冪乗因数をもたない整数

ある $i$ について $e_i\ge k$ なら $p_i^k$ は $1$ でない $k$ 乗因数である。逆に $d\ge2$ で $d^k\mid N$ とすると、$d$ の素因数 $p$ は $N$ の素因数のいずれか $p_i$ であり、$d^k$ の素因数分解における $p_i$ の指数は $k$ 以上なので、素因数分解の一意性により $e_i\ge k$ である。$k=2$ の場合の言い換えは、指数がすべて $1$ であることが相異なる素数の積であることと同値であること、および rem-powerfree-mobius-definition から従う。$\square$

$N=p_1^{e_1}\cdots p_r^{e_r}$ と素因数分解し、各 $i$ について $e_i$ を $k$ で割って
$$e_i=kf_i+g_i,\qquad 0\le g_i< k$$
となる整数 $f_i\ge0$、$g_i$ をとる（除法の原理）。$m:=p_1^{f_1}\cdots p_r^{f_r}$、$s:=p_1^{g_1}\cdots p_r^{g_r}$ とおくと、$N=m^ks$ であり、$s$ の素因数の指数はすべて $k-1$ 以下なので prop-powerfree-exponents により $s$ は $k$ 乗因数をもたない。
逆に $N=m^ks$、$s$ は $k$ 乗因数をもたないとし、$m=p_1^{f_1'}\cdots p_r^{f_r'}$、$s=p_1^{g_1'}\cdots p_r^{g_r'}$（$f_i',g_i'\ge0$）と書く。$m$ と $s$ の素因数は $N$ の素因数なのでこう書ける。素因数分解の一意性により $e_i=kf_i'+g_i'$ であり、prop-powerfree-exponents により $0\le g_i'\le k-1$ である。除法の原理の一意性により $f_i'=f_i$、$g_i'=g_i$ であり、$(m,s)$ は上で構成したものに一致する。$\square$

$m=1$ のときは $\mu(1)=1$ である。$m>1$ とし、$m$ の相異なる素因数を $p_1,\dots,p_r$（$r\ge1$）とする。$\mu(d)\ne0$ となる $m$ の約数 $d$ は $\{p_1,\dots,p_r\}$ の部分集合 $S$ に対する $d=\prod_{p\in S}p$ に限り、そのとき $\mu(d)=(-1)^{|S|}$ である。よって二項定理により
$$\sum_{d\mid m}\mu(d)=\sum_{j=0}^{r}\binom{r}{j}(-1)^j=(1-1)^r=0$$
である。$\square$

thm-powerfree-decomposition により $N=m^ks$ と分解し、$N=p_1^{e_1}\cdots p_r^{e_r}$、$m=p_1^{f_1}\cdots p_r^{f_r}$、$e_i=kf_i+g_i$（$0\le g_i< k$）とする。まず、正の整数 $d$ について
$$d^k\mid N\iff d\mid m$$
を示す。どちらの条件も $d$ の素因数が $p_1,\dots,p_r$ の中にあることを含意するので、$d=p_1^{h_1}\cdots p_r^{h_r}$（$h_i\ge0$）と書ける。$d^k\mid N$ はすべての $i$ について $kh_i\le e_i=kf_i+g_i$ であることと同値であり、$0\le g_i< k$ なので、これは $h_i\le f_i$ と同値である（$h_i\le f_i$ なら $kh_i\le kf_i\le e_i$、$h_i\ge f_i+1$ なら $kh_i\ge kf_i+k>e_i$）。そして「すべての $i$ について $h_i\le f_i$」は $d\mid m$ と同値である。
したがって lem-powerfree-mobius-sum により
$$\sum_{d^k\mid N}\mu(d)=\sum_{d\mid m}\mu(d)=\begin{cases}1&(m=1)\\0&(m>1)\end{cases}$$
であり、$m=1$ は $N=s$ が $k$ 乗因数をもたないことと同値である（thm-powerfree-decomposition の一意性）。$\square$

thm-powerfree-indicator により、$n\le x$ にわたる和をとって
$$Q_k(x)=\sum_{n\le x}\sum_{d^k\mid n}\mu(d)=\sum_{d^k\le x}\mu(d)\sum_{\substack{n\le x\\ d^k\mid n}}1=\sum_{d\le x^{1/k}}\mu(d)\left\lfloor\frac{x}{d^k}\right\rfloor$$
となる（同じ式は $Q_k(x)$ を包含と除去の原理で数えても得られる）。$\lfloor y\rfloor=y-\{y\}$（$0\le\{y\}<1$）と $|\mu(d)|\le1$ により
\begin{align*} Q_k(x)&=x\sum_{d\le x^{1/k}}\frac{\mu(d)}{d^k}-\sum_{d\le x^{1/k}}\mu(d)\left\{\frac{x}{d^k}\right\}\\ &=x\sum_{d=1}^{\infty}\frac{\mu(d)}{d^k}+O\!\left(x\sum_{d>x^{1/k}}\frac{1}{d^k}\right)+O\!\left(x^{1/k}\right) \end{align*}
である。$X:=x^{1/k}$ とおくと
$$\sum_{d>X}\frac{1}{d^k}<\frac{1}{X^k}+\int_X^{\infty}\frac{dt}{t^k}=\frac{1}{x}+\frac{X^{1-k}}{k-1}=O\!\left(x^{-(k-1)/k}\right)$$
なので、中央の誤差項は $O(x^{1/k})$ である。最後に、$k\ge2$ に対し $\sum_{d=1}^{\infty}\mu(d)d^{-k}=1/\zeta(k)$（Dirichlet級数の値）が成り立つ（HW08 Theorem 287）。以上より主張を得る。$\square$

thm-powerfree-count で $k=2$ とし、Euler による $\zeta(2)=\pi^2/6$（HW08 §17.2）を用いればよい。密度の主張は $Q_k(x)/x=1/\zeta(k)+O(x^{1/k-1})$ から従う。$\square$

$h:=cx^{1/3}$ とおく。thm-powerfree-indicator（$k=2$）により、区間 $(x,x+h]$ の整数 $n$ を $n=d^2m$ と書いて
$$Q_2(x+h)-Q_2(x)=\sum_{x< d^2m\le x+h}\mu(d)=\sum_{d\le x^{1/3}}\mu(d)\left(\left\lfloor\frac{x+h}{d^2}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{x}{d^2}\right\rfloor\right)+\sum_{\substack{d>x^{1/3}\\ x< d^2m\le x+h}}\mu(d)$$
が成り立つ。
第 2 の和を評価する。$S:=\{(d,m)\mid d>x^{1/3},\ x< d^2m\le x+h\}$ とおくと、第 2 の和の絶対値は $\#S$ 以下である。$(d,m)\in S$ ならば、$d^2m>x$ と $2dm\ge d\sqrt{m}$（$m\ge1$）により
$$(d+1)^2m>d^2m+2dm\ge d^2m+\sqrt{d^2m}>x+\sqrt{x}>x+cx^{1/3}$$
となる（最後は $c< x^{1/6}$ による）。よって $d'>d$ ならば $d'^2m\ge(d+1)^2m>x+h$ であり、$(d',m)\notin S$ である。すなわち各 $m$ に対し $(d,m)\in S$ となる $d$ は高々一つである。また $(d,m)\in S$ ならば
$$m\le\frac{x+h}{d^2}<\frac{x+cx^{1/3}}{x^{2/3}}=x^{1/3}+cx^{-1/3}< x^{1/3}+1$$
である（$c< x^{1/6}\le x^{1/3}$）。よって $\#S\le x^{1/3}+1$ であり、
$$Q_2(x+h)-Q_2(x)=\sum_{d\le x^{1/3}}\mu(d)\left(\left\lfloor\frac{x+h}{d^2}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{x}{d^2}\right\rfloor\right)+O^{*}\!\left(x^{1/3}+1\right)$$
を得る。
第 1 の和を評価する。実数 $y,z$ に対し $\lfloor y+z\rfloor-\lfloor y\rfloor$ と $z$ の差の絶対値は $1$ 未満なので、各項は $h/d^2+O^{*}(1)$ であり、$d\le x^{1/3}$ なる $d$ は $x^{1/3}$ 個以下だから
$$\sum_{d\le x^{1/3}}\mu(d)\left(\left\lfloor\frac{x+h}{d^2}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{x}{d^2}\right\rfloor\right)=h\sum_{d\le x^{1/3}}\frac{\mu(d)}{d^2}+O^{*}\!\left(x^{1/3}\right)$$
である。$X:=x^{1/3}$ とおくと
$$\left|\sum_{d>X}\frac{\mu(d)}{d^2}\right|\le\sum_{d\ge\lfloor X\rfloor+1}\frac{1}{d^2}\le\frac{1}{(\lfloor X\rfloor+1)^2}+\int_{\lfloor X\rfloor+1}^{\infty}\frac{dt}{t^2}<\frac{1}{X}+\frac{1}{X}=\frac{2}{X}$$
であり、$\sum_{d=1}^{\infty}\mu(d)d^{-2}=1/\zeta(2)$（HW08 Theorem 287）なので
$$h\sum_{d\le X}\frac{\mu(d)}{d^2}=\frac{h}{\zeta(2)}+O^{*}\!\left(\frac{2h}{X}\right)=\frac{cx^{1/3}}{\zeta(2)}+O^{*}(2c)$$
である。以上を合わせて
$$Q_2(x+cx^{1/3})-Q_2(x)=\frac{cx^{1/3}}{\zeta(2)}+O^{*}\!\left(2x^{1/3}+2c+1\right)$$
を得る。$\square$

$x>c^6$ より $1< c< x^{1/6}$ なので thm-powerfree-roth が適用でき、
$$Q_2(x+cx^{1/3})-Q_2(x)\ge\left(\frac{c}{\zeta(2)}-2\right)x^{1/3}-(2c+1)$$
である。$c/\zeta(2)-2>0$ であり、$x^{1/3}>(2c+1)/(c/\zeta(2)-2)$ なので右辺は正である。$\square$

$Q_2(q_n)=n$ なので cor-powerfree-squarefree-density により $n=q_n/\zeta(2)+O(\sqrt{q_n})$、すなわち $q_n=\zeta(2)n+O(\sqrt{q_n})$ である。これから $q_n\le2\zeta(2)n$ が十分大きい $n$ で成り立ち、$O(\sqrt{q_n})=O(\sqrt{n})$ となる。間隔については、cor-powerfree-roth-gap により、定数 $c>2\zeta(2)$ に対し十分大きい $x$ で区間 $(x,x+cx^{1/3}]$ に平方因数をもたない整数があるので、$x=q_n$ とすれば $q_{n+1}\le q_n+cq_n^{1/3}$、すなわち十分大きい $n$ で $q_{n+1}-q_n\le cq_n^{1/3}=O(n^{1/3})$ である。有限個の $n$ を除けば定数を大きくとって全 $n$ で成り立たせることができる。$\square$