Brauer–Manin障害

前提知識: Brauer群, 局所体のBrauer群, Hasse原理, ノルム剰余記号

代数体 $k$ 上の多様体 $X$ がすべての完備化 $k_v$ に点をもつのに $k$ には点をもたないとき、Hasse原理 が破れているという。Brauer–Manin 障害 は、この破れの多くを統一的に説明する仕組みで、Manin が 1970 年に導入した（Man71）。$X$ の Brauer群 の元 $\mathcal A$ を局所点 $x_v\in X(k_v)$ で評価し、局所体の Brauer 群の不変量を足し合わせる。$k$ の点から来る局所点の族では、大域体の Brauer 群の相互法則によりこの和が $0$ になる。和が $0$ になる族が 1 つもなければ、$X$ は $k$ の点をもたない。

定義

$k$ を代数体、$v$ をその素点、$k_v$ を完備化とする。$\operatorname{inv}_v\colon\operatorname{Br}(k_v)\to\mathbb Q/\mathbb Z$ を不変量写像とする。$v$ が有限素点なら同型、実素点なら像は $\{0,\tfrac12\}$、複素素点なら $\operatorname{Br}(k_v)=0$ である（局所体のBrauer群、Poo17 Theorem 1.5.34、p. 25）。大域体の Brauer 群については完全列
$$ 0\to\operatorname{Br}(k)\to\bigoplus_v\operatorname{Br}(k_v)\xrightarrow{\ \sum_v\operatorname{inv}_v\ }\mathbb Q/\mathbb Z\to0 $$
が成り立つ（Albert–Brauer–Hasse–Noether の定理。Tate–Shafarevich群 の記事の定理「大域体の Brauer 群の局所大域原理」、Poo17 Theorem 1.5.36、pp. 25–26）。とくに $\alpha\in\operatorname{Br}(k)$ の制限 $\alpha_v\in\operatorname{Br}(k_v)$ は有限個の $v$ を除いて $0$ で、$\sum_v\operatorname{inv}_v(\alpha_v)=0$ である。これを 相互法則 と呼ぶ。
以下、$X$ を $k$ 上の滑らかな射影的で幾何的に整な多様体とする。$X$ は射影的なので、$X$ の アデール点 の集合は $X(\mathbb A_k)=\prod_vX(k_v)$ である（Poo17 §8.1.2、p. 228）。$\operatorname{Br}X$ を $X$ の Brauer 群（Brauer群 の記事の定義「スキームのBrauer群の定義」）とする。
体 $L\supseteq k$ と $x\in X(L)$、すなわち射 $x\colon\operatorname{Spec}L\to X$ について、$\mathcal A\in\operatorname{Br}X$ の引き戻し $\mathcal A(x):=x^*\mathcal A\in\operatorname{Br}(L)$ を $\mathcal A$ の $x$ での 値 という。$\mathcal A$ が Azumaya代数 で代表されるなら、$\mathcal A(x)$ はそのファイバーの中心単純環の類である。引き戻しは関手的なので、$L\subseteq L'$ と $x\in X(L)$ について、$x$ を $X(L')$ の点とみたもの $x_{L'}$ では
$$ \mathcal A(x_{L'})=\operatorname{res}_{L'/L}\mathcal A(x) $$
である。$\mathcal A\mapsto\mathcal A(x)$ は群準同型である。
次の 2 つの事実はこの記事では証明しない。

• (F1) $(x_v)_v\in X(\mathbb A_k)$ と $\mathcal A\in\operatorname{Br}X$ について、$\operatorname{inv}_v\mathcal A(x_v)=0$ は有限個を除くすべての $v$ で成り立つ（Poo17 Proposition 8.2.1、p. 229。$X$ と $\mathcal A$ を整数環の上に広げ、整数環の完備化の Brauer 群が $0$ であることを使う）。
• (F2) 各 $v$ について、$X(k_v)\to\mathbb Q/\mathbb Z$、$x_v\mapsto\operatorname{inv}_v\mathcal A(x_v)$ は $v$ 進位相について局所定数である（Poo17 Proposition 8.2.9、p. 230）。

この 2 つの定義は Poo17 Definition 8.2.5・8.2.7・8.2.8（p. 230）の形である。$X(\mathbb A_k)\ne\emptyset$ は $X$ が局所的にいたるところ可解であることにほかならない。

主定理

この主張は Manin の「障害の定理」である（Man71 Théorème 1、p. 402）。証明は相互法則だけを使うが、障害を実際に見つけるには、$\operatorname{Br}X$ の元を具体的に作り、各 $X(k_v)$ の上で値を計算しなければならない。役に立たない元もある。

(F1) と (F2) から、各 $X(\mathbb A_k)^{\mathcal A}$ は $X(\mathbb A_k)$ の開かつ閉な集合であり、$X(\mathbb A_k)^{\operatorname{Br}}$ は閉集合で、$X(k)$ の閉包を含む（Poo17 Corollary 8.2.11、p. 231。この記事では証明しない）。したがって $X(\mathbb A_k)^{\operatorname{Br}}\ne X(\mathbb A_k)$ なら、$X(k)$ は $X(\mathbb A_k)$ で稠密でなく、弱近似が成り立たない。

直感

$k$ の点 $x$ での値 $\mathcal A(x)$ は $k$ 上の 1 つの Brauer 類で、その局所成分の不変量の和は相互法則により $0$ である。局所点の族 $(x_v)$ では、各成分 $x_v$ を独立に選べるので、不変量の和は一般に $0$ にならない。和が $0$ になるという条件は、局所点の族が「1 つの大域的な点から来たかのように振る舞う」ための必要条件であり、ノルム剰余記号 の記事の Hilbert の積公式を多様体の上の関数に広げたものとみなせる。

例：Iskovskikh の曲面

$\mathbb Q$ 上のアフィン曲面
$$ U\colon\ y^2+z^2=(3-x^2)(x^2-2) $$
を考え、$f(x):=(3-x^2)(x^2-2)$ とおく。$U$ を開集合として含み、$x$ への射影が $\mathbb P^1$ 上の円錐曲線の族になる滑らかな射影曲面 $X$（Châtelet 曲面）がある（Poo17 §8.2.5、pp. 232–233）。以下、$v=p$ では $\mathbb Q_p$ の 2 次の Hilbert 記号、$v=\infty$ では $(a,b)_\infty=-1\iff a<0\text{ かつ }b<0$ とし、ノルム剰余記号 の記事の性質（乗法性、奇素数の公式、$\mathbb Q_2$ の公式、積公式）を使う。

局所点の存在

Brauer 群の元と値の計算

$\mathbb Q(X)$ を関数体とし、四元数環の類 $\mathcal A:=(3-x^2,-1)\in\operatorname{Br}\mathbb Q(X)$ を考える。$\mathcal A$ は $\operatorname{Br}X$ の元に延び、点 $P\in X(K)$（$K\supseteq\mathbb Q$ は体）での値は次のように計算できる（Poo17 Proposition 8.2.14 とその後の段落、pp. 233–234。この記事では証明しない）。3 つの関数
$$ g_1:=3-x^2,\qquad g_2:=x^2-2,\qquad g_3:=\frac3{x^2}-1 $$
のうち、$x(P)\in\mathbb P^1(K)$ で定義されて $0$ でないもの $g_i$ を 1 つ選ぶと、$\mathcal A(P)$ は四元数環 $(g_i(x(P)),-1)_K$ の類である。どれを選んでも同じ類になる。$U$ の点では、$g_1g_2=y^2+z^2$ が $K(\sqrt{-1})$ からのノルムであり、$g_3=g_1/x^2$ だからである。
四元数環 の記事の系「四元数環と Hilbert 記号」と 局所体のBrauer群 の記事の系「周期と指数の一致」により、$K=\mathbb Q_v$ では
$$ \operatorname{inv}_v\mathcal A(P)=\begin{cases}0&(g_i(x(P)),-1)_v=1\\ \tfrac12&(g_i(x(P)),-1)_v=-1\end{cases} $$
である（$v=\infty$ でも同様）。

$U(\mathbb Q)=\emptyset$ だけなら、Brauer 群を使わずに Hilbert の積公式から直接示せる。$(x,y,z)\in U(\mathbb Q)$ があったとする。$x^2\ne2,3$ なので $f(x)\ne0$ で、$f(x)=y^2+z^2$ だから各 $v$ で $(g_1(x),-1)_v=(g_2(x),-1)_v$、また $(g_3(x),-1)_v=(g_1(x),-1)_v(x^{-2},-1)_v=(g_1(x),-1)_v$ である。よって prf-bm-isk-values の計算は、どの $g_i$ を使った場合も $(3-x^2,-1)_v$ の値を与え、$v\ne2$ で $1$、$v=2$ で $-1$ となる。これは積公式 $\prod_v(3-x^2,-1)_v=1$ に反する。Iskovskikh 自身は相互法則を使う場当たり的な方法で $X(\mathbb Q)=\emptyset$ を示し、後にそれが Brauer–Manin 障害で説明できることが分かった（Poo17 Remark 8.2.16、p. 235）。Châtelet 曲面については、Brauer–Manin 障害が唯一の障害であることが知られている（Colliot-Thélène・Sansuc・Swinnerton-Dyer による。Poo17 Remark 8.2.17、p. 235。この記事では証明しない）。

反例

Tate–Shafarevich 群との関係

$A$ を $k$ 上のアーベル多様体、$V$ を $A$ の主等質空間で局所的にいたるところ可解なものとすると、$V$ の類 $b$ は Tate–Shafarevich群 $Ш(A/k)$ に入る。Manin は、$\operatorname{Br}V$ のある部分群 $B$ の元 $\mathcal A$ が双対アーベル多様体 $A^\vee$ の $Ш(A^\vee/k)$ の元 $a'$ に対応するとき、障害 $\langle\mathcal A,(x_v)\rangle$ は $(x_v)$ によらず、Cassels–Tate 対の値 $\langle b,a'\rangle$ に等しいことを示した（Man71 Théorème 6、p. 405。この記事では証明しない）。$V$ が曲線のときは $Ш(A^\vee/k)$ のすべての元が $B$ の元に対応する（同 Théorème 2 の場合 a)、p. 403）。したがって、楕円曲線 $E$ について $Ш(E/k)$ が有限なら、Cassels–Tate 対の非退化性（Tate–Shafarevich群 の記事の定理「Cassels–Tate 対」と注意「Cassels–Tate 対の出典と注意」）により、$b\ne0$ には $\langle b,a'\rangle\ne0$ となる $a'$ があり、$E$ の主等質空間である種数 1 の曲線については Brauer–Manin 障害が唯一の障害になる。

補足

関連項目

• 前提: Brauer群, 局所体のBrauer群, Hasse原理
• 計算に使うもの: ノルム剰余記号, 四元数環, コホモロジー的Brauer群
• 比較: Tate–Shafarevich群, Hasse–Minkowskiの定理
• 発展: 有理点, Severi–Brauer多様体