体上有限生成環

(1) $\Rightarrow$ (2)。$R=\K[v_1, v_2, \ldots, v_n]$ とする。多項式環 $\K[X_1, X_2, \ldots, X_n]$ から $R$ への準同型 $\phi$ が
$$\phi(X_i)=v_i\ (i=1, 2, \ldots, n)$$
と $\K$ 上恒等的であることにより一意に定まる。$\phi$ の像は $\K$ と $v_1, v_2, \ldots, v_n$ を含む $R$ の部分環なので、$R$ の定義より像は $R$ 全体であり、$\phi$ は全射である。よって環の準同型定理（ 入門テキスト「環論の基礎」イデアルと剰余環 の環の準同型定理）より
$$R\cong\K[X_1, X_2, \ldots, X_n]/\Ker\phi$$
という $\K$ 上の同型が得られる。$I=\Ker\phi$ とおけばよい。
(2) $\Rightarrow$ (1)。$\K[X_1, X_2, \ldots, X_n]/I$ は $X_i\Mod{I}\ (i=1, 2, \ldots, n)$ で生成されるから、$\K$ 上有限生成環である。$\K$ 上の同型は各係数を固定するので、生成元の像を取れば $R$ も $\K$ 上有限生成である。

体としては $t_1, \ldots, t_n$ で生成されるから、$\K$ 上有限生成である。以下、環として有限生成でないことを示す。
$\K(t_1, \ldots, t_n)$ が $\K$ 上の環として有限生成とすると、
$$\K(t_1, \ldots, t_n)=\K[w_1, w_2, \ldots, w_r]$$
となる $w_1, \ldots, w_r\in\K(t_1, \ldots, t_n)$ が存在する。それで
$$w_i=\frac{f_i(t_1, \ldots, t_n)}{g_i(t_1, \ldots, t_n)}\ (i=1, 2, \ldots, r)$$
となる $f_i, g_i\in \K[t_1, \ldots, t_n]$、$g_i\neq 0$ が存在する。
第一段（分母を同時に消さない点の存在）。$\K$ の代数閉包 $\overline{\K}$ をとる（ 入門テキスト「ガロア理論の基礎」体論の代数閉包の定義 と 同・代数閉包の存在と一意性 ）。$\overline{\K}$ は無限個の要素からなる。実際、$\K$ が無限体ならば $\overline{\K}\supseteq\K$ より明らかであり、$\K$ が有限体で標数が $p$ の場合も、有限体の構造で記したように $\overline{\F_p}=\cup_{e\geq 1}\F_{p^e}$ は無限個の要素からなり、$\overline{\K}$ はこれを含む。
$g_1, \ldots, g_r$ はどれも $0$ でない多項式だから、多項式環の定理「無限体上の多項式の非零点」（有限個の非零多項式には、それらの積を適用する）より、どの $i=1, 2, \ldots, r$ についても
$$g_i(\alpha_1, \ldots, \alpha_n)\neq 0$$
となる $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n\in\overline{\K}$ が存在する。
第二段（評価準同型の構成）。$g=\prod_{i=1}^r g_i$ とおくと $g(\alpha_1, \ldots, \alpha_n)\neq 0$ である。各 $w_i=f_i/g_i$ は $g_i$ を分母にもつから、$\K[w_1, \ldots, w_r]$ の要素はすべて
$$\frac{h(t_1, \ldots, t_n)}{g(t_1, \ldots, t_n)^m}\quad (h\in\K[t_1, \ldots, t_n],\ m\geq 0)$$
の形にあらわされる。そこで
$$\varphi\left(\frac{h}{g^m}\right)=\frac{h(\alpha_1, \ldots, \alpha_n)}{g(\alpha_1, \ldots, \alpha_n)^m}$$
と定める。これは代表のとり方によらない。実際 $h/g^m=h'/g^{m'}$ ならば $\K[t_1, \ldots, t_n]$ において $hg^{m'}=h'g^{m}$ であり、$t_j$ に $\alpha_j$ を代入して $h(\alpha)g(\alpha)^{m'}=h'(\alpha)g(\alpha)^{m}$、$g(\alpha)\neq 0$ で割れば
$$\frac{h(\alpha)}{g(\alpha)^m}=\frac{h'(\alpha)}{g(\alpha)^{m'}}$$
となる。$\varphi$ が和と積を保ち $\varphi(1)=1$、$\varphi(c)=c\ (c\in\K)$ となることは、多項式の値をとる操作が環準同型であることから従う。よって $\varphi$ は $\K[w_1, \ldots, w_r]$ から $\overline{\K}$ への $\K$ 上の環準同型である。
第三段（矛盾）。$\K[w_1, \ldots, w_r]=\K(t_1, \ldots, t_n)$ は体だから、 入門テキスト「環論の基礎」イデアルと剰余環 の命題（体から環への準同型は単射）より $\varphi$ は単射である。よって $\K(t_1, \ldots, t_n)$ は $\overline{\K}$ の部分体 $\varphi(\K(t_1, \ldots, t_n))$ と $\K$ 上同型である。$\overline{\K}$ は $\K$ 上代数的だから、その部分体の要素もすべて $\K$ 上代数的である。とくに $\varphi(t_1)$ は $\K$ 上代数的であり、$\varphi$ が $\K$ 上の同型を与えることから $t_1$ も $\K$ 上代数的になる。$n\geq 1$ よりこのような $t_1$ は存在し、これは $t_1, \ldots, t_n$ が $\K$ 上代数独立であることに反する。
よって $\K(t_1, \ldots, t_n)$ は $\K$ 上の環としては有限生成でない。

$A=k[a_1,\ldots,a_n]$、$B=k[b_1,\ldots,b_m]$ と書く。商では $a_i$ の像が全ての元を生成するので1が従う。2では $a_1,\ldots,a_n,1/f_1,\ldots,1/f_r$ が生成元になる。局所化の各分数の分母は $f_i$ の積の冪で表されるため、この有限個の元で十分である。
3では $a_i\otimes1$ と $1\otimes b_j$ を生成元に取る。任意の単純テンソル $a\otimes b$ は $(a\otimes1)(1\otimes b)$ と書け、$a,b$ はそれぞれ生成元の多項式である。テンソル積の任意の元は有限個の単純テンソルの和だから、この有限個の元が全体を生成する。4では同じ議論で $1\otimes a_i$ が $K$ 上の生成元になる。基礎体が $k$ から $K$ へ変わったことを含めて結論する。

右の集合は積と和で閉じており、$x^ay^b$（$a\ge1$）は $x^{a-1}(xy^b)$ と表せるので、二つの表示は一致する。定数項を取る写像 $A\to k$ の核を $J=xk[x,y]$ とすると、$J^2=x^2k[x,y]$ である。従って $J/J^2$ は $x,xy,xy^2,\ldots$ の像を基底とする無限次元 $k$-空間である。これらの一次独立性は $x$ の次数1の項を比較すれば分かる。
もし $A=k[a_1,\ldots,a_n]$ なら、各 $a_i$ から定数項を引いた $b_i$ は $J$ に入り、なお $A=k[b_1,\ldots,b_n]$ である。$J$ の元を $b_i$ の多項式で表すと、定数項は零である。$J^2$ で割れば二次以上の積は全て零となり、残るのは $b_1,\ldots,b_n$ の線形結合だけである。従って $J/J^2$ は有限次元になり、先の計算に矛盾する。よって $A$ は有限生成でない。