時空
概要
Lorentz幾何や相対論で重要な時空という概念について定義を述べる。
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時空はLorentz幾何や相対論において基本的な概念である。この記事ではLorentz計量の負の固有値の個数が1つであるような符号の取り方をする。
まず時間的向きを定義する。
時間的向き
Lorentz多様体 $(M,g)$ が時間的向き付け可能とは、Mの開被覆 $\{O_i\}$ と各 $\{O_i\}$ 上の時間的ベクトル場 $X_i$ の組 $\{(O_i,X_i)\}$で、$O_i\cap O_j(\ne\emptyset)$ 上で $g(X_i,X_j)<0$ となるものが存在するときをいう。
このとき 各点 $p\in M$ に対して、$p\in O_i$ となる $i$ に対して、$X_i(p)$ が $p$ における未来向きを定める。
時空の定義は以下である。
時間的向きつけられたLorentz多様体を時空と呼ぶ。
