エタールコホモロジーのPoincaré双対性

$\alpha$ に対応する $\mathbb{Z}/\ell$ torsor を $\pi\colon Y\to X$ とする。$\ell$ は素数で $\alpha\ne0$ なので $Y$ は連結である。$G$ をその群、$\chi\colon G\to\mathbb{Z}/\ell$ を同型とする。$Y$ も固有で滑らかな連結曲線である。
$E=(\mathbb{Z}/\ell)^2$ に $G$ を $g(a,b)=(a+\chi(g)b,b)$ で作用させ、対応する層を $\mathcal{E}$ とすると、完全列 $0\to\mathbb{Z}/\ell\to\mathcal{E}\to\mathbb{Z}/\ell\to0$ を得る。$1$ の持ち上げ $(a,1)$ のなす層は $G$ が $a\mapsto a+\chi(g)$ で作用する torsor なので、$H^0(X,\mathbb{Z}/\ell)\to H^1(X,\mathbb{Z}/\ell)$ は $1$ を $\pm\alpha$ に送る。$\mu_\ell$ を掛けた完全列
$$ 0\to\mu_\ell\to\mathcal{E}(1)\to\mu_\ell\to0 $$
の連結準同型 $\delta$ は、カップ積と連結準同型の両立により、符号を除いて $\beta\mapsto\alpha\smile\beta$ である。したがって $\delta\colon H^1(X,\mu_\ell)\to H^2(X,\mu_\ell)$ が全射であることを示せばよい。
$e=(0,1)$ と $ge-e=(\chi(g),0)$ は $E$ を生成するので、$\mathbb{Z}/\ell[G]\to E$、$g\mapsto ge$ は全射である。その核を $K$ とする。$G$ は $\ell$ 群なので、$0$ でない有限 $\ell$ 加群には $0$ でない固定元があり、$K$ は商がすべて自明な $\mathbb{Z}/\ell$ であるフィルトレーションをもつ。よって $K$ の層に $\mu_\ell$ を掛けたものは $\mu_\ell$ の逐次拡大であり、prop-etale-pd-curve-cohomology によりその $H^3$ は $0$ である。したがって
$$ \mathbb{Z}/\ell\cong H^2(Y,\mu_\ell)=H^2(X,\pi_*\mu_\ell)\to H^2(X,\mathcal{E}(1)) $$
は全射で、$H^2(X,\mathcal{E}(1))$ の位数は $\ell$ 以下である。
一方、完全系列
$$ H^1(X,\mu_\ell)\xrightarrow{\delta}H^2(X,\mu_\ell)\xrightarrow{i}H^2(X,\mathcal{E}(1))\xrightarrow{p}H^2(X,\mu_\ell)\to H^3(X,\mu_\ell)=0 $$
で $p$ は位数 $\ell$ の群への全射なので、同型である。よって $i=0$ で、$\delta$ は全射である。$\square$

有限アーベル群 $A$ の双対を $A^*=\operatorname{Hom}(A,\mathbb{Q}/\mathbb{Z})$ と書く。$nA=0$ なら $A^*=\operatorname{Hom}(A,\mathbb{Z}/n)$ である。$\theta_n$ を使って $\psi^r_F\colon H^r(X,F^\vee(1))\to H^{2-r}(X,F)^*$ を定める。
段階 1：$F=\mathbb{Z}/\ell$。 $F^\vee(1)=\mu_\ell$ である。$r=0,2$ では prop-etale-pd-curve-cohomology により両辺は位数 $\ell$ の群で、対は積なので完全である。$r=1$ では lem-etale-pd-key により $H^1(X,\mathbb{Z}/\ell)\to H^1(X,\mu_\ell)^*$ は単射で、$\mu_\ell\cong\mathbb{Z}/\ell$ から両辺の位数は等しい。よって全単射で、$\psi^1_{\mathbb{Z}/\ell}$ も全単射である。
段階 2：$\ell$ 群で定数になる層。 $F$ を $\ell$ 冪捩れとし、群が $\ell$ 群である連結 Galois 被覆の上で定数になるとする。lem-etale-pd-key の証明と同じ理由で、部分層 $\mathbb{Z}/\ell\subset F$ があって商 $F''$ は短い。双対の完全列 $0\to F''^\vee(1)\to F^\vee(1)\to\mu_\ell\to0$ と $0\to\mathbb{Z}/\ell\to F\to F''\to0$ の長完全列を $\psi$ で結ぶと、カップ積と連結準同型の両立により図式は符号を除いて可換である。$F$ の長さの帰納法と五項補題により、$H^r(X,F)$ は有限で $r\ge3$ で $0$ であり、すべての $r$ で $\psi^r_F$ は同型である。
段階 3：$\ell$ 冪捩れの層。 $\pi\colon Y\to X$ を $F$ を定数にする連結 Galois 被覆、$G$ をその群、$H$ を $\ell$ Sylow 部分群とし、$\rho\colon Z=Y/H\to X$ とおく。$Z$ は固有で滑らかな連結曲線で、$\rho$ の次数 $m$ は $\ell$ と素であり、$\rho^*F$ は段階 2 の条件をみたす。(T1) により $\rho^*$ は単射なので、$H^r(X,F)$ は有限で $r\ge3$ で $0$ である。
$0\ne a\in H^r(X,F^\vee(1))$ とする。$\rho^*a\ne0$ なので、段階 2 により $\theta_{n,Z}(\rho^*a\smile b')\ne0$ となる $b'\in H^{2-r}(Z,\rho^*F)$ がある。(T3) と (T2) により
$$ \theta_{n,Z}(\rho^*a\smile b')=\theta_{n,X}\bigl(\operatorname{Tr}_\rho(\rho^*a\smile b')\bigr)=\theta_{n,X}\bigl(a\smile\operatorname{Tr}_\rho b'\bigr) $$
だから、$\psi^r_F$ は単射である。$F$ を $F^\vee(1)$ に替えて同じ議論をすると、$(F^\vee(1))^\vee(1)=F$ とカップ積の次数付き可換性から $H^{2-r}(X,F)\to H^r(X,F^\vee(1))^*$ も単射である。有限群なので両方とも全単射である。
段階 4：一般の $n$。 $F$ は $n$ を割る素数 $\ell$ についての $\ell$ 冪捩れ部分の直和で、異なる素数の部分どうしのカップ積は $0$ である。段階 3 から主張が従う。$\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ に値をとる対が完全であることは、$\operatorname{tr}_n$ に値をとる対が完全であることと同じである。$\square$

thm-etale-pd-curve を層 $F(1)$ に適用すると、$H^2(X,F(1))$ は $H^0(X,\mathcal{H}om(F,\mathbb{Z}/n))$ の双対である。後者は $\operatorname{Hom}(F_x,\mathbb{Z}/n)$ の $\pi_1$ 不変部分、すなわち $\operatorname{Hom}((F_x)_{\pi_1},\mathbb{Z}/n)$ である。有限 $\mathbb{Z}/n$ 加群の二重双対をとればよい。$\square$

prop-etale-pd-curve-cohomology から $H^r(X,\mu_{\ell^\nu})$ は階数 $1,2g,1$ の自由 $\mathbb{Z}/\ell^\nu$ 加群である。$\ell$ 乗写像 $\mu_{\ell^{\nu+1}}\to\mu_{\ell^\nu}$ の誘導する写像は、$H^1$ では $\operatorname{Pic}(X)[\ell^{\nu+1}]\to\operatorname{Pic}(X)[\ell^\nu]$ の $\ell$ 倍、$H^2$ では $\operatorname{Pic}(X)/\ell^{\nu+1}\to\operatorname{Pic}(X)/\ell^\nu$ の標準的な射影であり、$\operatorname{Pic}^0(X)$ は可除なのでどちらも全射である。$H^0$ でも全射である。よって極限は階数 $1,2g,1$ の自由加群で、$\ell^\nu$ で割ると有限段の群に戻る。$k$ は代数閉なので $\mu_{\ell^\nu}\cong\mathbb{Z}/\ell^\nu$ であり、$\mathbb{Z}_\ell$ 係数も同じである。対は跡写像の両立により極限をとれて、$\ell^\nu$ で割ると thm-etale-pd-curve の完全な対になるので、行列式が単数であり、完全である。$\square$

$f$ は $k$ 上の射なので、$\mu_{\ell^\nu}$ と $\mathbb{Z}/\ell^\nu$ の同一視は $f^*$ と両立する。可逆層 $L$ について $\deg f^*L=m\deg L$ だから、$\operatorname{tr}_n(f^*c)=m\operatorname{tr}_n(c)$ である。$f^*$ はカップ積を保つので第 1 の等式を得る。$A$ を $f^*$ の行列、$J$ を対の行列とすると ${}^tAJA=mJ$ で $J$ は可逆なので、$A$ は可逆で $A^{-1}=m^{-1}J^{-1}\,{}^tAJ$ である。よって $A^{-1}$ と $m^{-1}\,{}^tA$ は相似であり、$A$ の固有値を $\alpha_i$ とすると $\{\alpha_i^{-1}\}=\{m^{-1}\alpha_i\}$ が重複度こめて成り立つ。$\square$