon}=\frac{2i\varepsilon}{(t-x)^2+\varepsilon^2}$ から $\mathcal Cu(x+i\varepsilon)-\mathcal Cu(x-i\varepsilon)=\langle u_t,P_\varepsilon(t-x)\rangle$ である。$x\mapsto P_\varepsilon(\cdot-x)\varphi(x)$ はコンパクトな台をもつ $C^\infty(\mathbb R)$ の値の連続関数なので、その積分は Riemann 和の $C^\infty(\mathbb R)$ での極限であり、$u$ の連続性から積分と $u$ の作用は交換する。よって左辺の積分は $\langle u,P_\varepsilon*\varphi\rangle$ に等しい。$P_\varepsilon\ge0$、$\int P_\varepsilon=1$ で、$\delta>0$ を固定すると $\int_{|s|>\delta}P_\varepsilon\to0$ だから、一様連続で有界な $\varphi^{(k)}$ について $(P_\varepsilon*\varphi)^{(k)}=P_\varepsilon*\varphi^{(k)}\to\varphi^{(k)}$ は $\mathbb R$ の上で一様である。すなわち $P_\varepsilon*\varphi\to\varphi$ は $C^\infty(\mathbb R)$ で収束し、$\langle u,P_\varepsilon*\varphi\rangle\to\langle u,\varphi\rangle$ である。

3． 線形性は明らか。$\mathcal Cu$ は $\mathbb C\setminus K$ で正則なので、$\iota(u)$ の $\mathbb R\setminus K$ への制限は $0$ であり、$\operatorname{supp}\iota(u)\subset K$。逆に開集合 $W\subset\mathbb R$ の上で $\iota(u)|_W=0$ とすると、$\mathcal Cu$ は $\mathbb C\setminus(\mathbb R\setminus W)$ の上の正則関数 $G$ に延びる。$\varphi\in\mathcal D(W)$ について、$\operatorname{supp}\varphi$ の近くで $G$ は連続なので $G(x+i\varepsilon)-G(x-i\varepsilon)\to0$ が $x\in\operatorname{supp}\varphi$ について一様であり、2 により $\langle u,\varphi\rangle=0$。よって $u|_W=0$ で、$\operatorname{supp}u\subset\operatorname{supp}\iota(u)$。$W=\mathbb R$ とすれば単射性になる。微分との交換は 1 から出る。

4． $x_0\in W$ をとり、$\tilde f$ が閉長方形 $R:=[a,b]\times[-\eta,0]$（$a< x_0< b$、$[a,b]\subset W$）の近傍で正則になるようにする。$\gamma_-$ を $a\to a-i\eta\to b-i\eta\to b$ の折れ線とし、$G(z):=\frac1{2\pi i}\int_{\gamma_-}\frac{\tilde f(t)}{t-z}dt$、$r(z):=\frac1{2\pi i}\int_{\mathbb R\setminus[a,b]}\frac{f(t)}{t-z}dt$ とおく。$G$ は $\gamma_-$ の外で、$r$ は $\mathbb C\setminus(\mathbb R\setminus(a,b))$ で正則である。$[a,b]$ と $\gamma_-$ の逆向きをつないだ閉曲線は $R$ の境界を時計回りに 1 周するので、Cauchy の積分定理と積分公式から、$z$ が $R$ の外なら $\frac1{2\pi i}\int_a^b\frac{\tilde f(t)}{t-z}dt=G(z)$、$z$ が $R$ の内部なら $=G(z)-\tilde f(z)$ である。よって $x_0$ の近くで、上半分では $\mathcal Cf=G+r$、下半分では $\mathcal Cf=G+r-\tilde f$ であり、$\mathcal Cf+(1-\varepsilon)\tilde f=G+r$ は $x_0$ の近くで正則である。したがって $x_0$ の近くで $[\mathcal Cf]=-[(1-\varepsilon)\tilde f]=[\varepsilon\tilde f]-[\tilde f]=[\varepsilon\tilde f]$。層の局所性から $W$ の上で等しい。$\square$

$(\chi_j)$ を $\Omega$ の上の 1 の分割で、各 $\chi_j\in\mathcal D(\Omega)$ の台がコンパクトで、どのコンパクト集合とも有限個しか交わらないものとする。$\Omega$ の相対コンパクトな開集合 $W$（閉包が $\Omega$ に含まれコンパクト）について、$\operatorname{supp}\chi_j$ が $\overline W$ と交わる有限個の $j$ にわたる和 $g_W:=\sum_j\iota(\chi_ju)|_W$ を考える。他の $j$ の項は台が $W$ の外にあるので（thm-hf-cauchy の 3）$W$ の上で $0$ であり、$W\subset W'$ なら $g_{W'}|_W=g_W$ となる。$\Omega$ はそういう $W$ でおおわれるので、thm-hf-sheaf によって $g_W$ は $\iota_\Omega(u)\in\mathcal B(\Omega)$ に貼り合わさる。

別の 1 の分割 $(\psi_k)$ をとっても、$\chi_ju=\sum_k\psi_k\chi_ju$ は有限和なので $\iota(\chi_ju)=\sum_k\iota(\psi_k\chi_ju)$ であり、$j,k$ の和の順序を入れ替えれば同じ $g_W$ が得られる。よって $\iota_\Omega$ は分割によらない。$u$ の台がコンパクトなら $u=\sum_j\chi_ju$ は有限和で、$\iota_\Omega(u)=\iota(u)|_\Omega$ となる。一意性は、局所的に台のコンパクトな部分に分けられることと層の局所性から出る。制限との交換は次のようにわかる。$\chi:=\sum_j\chi_j$（$\operatorname{supp}\chi_j\cap\overline W\ne\emptyset$ の有限和）は $\overline W$ の上で $1$ なので $g_W=\iota(\chi u)\vert_W$ である。$\theta\in\mathcal D(\Omega)$ が $W$ の上で $1$ なら、$(\theta-\chi)u$ の台は $W$ と交わらないので、thm-hf-cauchy の 3 から $\iota_\Omega(u)\vert_W=\iota(\theta u)\vert_W$ となる。開集合 $\Omega'\subset\Omega$ と、$\Omega'$ で相対コンパクトな開集合 $W$ について $\theta\in\mathcal D(\Omega')$ をとれば、同じ式から $\iota_{\Omega'}(u\vert_{\Omega'})\vert_W=\iota(\theta u)\vert_W=\iota_\Omega(u)\vert_W$ であり、$\Omega'$ はそういう $W$ でおおわれるので、局所性から $\iota_\Omega(u)\vert_{\Omega'}=\iota_{\Omega'}(u\vert_{\Omega'})$ である。

単射性と台：$\iota_\Omega(u)|_W=0$ なら、$\varphi\in\mathcal D(W)$ について $\chi:=\sum_{j}\chi_j$（$\operatorname{supp}\chi_j\cap\overline W\ne\emptyset$ の有限和）は $W$ の上で $1$ で、$\iota(\chi u)|_W=g_W=0$ から thm-hf-cauchy の 3 により $\chi u$ は $W$ の上で $0$、すなわち $\langle u,\varphi\rangle=\langle\chi u,\varphi\rangle=0$ である。台を保つことも同じ議論から出る。微分との交換は $W$ の上で $\sum_j\chi_j'=0$ を使えば $\iota(u')$ と $\iota(u)'$ の $W$ への制限が一致することからわかる。$\square$