Mannの定理

$\text{(1)}$が成り立つが$\text{(2)}$が成り立たない $n$ が存在すると仮定し、そのような最小の $n$ をとる。
そのうえで、$\text{(1)}$が成り立つが$\text{(2)}$が成り立たない自然数列 $\mathcal{A},\mathcal{B}$ のうち、 $B(n)$ が最小のものをとる。
また、$\mathcal{A},\mathcal{B}$ は $n$ 以下の整数のみを含んでいるとしてもよい。というのは $\mathcal{A},\mathcal{B}$ から $n$ より大きな要素を取り除いても、$\text{(1)}$および$\text{(2)}$が成立するかどうかには関係しないからである。

$B(n)=0$ のときは、$\mathcal{B}$ は $0$ しか含まないから、$\mathcal{C}=\mathcal{A}+\mathcal{B}=\mathcal{A}$ となるので、$m=1,2,\dots ,n$ に対して
$$C(m)=A(m)=A(m)+B(m)$$
となって、$\text{(1)}$が成り立つなら$\text{(2)}$も成り立ってしまう。よって $B(n)>0$ となって、$\mathcal{B}$ は正の要素を含むことがわかる。

$a+\mathcal{B}\subset \mathcal{A}$ が成り立たないような $a\in \mathcal{A}$ が存在することは容易に確かめられる。実際、$\mathcal{B}$ は正の要素を含むので、$a_r,b_s$ を $\mathcal{A},\mathcal{B}$ の最大の要素とおくと、$a_r+b_s$ は $a_r$ より大きいから、これは $\mathcal{A}$ に含まれない。

さて、
$$\begin{array}{}\text{(a)}& A^{\prime }(m)+B^{\prime }(m)\ge \eta m(\mathrm{\forall }m=1,2,\dots n),\end{array}$$
$$\begin{array}{}\text{(b)}& {\mathcal{A}}^{\prime }+{\mathcal{B}}^{\prime }\subset \mathcal{A}+\mathcal{B},\end{array}$$
$$\begin{array}{}\text{(c)}& B^{\prime }(n)<B(n)\end{array}$$
が成り立つように自然数列 ${\mathcal{A}}^{\prime },{\mathcal{B}}^{\prime }$ を構成する。

まず、$a+\mathcal{B}\subset \mathcal{A}$ が成り立たないような、最小の $a\in \mathcal{A}$ を $a^{\ast }$ とおいて
$${\mathcal{B}}^{\prime }=\{b\in \mathcal{B},a^{\ast }+b\in \mathcal{A}\},{\mathcal{B}}^{\prime \prime }=\mathcal{B}\setminus {\mathcal{B}}^{\prime }=\{b\in \mathcal{B},a^{\ast }+b\notin \mathcal{A}\}$$
とおくと、$a^{\ast }\in \mathcal{A}$ より ${\mathcal{B}}^{\prime }$ は $0$ を含む。また、$a+\mathcal{B}\subset \mathcal{A}$ が成り立たないのだから、${\mathcal{B}}^{\prime \prime }$ に含まれる要素が存在する。よって$\text{(c)}$が成り立つ。
$${\mathcal{A}}^{\prime }=\mathcal{A}\cup ((a^{\ast }+{\mathcal{B}}^{\prime \prime })\cap [0,n])$$
とおくと、$b^{\prime }\in {\mathcal{B}}^{\prime },b^{\prime \prime }\in {\mathcal{B}}^{\prime \prime }$ に対して
$$(a^{\ast }+b^{\prime \prime })+b^{\prime }=(a^{\ast }+b^{\prime })+b^{\prime \prime }\in \mathcal{A}+\mathcal{B}$$
となるから、$\text{(b)}$が成り立つ。

$a^{\ast }=0$ の場合、
$${\mathcal{B}}^{\prime }=\mathcal{A}\cap \mathcal{B},{\mathcal{A}}^{\prime }=\mathcal{A}\cup {\mathcal{B}}^{\prime \prime }=\mathcal{A}\cup (\mathcal{B}\setminus \mathcal{A})$$
なので、
$$A^{\prime }(n)+B^{\prime }(n)=A(n)+(B(n)-B^{\prime }(n))+B^{\prime }(n)=A(n)+B(n)$$
となるので、$\text{(a)}$が成り立つ。

そこで、$a^{\ast }>0$ の場合に$\text{(a)}$を示す。まず $m=1,2,\dots ,n$ を任意にとる。${\mathcal{B}}^{\prime \prime }$ の定義から、$a^{\ast }+{\mathcal{B}}^{\prime \prime }$ の要素は $\mathcal{A}$ には含まれないので
$$\begin{array}{}\text{(3)}& A^{\prime }(m)=A(m)+B^{\prime \prime }(m-a^{\ast })\end{array}$$
となる。
$\mathcal{B}$ が $m-a^{\ast }<b\le m$ となる要素を含まないとき、$B^{\prime \prime }(m-a^{\ast })=B^{\prime \prime }(m)$ なので、
$$A^{\prime }(m)+B^{\prime }(m)=A(m)+B^{\prime \prime }(m)+B^{\prime }(m)=A(m)+B(m)$$
となる。
そこで、$\mathcal{B}$ が $m-a^{\ast }<b\le m$ となる要素を含むとし、そのような最小の要素を $b_1$ とおく。
$m=b_1+r$ とおくと、 $0\le r<a^{\ast }$ となるから、$r$ 以下の $\mathcal{A}$ の要素 $a$ について
$$a+\mathcal{B}\subset \mathcal{A}$$
が成り立つ。よって
$$\begin{array}{}\text{(4)}& (\mathcal{A}\cup [0,r])+\mathcal{B}\subset \mathcal{A}\end{array}$$
とくに
$$(\mathcal{A}\cup [0,r])+b_1\subset \mathcal{A}$$
となる。つまり $0\le a\le r$ で $a$ が $\mathcal{A}$ の要素ならば、$b_1+a$ も $\mathcal{A}$ の要素である。
よって
$$A(b_1+r)-A(b_1-1)\ge A(r)+1$$
となる。

一方、仮定より$\text{(1)}$は $m=1,2,\dots ,r$ について成り立つが、$r<n$ であるから、$n$ のとり方より$\text{(2)}$も $m=1,2,\dots ,r$ については成り立つ。とくに $C(r)\ge \eta r$ となる。$\text{(4)}$より
$$\mathcal{C}\cup [0,r]\subset \mathcal{A}$$
となるから、$A(r)\ge C(r)$ となり、
$$A(b_1+r)-A(b_1-1)\ge C(r)+1\ge \eta (r+1)$$
となる。
また、$\text{(1)}$は $m=1,2,\dots ,n$ について成り立つので
$$A(b_1-1)+B(b_1-1)\ge \eta (b_1-1)$$
が成り立つ。よって
$$A(b_1+r)+B(b_1-1)\ge \eta (b_1+r)=\eta m$$
となる。$b_1$ は $m-a^{\ast }<b\le m$ となる $\mathcal{B}$ の最小の要素だから、$B(b_1-1)=B(m-a^{\ast })$ となる。よって$\text{(3)}$より
$$A^{\prime }(m)+B^{\prime }(m)\ge A(m)+B(m-a^{\ast })=A(m)+B(b_1-1)\ge \eta m$$
となる。

このようにして、$a^{\ast }>0$ の場合に$\text{(a)}$が成り立つことが示された。しかし、${\mathcal{C}}^{\prime }={\mathcal{A}}^{\prime }+{\mathcal{B}}^{\prime }$ とおくと、$\text{(a)}$より $m=1,2,\dots ,n$ に対して
$$A^{\prime }(m)+B^{\prime }(m)\ge \eta m$$
が成り立つが$\text{(b)}$より $C^{\prime }(n)\le C(n)$ となるため $C^{\prime }(n)\ge \eta m$ は成り立たない。つまり $\mathcal{A},\mathcal{B},\mathcal{C}$ をそれぞれ ${\mathcal{A}}^{\prime },{\mathcal{B}}^{\prime },{\mathcal{C}}^{\prime }$ に置き換えると$\text{(1)}$は成り立つが$\text{(2)}$は成り立たない。一方で$\text{(c)}$より $B^{\prime }(n)<B(n)$ となる。しかし、これは $B(n)$ が、$\text{(1)}$が成り立つが$\text{(2)}$が成り立たない $\mathcal{A},\mathcal{B}$ の中では最小となるという選び方に反する。

この矛盾から、$\text{(1)}$が成り立つならば$\text{(2)}$も成り立つことが示された。