Dirichlet級数

$\sum_{n=1}^\infty f(n)/n^s$, $\sum_{n=1}^\infty g(n)/n^s$ がともに絶対収束するので
$$\left(\sum_{d=1}^M\abs{\frac{f(d)}{d^s}}\right)\left(\sum_{m=1}^M\abs{\frac{g(m)}{m^s}}\right)\rightarrow \left(\sum_{d=1}^\infty \abs{\frac{f(d)}{d^s}}\right)\left(\sum_{m=1}^\infty \abs{\frac{g(m)}{m^s}}\right)\ (M\rightarrow\infty)$$
が成り立つ。よって任意の $\epsilon>0$ に対して、$M$ が十分大きいとき
$$\abs{\left(\sum_{d=1}^\infty \abs{\frac{f(d)}{d^s}}\right)\left(\sum_{m=1}^\infty \abs{\frac{g(m)}{m^s}}\right)-\left(\sum_{d=1}^M\abs{\frac{f(d)}{d^s}}\right)\left(\sum_{m=1}^M\abs{\frac{g(m)}{m^s}}\right)}<\epsilon$$
が成り立つ。

任意の $\epsilon>0$ に対して、上記のように整数 $M$ をとると、$N>M^2$ のとき
$$\begin{split} \sum_{n=1}^N \frac{h(n)}{n^s}= & \sum_{n=1}^N \sum_{d\mid n}\frac{f(d)g(n/d)}{n^s} \\ = & \sum_{n=1}^N \sum_{n=dm}\frac{f(d)}{d^s}\times\frac{g(m)}{m^s} \\ = & \sum_{d\geq 1, m\geq 1, dm\leq N}\frac{f(d)}{d^s}\times\frac{g(m)}{m^s} \end{split}$$
となるが、
$$\begin{split} & \abs{\left(\sum_{d=1}^\infty \frac{f(d)}{d^s}\right)\left(\sum_{m=1}^\infty \frac{g(m)}{m^s}\right) -\left(\sum_{d\geq 1, m\geq 1, dm\leq N}\frac{f(d)}{d^s}\times\frac{g(m)}{m^s}\right)} \\ & \qquad \leq \sum_{dm>N}\abs{\frac{f(d)}{d^s}\times\frac{g(m)}{m^s}} \\ & \qquad \leq \abs{\left(\sum_{d=1}^\infty \abs{\frac{f(d)}{d^s}}\right)\left(\sum_{m=1}^\infty \abs{\frac{g(m)}{m^s}}\right)-\left(\sum_{d=1}^M \abs{\frac{f(d)}{d^s}}\right)\left(\sum_{m=1}^M \abs{\frac{g(m)}{m^s}}\right)} \\ & \qquad <\epsilon \end{split}$$
となるから、
$$\begin{split} \sum_{n=1}^\infty \frac{h(n)}{n^s}= & \lim_{N\rightarrow\infty}\left(\sum_{d\geq 1, m\geq 1, dm\leq N}\frac{f(d)}{d^s}\times\frac{g(m)}{m^s}\right) \\ = & \left(\sum_{n=1}^\infty\frac{f(n)}{n^s}\right)\left(\sum_{n=1}^\infty\frac{g(n)}{n^s}\right) \end{split}$$
となる。

$\sum_{n=1}^\infty \abs{f(n)}/n^\sigma$ が収束する実数 $\sigma$ の下限を $\sigma_1$ とおく。

$\operatorname{Re} s>\sigma_1$ とすると、$\operatorname{Re} s\geq \sigma_2>\sigma_1$ かつ $\sum_{n=1}^\infty \abs{f(n)}/n^{\sigma_2}$ が収束する実数 $\sigma_2$ がとれる。
$$\sum_{n=1}^\infty\abs{\frac{f(n)}{n^s}}\leq \sum_{n=1}^\infty \frac{\abs{f(n)}}{n^{\sigma_2}}$$
より、$\sum_{n=1}^\infty \abs{f(n)/n^s}$ も収束する。

一方、$\sigma=\operatorname{Re} s<\sigma_1$ とすると、$\sum_{n=1}^\infty \abs{f(n)/n^s}=\sum_{n=1}^\infty \abs{f(n)}/n^\sigma$ は収束しないから、
$\sum_{n=1}^\infty f(n)/n^s$ は収束しない。
よって、$\sigma_0=\sigma_1$ と定まる。

$h(n)=f(n)-g(n)$ により $h(n)$ を定め、対応するDirichlet級数を
$$H(s)=\sum_{n=1}^\infty \frac{h(n)}{n^s}=F(s)-G(s)$$
とおくと、$k=1, 2, \ldots$ について $H(s_k)=0$ となる。

$h(n)\neq 0$ となる $n$ が存在すると仮定し、そのような整数 $n$ で最小のものを $N$ とおく。
$$H(s)=\sum_{n=N}^\infty \frac{h(n)}{n^s}=\frac{h(N)}{N^s}+\sum_{n=N+1}^\infty \frac{h(n)}{n^s}$$
となるので、$k=1, 2, \ldots$ について
$$\frac{h(N)}{N^{s_k}}+\sum_{n=N+1}^\infty \frac{h(n)}{n^{s_k}}=H(s_k)=0$$
となる。$\sigma_k=\operatorname{Re} s_k$ とおくと
$$\frac{\abs{h(N)}}{N^{\sigma_k}}=\abs{\sum_{n=N+1}^\infty \frac{h(n)}{n^s}}\leq \sum_{n=N+1}^\infty \frac{\abs{h(n)}}{n^{\sigma_k}}$$
となる。仮定より $\sigma_k\rightarrow +\infty$ となるから、 $k$ が大きいとき $\sigma_k>\alpha$ となる。つまり、$k\geq k_0$ のとき $\sigma_k>\alpha$ となる $k_0$ が存在する。

$C=(N+1)^\alpha \sum_{n\geq N+1}\abs{h(n)}/n^\alpha$ とおくと、$k\geq k_0$ のとき
$$\frac{h(N)}{N^{\sigma_k}}\leq \sum_{n=N+1}^\infty \frac{\abs{h(n)}}{n^{\sigma_k}} \leq \frac{1}{(N+1)^{\sigma_k-\alpha}}\sum_{n=N+1}^\infty \frac{\abs{h(n)}}{n^\alpha}=\frac{C}{(N+1)^{\sigma_k}}$$
となるから、
$$\abs{h(N)}\leq C\left(\frac{N}{N+1}\right)^{\sigma_k}$$
となるが、$k\rightarrow \infty$ のとき、右辺は $0$ に収束する。よって $h(N)=0$ となって、矛盾する。

各素数 $p$ について
$$1+f(p)+f(p^2)+\cdots$$
は絶対収束する。実際、整数 $e\geq 1$ について
$$\abs{\sum_{f\geq e}f(p^f)}\leq \sum_{f\geq e}\abs{f(p^f)}\leq \sum_{n\geq p^e}\abs{f(n)}$$
となり、$e\rightarrow \infty$ のとき、右辺は $0$ に収束する。

$$P(x)=\prod_{p\leq x} (1+f(p)+f(p^2)+\cdots)$$
とおく。また、$x$ 以下の素数を $p_1, \ldots, p_r$ とおいて、
$$Q(x, y)=\sum_{p_1^{e_1} p_2^{e_2} \cdots p_r^{e_r}\leq y} f(p_1^{e_1})f(p_2^{e_2}) \cdots f(p_r^{e_r})$$
とおく。先に記したことから $1\leq i\leq r$ について $1+f(p_i)+f(p_i^2)+\cdots$ は絶対収束するので
$$\lim_{y\rightarrow +\infty}Q(x, y)=P(x)\label{eq1}\tag{*}$$
となる。

$A(x, y)=\{n=p_1^{e_1} p_2^{e_2} \cdots p_r^{e_r}\leq y\}$ とおくと、
$$Q(x, y)=\sum_{p_1^{e_1} p_2^{e_2} \cdots p_r^{e_r}\leq y} f(p_1^{e_1})f(p_2^{e_2}) \cdots f(p_r^{e_r}) =\sum_{p_1^{e_1} p_2^{e_2} \cdots p_r^{e_r}\leq y} f(p_1^{e_1} p_2^{e_2}\cdots p_r^{e_r})=\sum_{n\in A(x, y)}f(n)$$
となる。$y\geq x$ のとき $A(x, y)$ は $x$ 以下の整数をすべて含んでいるから $S=\sum_n f(n)$ とおくと
$$\abs{S-Q(x, y)}\leq \sum_{n\not\in A(x, y)}\abs{f(n)}\leq \sum_{n>x}\abs{f(n)}$$
となる。\eqref{eq1}より
$$\abs{S-P(x)}\leq \sum_{n>x}\abs{f(n)}$$
となるが、$\sum_n f(n)$ は絶対収束するから、右辺は $0$ に収束する。つまり $P(x)$ は $S=\sum_n f(n)$ に収束する。