時空

$M=\mathbb{R}^n$、座標 $(t,x^1,\dots,x^{n-1})$ に対し
$$ g=-dt^2+(dx^1)^2+\cdots+(dx^{n-1})^2 $$
とおく。各点で $\partial_t,\partial_{x^1},\dots,\partial_{x^{n-1}}$ が正規直交基底なので $g$ は Lorentz 計量であり、$T:=\partial_t$ は大域的な連続時間的ベクトル場である。$\mathbb{R}^n$ は連結なので、$(\mathbb{R}^n,g)$ に $\partial_t$ を未来向きとする時間的向き付けを与えたものは時空である。これを Minkowski 時空（Minkowski spacetime）といい、$\mathbb{L}^n$ と書く。特殊相対論の舞台であり、リーマン曲率テンソルは恒等的に $0$ である。
原点 $o$ の時間的未来は
$$ I^+(o)=\{(t,x)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}^{n-1}\mid t>|x|\} $$
である。実際、$\gamma(s)=(t(s),x(s))$ を $o$ から出る未来向き時間的曲線とすると、各 $s$ で $-t'(s)^2+|x'(s)|^2<0$ かつ $t'(s)>0$（未来向き：$g(\gamma',\partial_t)=-t'<0$）なので $t'(s)>|x'(s)|$ であり、$s>0$ に対し
$$ t(s)=\int_0^st'(\sigma)\,d\sigma>\int_0^s|x'(\sigma)|\,d\sigma\ge\Bigl|\int_0^sx'(\sigma)\,d\sigma\Bigr|=|x(s)| $$
を得る。逆に $t>|x|$ なら線分 $s\mapsto(st,sx)$（$0\le s\le1$）が $o$ から $(t,x)$ への未来向き時間的曲線である。同様に $J^+(o)=\{t\ge|x|\}$ であり、$J^+(o)$ は閉集合、$I^+(o)$ はその内部である。

定数 $m>0$ を固定し、$M:=\{(t,r,\theta,\phi)\mid t\in\mathbb{R},\ r>2m,\ (\theta,\phi)\in S^2\}=\mathbb{R}\times(2m,\infty)\times S^2$ 上に
$$ g=-\Bigl(1-\frac{2m}{r}\Bigr)dt^2+\Bigl(1-\frac{2m}{r}\Bigr)^{-1}dr^2+r^2\bigl(d\theta^2+\sin^2\theta\,d\phi^2\bigr) $$
を与える。$r>2m$ では $1-2m/r>0$ なので、$\partial_t$ は時間的、$\partial_r$ と球面 $S^2$ に接する方向は空間的で互いに直交し、$g$ は Lorentz 計量である。$M$ は連結で $\partial_t$ が大域的な時間的ベクトル場なので、$\partial_t$ を未来向きとして時空になる。これを（外部領域の）Schwarzschild 時空という。Einstein 方程式の真空解（リッチテンソルが恒等的に $0$）であり、球対称な星やブラックホールの外側の重力場を記述する（ONe83 Ch. 13、Wal84 Ch. 6）。この計量はWarped積多様体 $B\times_rS^2$（$B=\mathbb{R}\times(2m,\infty)$）の形をしており、曲率の計算はその記事で扱う。

$H>0$ を固定し、$M=\mathbb{R}\times S^3$ 上に
$$ g=-dt^2+H^{-2}\cosh^2(Ht)\,g_{S^3} $$
（$g_{S^3}$ は単位球面 $S^3$ の標準リーマン計量）を与える。各点で $\partial_t$ は時間的、$S^3$ に接する方向は空間的で $\partial_t$ に直交するので $g$ は Lorentz 計量であり、$\partial_t$ により時間的に向き付けられた連結な時空になる。これを de Sitter 時空という。正の宇宙定数を持つ Einstein 方程式の解で、断面曲率が一定 $H^2$ の Lorentz 多様体（球面の Lorentz 版）である（HE73 §5.2、ONe83 Ch. 4）。これも Warped 積 $\mathbb{R}\times_{H^{-1}\cosh(Ht)}S^3$ の形をしている。

$M=\mathbb{R}\times S^1$、座標 $(x,\theta)$（$\theta$ は $2\pi$ を周期とする）に対し
$$ g=dx^2-d\theta^2 $$
とおく。$\partial_\theta$ が時間的、$\partial_x$ が空間的なので $g$ は Lorentz 計量で、$\partial_\theta$ を未来向きとして時空になる。任意の点 $p=(x_0,\theta_0)$ に対し、曲線 $s\mapsto(x_0,\theta_0+s)$（$0\le s\le2\pi$）は $p$ から $p$ に戻る未来向き時間的曲線、すなわち閉時間的曲線であり、$p\ll p$ が成り立つ。さらに任意の2点 $p,q$ に対し $p\ll q$ かつ $q\ll p$ が成り立つ（Totally Vicious時空の記事で証明する）。したがってこの時空の因果的順序 $\le$ は反対称性を満たさない（rem-spacetime-preorder-not-partial-order）。

$\varphi(x):=\pi x/2$ とおき、$\mathbb{R}^2$（座標 $(t,x)$）上に
$$ g:=-(\cos\varphi\,dt+\sin\varphi\,dx)^2+(-\sin\varphi\,dt+\cos\varphi\,dx)^2 $$
を与える。各点で $e(x):=\cos\varphi\,\partial_t+\sin\varphi\,\partial_x$ と $e'(x):=-\sin\varphi\,\partial_t+\cos\varphi\,\partial_x$ は $g(e,e)=-1$、$g(e',e')=1$、$g(e,e')=0$ を満たす正規直交基底なので、$g$ は Lorentz 計量である。展開すると $g=-\cos(\pi x)\,dt^2-2\sin(\pi x)\,dt\,dx+\cos(\pi x)\,dx^2$ であり、係数は $x$ について周期 $2$ を持つので、$g$ は商多様体 $M:=\mathbb{R}^2/\bigl((t,x)\sim(t,x+2)\bigr)\cong\mathbb{R}\times S^1$ 上の Lorentz 計量 $\bar g$ を定める。$M$ は連結である。
$(M,\bar g)$ は時間的向き付け可能でない。実際、連続な時間的ベクトル場 $\bar T$ が $M$ 上に存在したとし、その $\mathbb{R}^2$ への持ち上げを $T$ とすると、$T$ は $x$ について周期 $2$ の連続な時間的ベクトル場である。関数 $\psi(x):=g(T_{(0,x)},e(x))$ を考えると、$e(x)$ は時間的なので、$T_{(0,x)}$ が時間的であることと prop-spacetime-orthogonal-complement により $\psi(x)\neq0$ である（$\psi(x)=0$ なら $T_{(0,x)}$ は $e(x)$ の直交補空間に属し、空間的になる）。$\psi$ は $[0,2]$ 上で連続かつ零点を持たないので符号が一定である。ところが $e(2)=\cos\pi\,\partial_t+\sin\pi\,\partial_x=-e(0)$ かつ $T_{(0,2)}=T_{(0,0)}$ なので $\psi(2)=-\psi(0)$ となり、矛盾する。
この例は「Lorentz 多様体（連結）」という性質を満たすが「時間的向き付け可能」という性質を満たさず、Lorentz 多様体であることが時空であることを含意しないことを示す。時間錐は各点で2つあるが、$x$ 方向に一周すると未来錐と過去錐が入れ替わってしまい、未来を大域的に選べない。