Bombieri–Lang予想
概要
Bombieri–Lang予想（Bombieri–Lang conjecture）とは、代数体 $k$ 上の幾何的に整な一般型の多様体 $X$ で次元が正のものについて、$k$ 有理点の集合 $X(k)$ は $X$ の中で Zariski 稠密でない、という未解決の予想である。曲線の場合は種数 $2$ 以上の曲線についての Faltings の定理と同値で、アーベル多様体の部分多様体の場合も Faltings が証明したが、一般の場合は未解決である。一般型の曲面が有理点を無限にもつことはあるので、結論を「有限」に強めることはできない。Vojta 予想から従う。
前提知識: 小平次元, Faltingsの定理, 有理点, Zariski位相, 代数体
Bombieri–Lang予想（Bombieri–Lang conjecture）とは、代数体 $k$ 上の正の次元の一般型の多様体 $X$ について、$k$ 有理点の集合 $X(k)$ は $X$ の中で Zariski 稠密でない、という予想である。E. Bombieri と S. Lang がそれぞれ独立に提出した。未解決の予想であり、一般の場合は証明されていない。
曲線では、一般型であることは種数が $2$ 以上であることにあたり、Zariski 稠密でないことは有限であることにあたる。したがって曲線の場合の予想は、Mordell が予想し Faltings が証明した Faltingsの定理 そのものである。Bombieri–Lang 予想は、「曲線の幾何（種数）が有理点の多さを支配する」という見方を、標準層の正値性（小平次元）を通して高い次元へ広げたものである。高い次元では有理点が有限になるとは限らず、予想の結論も「有限」ではなく「Zariski 稠密でない」になっている。
この記事では次のことを示す。証明があるのは予想の特別な場合と、予想の言い換え・予想どうしの関係であり、予想そのものは証明しない。
| 問い | 答え |
|---|---|
| 予想は何を述べるか | 一般型なら有理点は Zariski 稠密でない（conj-bl-main）。強い形は例外集合の外で有限（conj-bl-strong） |
| 多様体を取り替えてよいか | 双有理な多様体のあいだで、予想の仮定も結論も変わらない（prop-bl-birational） |
| どこまで知られているか | 曲線（prop-bl-curves）、種数 $2$ 以上の曲線の積（prop-bl-products）、アーベル多様体の部分多様体（Faltings） |
| 結論を「有限」にできるか | できない。一般型の曲面が有理点を無限にもつことがある（ex-bl-fermat-quintic） |
| 仮定は外せるか | 一般型・代数体・正の次元のどれも外せない（反例の表） |
| ほかの予想とは | Vojta 予想から従う（prop-bl-vojta） |
定義
$k$ を体とする。$k$ 上の多様体とは $k$ 上の分離的で有限型のスキームのことで、幾何的に整とは $\bar k$ への基礎体の拡大 $X_{\bar k}$ が整スキームであることをいう。$k$ 上滑らかで射影的で幾何的に整な多様体を、Poo17 にならって nice と呼ぶ。$X(k)$ は $X$ の $k$ 有理点の集合で、閉点の集合として $X$ の部分集合とみる（有理点）。部分集合が $X$ の中で Zariski 稠密とは、その Zariski位相 での閉包が $X$ 全体になることをいう。
nice な多様体 $X$ の小平次元 $\kappa(X)$ は、$X_{\bar k}$ の小平次元（小平次元 の定義「小平次元」）と同じものとする。多重種数 $\dim_kH^0(X,\omega_X^{\otimes m})$ は基礎体の拡大で変わらないので、$\bar k$ に移さずに定義しても同じ値になる（Poo17 Proposition 9.1.2(b)、p. 258）。
$k$ を標数 $0$ の体、$X$ を $k$ 上の幾何的に整な多様体とする。$X$ と双有理同値な nice な多様体 $Y$ をとり、$\kappa(X):=\kappa(Y)$ とおく。$\kappa(X)=\dim X$ のとき、$X$ は一般型（of general type）であるという。
標数 $0$ では特異点の解消が知られているので、このような $Y$ は存在する。$\kappa(Y)$ が $Y$ の取り方によらないことは、nice な多様体の小平次元の双有理不変性（小平次元 の定理「小平次元の双有理不変性」、Poo17 Proposition 9.1.2(a)、p. 258）による。この定義は Poo17 Definition 9.1.3・9.1.4（pp. 258–259）と同じである。曲線、すなわち $\dim X=1$ の場合、$Y$ は種数 $g$ の nice な曲線で、$\kappa(Y)$ は $g=0$ で $-\infty$、$g=1$ で $0$、$g\ge2$ で $1$ である（小平次元 の例「曲線の小平次元」）。したがって曲線が一般型であることは、種数が $2$ 以上であることと同じである。
予想の主張
$k$ を代数体、$X$ を $k$ 上の幾何的に整な多様体で、一般型かつ $\dim X>0$ のものとする。このとき $X(k)$ は $X$ の中で Zariski 稠密でない。
これは Poo17 Conjecture 9.5.11（p. 288）である。言い換えると、$X$ の真の閉部分集合 $Z\subsetneq X$ があって、$X(k)\subset Z$ となる。$Z$ は $k$ に依存してよい。Lang は、$k$ によらない例外集合をもつ強い形も提出している。
$k$、$X$ を conj-bl-main のとおりとする。$X$ の閉部分多様体 $S\subsetneq X$ があって、$k$ のすべての有限次拡大 $L$ について $(X\setminus S)(L)$ は有限集合である。
これは Poo17 Conjecture 9.5.12（p. 288）である。強い形から conj-bl-main が従う。実際 $X(k)\subset S\cup(X\setminus S)(k)$ で、右辺は $S$ と有限個の閉点の和だから $X$ の閉部分集合である。$X$ は既約で $\dim X>0$ なので、真の閉部分集合 $S$ と有限個の閉点の和は $X$ に一致しない。
予想の言い換え
$X$ を既約な位相空間、$U\subset X$ を空でない開集合、$T\subset X$ を部分集合とする。$T$ が $X$ で稠密であることと、$T\cap U$ が $U$ で稠密であることは同値である。
$T$ が $X$ で稠密だとし、$T\cap U$ の $U$ での閉包を $U\cap C$（$C$ は $X$ の閉集合）とする。$T\subset C\cup(X\setminus U)$ で右辺は閉集合なので $X=C\cup(X\setminus U)$ である。$X$ は既約で $X\setminus U\ne X$ なので $C=X$ となり、$T\cap U$ は $U$ で稠密である。逆に $T\cap U$ が $U$ で稠密なら、$T$ の閉包は $U$ を含み、既約空間の空でない開集合 $U$ は稠密なので、$T$ の閉包は $X$ である。$\square$
$k$ を標数 $0$ の体、$X$、$X'$ を $k$ 上の幾何的に整な多様体で、互いに $k$ 上双有理同値なものとする。$X(k)$ が $X$ で Zariski 稠密であることと、$X'(k)$ が $X'$ で Zariski 稠密であることは同値である。また、$X$ が一般型であることと $X'$ が一般型であることは同値である。したがって、conj-bl-main を示すには $X$ が nice な場合を考えれば足りる。
双有理同値なので、空でない開集合 $U\subset X$、$U'\subset X'$ と $k$ 上の同型 $\varphi\colon U\to U'$ がある。$\varphi$ は位相空間の同相で、$U(k)$ を $U'(k)$ に移すので、$U(k)$ が $U$ で稠密であることと $U'(k)$ が $U'$ で稠密であることは同値である。$U(k)=X(k)\cap U$ なので、lem-bl-open（$X$ は整なので既約）により、これは $X(k)$ が $X$ で稠密であることと同値である。$X'$ でも同じである。後半は、def-bl-general-type の $Y$ として $X$ と $X'$ に共通のものがとれ、$\dim X=\dim X'$ だからである。最後の主張は、標数 $0$ の特異点の解消により $X$ と双有理同値な nice な多様体があることから従う。$\square$
知られている場合
曲線
$\dim X=1$ のとき、conj-bl-main は正しい。すなわち、代数体 $k$ 上の幾何的に整な曲線 $X$ で一般型のものについて、$X(k)$ は有限集合で、とくに Zariski 稠密でない。
既約な 1 次元の多様体の真の閉部分集合は、次元 $0$ の有限型スキームの点の集合なので有限個の閉点からなる。逆に有限個の閉点の集合は閉で、$X$ に一致しない。よって $X(k)$ が $X$ で稠密でないことは、$X(k)$ が有限であることと同じである。
$X$ と双有理同値な nice な曲線 $Y$ をとる。def-bl-general-type の後の注意により $Y$ の種数は $2$ 以上である。prop-bl-birational の証明のように同型な空でない開集合 $U\subset X$、$U'\subset Y$ をとると、その補集合は有限なので、$X(k)$ が有限であることと $Y(k)$ が有限であることは同値である。Faltingsの定理（Poo17 Theorem 9.5.1、p. 286）により、代数体上の種数 $2$ 以上の nice な曲線の有理点は有限個なので、$Y(k)$ は有限である。$\square$
逆に、曲線の場合の conj-bl-main は、この証明の前半により Faltings の定理と同値である。Faltings の定理の証明はこの記事では扱わない（Faltingsの定理 を参照）。
曲線の積
$k$ を代数体、$C_1,\dots,C_n$（$n\ge1$）を $k$ 上の nice な曲線で種数 $g_i\ge2$ のものとし、$X:=C_1\times_k\dots\times_kC_n$ とする。$X$ は nice な一般型の多様体で、$X(k)$ は有限集合である。とくに $X$ について conj-bl-main と conj-bl-strong（$S=\emptyset$）が成り立つ。
$X$ が nice であることは、滑らかな射影的な射と幾何的に整な多様体が直積で保たれることによる。小平次元は $\bar k$ の上で計算してよいので、$C_i$ を $\bar k$ 上の曲線とみる。多重種数 の定理「直積の多重種数」を繰り返し使うと、すべての $m\ge1$ で $P_m(X)=\prod_iP_m(C_i)$ である。小平次元 の例「曲線の小平次元」により $m\ge2$ で $P_m(C_i)=(2m-1)(g_i-1)\ge m$ なので、$m\ge2$ で $P_m(X)\ge m^n$ である。よって $\kappa< n$ の整数では $P_m(X)/m^\kappa$ は有界でなく、$\kappa(X)\ge n$ である。一方 $\kappa(X)\le\dim X=n$（小平次元 の命題「小平次元のとりうる値」）なので、$\kappa(X)=n$ で $X$ は一般型である。
直積の普遍性により $X(k)=C_1(k)\times\dots\times C_n(k)$ で、各 $C_i(k)$ は Faltingsの定理 により有限なので、$X(k)$ は有限である。$k$ の有限次拡大 $L$ でも同じく $X(L)$ は有限である。$\dim X=n\ge1$ で $X$ は既約なので、有限個の閉点の集合は真の閉部分集合であり、$X(k)$ は Zariski 稠密でない。$\square$
アーベル多様体の部分多様体
$X$ がアーベル多様体の閉部分多様体である場合、conj-bl-main と conj-bl-strong は Faltings により証明されている（Poo17 p. 288。Vojta の Diophantus 近似の方法を簡略化・一般化したもの）。この記事では証明しない。 種数 $2$ 以上の nice な曲線 $C$ は、$C(k)$ が空でなければその ヤコビ多様体 に埋め込めるのでこの場合に含まれ、これは Faltingsの定理 の高次元への一般化の 1 つである（Diophantus幾何学 の節「高次元の予想」）。
一般の場合、予想は未解決である（Poo17 Conjecture 9.5.11）。
例と反例
結論を「有限」にはできない
$\mathbb{P}^3_{\mathbb{Q}}$ の曲面
$$
X\colon\ x_0^5+x_1^5+x_2^5+x_3^5=0
$$
を考える。偏微分 $5x_i^4$ が同時に $0$ になるのは $x_0=\dots=x_3=0$ だけなので、$X$ は滑らかで（標数 $0$）、$\mathbb{P}^3$ の次数 $5$ の滑らかな超曲面である。$5\ge3+2$ なので $X$ は一般型である（小平次元 の節「例」の滑らかな超曲面の場合。$\omega_X\cong\mathcal{O}_X(1)$ で、Poo17 Warning 9.1.6（p. 259）も、$\mathbb{P}^3_{\mathbb{C}}$ の滑らかな 5 次曲面で $\omega\cong\mathcal{O}(1)$ となることを使っている）。$X$ は幾何的に整で $\dim X=2>0$ だから、conj-bl-main の仮定を満たす。
一方、直線 $L=\{[s:-s:t:-t]\}$ の上では $s^5+(-s)^5+t^5+(-t)^5=0$ なので $L\subset X$ であり、$L(\mathbb{Q})=\{[s:-s:t:-t]\mid[s:t]\in\mathbb{P}^1(\mathbb{Q})\}$ は無限集合である。よって $X(\mathbb{Q})$ は無限集合である。
したがって conj-bl-main の結論を「$X(k)$ は有限」に強めることはできない。予想が正しければ、$X(\mathbb{Q})$ は $L$ のような曲線を含む真の閉部分集合に収まり、conj-bl-strong の $S$ は $L$ を含む。
仮定を外すと
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 一般型 | $\mathbb{P}^n_k$（$n\ge1$、$\kappa=-\infty$） | $X(k)$ が稠密でないこと |
| $k$ が代数体 | $\bar{\mathbb{Q}}$ 上の曲線 $x^4+y^4=z^4$（種数 $3$） | $X(k)$ が稠密でないこと |
| $\dim X>0$ | $X=\operatorname{Spec}k$（$\kappa=0=\dim X$） | $X(k)$ が稠密でないこと |
1 行目。 $\mathbb{P}^n$ は nice で、$\omega\cong\mathcal{O}(-n-1)$ だから多重種数はすべて $0$、$\kappa=-\infty< n$ である（小平次元 の節「双有理不変性」の末尾）。$\mathbb{P}^n(k)$ が稠密でないとすると、$0$ でない斉次多項式 $F$（次数 $\ge1$）で $\mathbb{P}^n(k)$ の上で $0$ になるものがある。すると $F$ は $k^{n+1}$ のすべての点で $0$ になるが、無限体上で $k^{n+1}$ 全体で $0$ になる多項式は $0$ だけなので（変数ごとに根の個数を数える）、矛盾する。よって $\mathbb{P}^n(k)$ は稠密である。代数体であることと正の次元はそのまま満たし、一般型であることだけを外している。
2 行目。 $X\colon x^4+y^4=z^4$ は $\mathbb{P}^2$ の滑らかな 4 次曲線なので種数 $3$ で（Fermat曲線）、一般型である。基礎体を $\bar{\mathbb{Q}}$ にすると、各 $a\in\bar{\mathbb{Q}}$ について $y^4=1-a^4$ を解いて $[a:y:1]\in X(\bar{\mathbb{Q}})$ が得られるので、$X(\bar{\mathbb{Q}})$ は無限集合で、曲線の上では稠密である。一般型であることと正の次元はそのまま満たし、基礎体が代数体であることだけを外している。$\mathbb{Q}$ 上では $X(\mathbb{Q})$ は有限である（prop-bl-curves）。
3 行目。 $X=\operatorname{Spec}k$ では $\omega_X=\mathcal{O}_X$、すべての $P_m$ が $1$ なので $\kappa(X)=0=\dim X$ で、一般型である。$X(k)$ は 1 点で $X$ 全体に一致し、稠密である。代数体と一般型はそのまま満たし、正の次元だけを外している。
体を代数体から関数体に替えても素朴な類似は成り立たない。たとえば $\mathbb{C}$ 上の種数 $2$ 以上の曲線 $X_0$ を $K=\mathbb{C}(t)$ 上の曲線とみると、$X_0(\mathbb{C})\subset X_0(K)$ は無限集合である（Poo17 Example 9.5.5、p. 287）。関数体の上では、このような定数の場合を除くことで成り立つ形がある（Faltingsの定理 の節「関数体での類似」）。
ほかの予想との関係
Vojta 予想から従う
Vojta予想 は、代数体上の nice な多様体の有理点の高さについての不等式を予想する。その $D=0$ の場合から Bombieri–Lang 予想が従う（Voj11 Proposition 14.9、p. 161 は対数的一般型の形で述べている）。以下 $h_{\mathcal{L}}$ は Weil高さ の定理「Weil の高さ機械」の高さで、$O(1)$ は有界な関数を表す。
$k$ を代数体、$X$ を $k$ 上の nice な一般型の多様体で $\dim X>0$ のものとする。$X$ について Vojta予想 の主張 2 が $D=0$ で成り立つならば、$X(k)$ は Zariski 稠密でない。
$K$ を標準束、$A$ を豊富な直線束とする。$X$ は一般型なので、ある $m_0$ について $P_{m_0}(X)\ge1$ で、定数 $c>0$ があって $m_0$ の倍数 $m$ で $P_m(X)\ge cm^{\dim X}$ となる（Poo17 §9.1 の (ii)、pp. 257–258）。すなわち $K$ は巨大（big）である（Voj11 Definition 9.11、p. 146）。Kodaira の補題（Voj11 Proposition 9.12、p. 146）により、ある整数 $C\ge1$ について $K^{\otimes C}\otimes A^{-1}$ は $0$ でない大域切断をもつ。その零因子を $D'$（有効 Cartier 因子）とすると $K^{\otimes C}\cong A\otimes\mathcal{O}(D')$ で、$Z_1:=\operatorname{Supp}D'$ は真の閉部分集合である。$h_{\mathcal{O}(D')}$ は $Z_1$ の外で下に有界であり（Voj11 Theorem 9.7(c)、p. 145。$\lvert D'\rvert$ の基点集合は $\operatorname{Supp}D'$ に含まれる）、加法性（同 Theorem 9.7(b)）により $C\,h_K=h_A+h_{\mathcal{O}(D')}+O(1)$ なので、$Z_1$ の外の点 $x$ で
$$
h_A(x)\le C\,h_K(x)+O(1)
$$
となる。Vojta予想 の主張 2 を $D=0$、$\varepsilon=1/(2C)$ で使うと、真の閉部分集合 $Z_2$ があって、$(X\setminus Z_2)(k)$ の有限個を除くすべての点で $h_K(x)\le h_A(x)/(2C)+O(1)$ となる。2 つを合わせると、$Z_1\cup Z_2$ の外の有限個を除く $x\in X(k)$ で
$$
h_A(x)\le\tfrac12h_A(x)+O(1),\qquad\text{すなわち}\qquad h_A(x)\le O(1)
$$
である。$A$ は豊富なので、Northcott の性質（同定理の 5、次数 $1$）により、このような $x$ は有限個である。よって $X(k)$ は $Z_1\cup Z_2$ と有限個の点の和に含まれ、これは既約な $X$ の真の閉部分集合である。$\square$
これは予想からの導出であり、Bombieri–Lang 予想の証明ではない。Vojta予想 の記事は、同じ予想から種数 $2$ 以上の曲線の場合（Faltings の定理の形）を導いている。
正則曲線の類似
Nevanlinna 理論の側には、一般型の多様体 $X$ への正則曲線 $f\colon\mathbb{C}\to X$ の像は Zariski 稠密でない、という対応する予想がある（Green–Griffiths–Lang の予想と呼ばれるものの 1 つ）。Voj11 Proposition 14.3（p. 159）は、これが Griffiths の予想から従うことを示し、この帰結も一般には知られていないと述べている。有理点の集合と正則曲線の像を対応させる見方は Vojta予想 の「高次元の辞書」にある。
関連項目
- 前提: 小平次元, Faltingsの定理, 有理点, Zariski位相, 代数体
- 道具: 多重種数, Weil高さ, 双有理写像, 特異点解消
- 比較: Vojta予想, Mordell–Weilの定理, Nevanlinna理論
- 発展: Diophantus幾何学, 数論幾何学, アーベル多様体
参考文献
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