Noether環

$I$ を $R[X]$ のイデアルとする。$J$ を $$F(X)=a_d+a_{d-1} X+\cdots +a_0 X^d \in I$$ の最高次の項の係数としてあらわれる $a_0\in R$ 全体の集合とすると、$J$ は $R$ 上のイデアルとなる。実際、$a_0\in J$ のとき、$J$ の定義より $$F(X)=a_r+a_{r-1} X+\cdots +a_0 X^r$$ となる多項式 $F(X)\in I$ がとれるが、$kF(X)\in I$ だから、$ka_0\in J$ となる。さらに $b_0\in J$ のとき $$G(X)=b_s+b_{s-1}+\cdots +b_0 X^s$$ となる多項式 $G(X)\in I$ がとれる。$r\geq s$ ならば $F(X)+X^{r-s}G(X)\in I$ となり、$s\geq r$ のとき $X^{s-r}F(X)+G(X)\in I$ となることから、$a_0+b_0\in J$ となる。

$R$ は Noether環だから、$J$ は有限生成である。つまり $J$ はある $a^{(1)}, a^{(2)}, \ldots, a^{(t)}\in R$ によって生成される。$J$ の定義から、$i=1, 2, \ldots, t$ について $a^{(i)}$ を最高次の係数とする多項式 $F_i\in I$ が存在する。

ここで整数 $m\geq 0$ について、$J_m$ を、$J$ のうち、$m$ 次以下の $I$ の多項式の最高次の項の係数全体の集合とすると、同様にして $J_m$ もイデアルとなり、$J_m$ はある $a^{(m, j)}\ (1\leq j\leq t_m)$ により生成され、$a^{(m, j)}$ を最高次の係数にもつ多項式 $F_{m, j}\in J_m\subset I\ (1\leq j\leq t_m)$ が存在することがわかる。

$N$ を $F_1, F_2, \ldots, F_t$ の次数の最大値とする。$I_0$ を $F_i$ および $F_{m, j}\ (m< N, 1\leq j\leq t_m)$ から生成されるイデアルとすると、$I_0$ は有限生成で、$I_0\subset I$ となる。$I\subset I_0$ ならば、$I=I_0$ は有限生成となるので、以下では $I\subset I_0$ を示す。

$I_0$ に属さない多項式が存在すると仮定して矛盾を導く。そのような多項式で次数が最小のものをひとつとり、それを $G$ とする。$G$ の最高次の係数を $a$ とおく。$a\in J$ となるので $a=\sum_{i=1}^t k_i a^{(i)}$ となる $k_1, k_2, \ldots, k_t\in R$ がとれる。

$G$ の次数が $N$ 以上のとき、$i=1, 2, \ldots, t$ について $k_i$ を最高次の係数にもち、次数が $N-\deg F_i$ となる多項式 $H_i$ をとると、$G$ の最高次の係数は $\sum_{i=1}^t H_i F_i$ の最高次の係数と一致する。つまり $G_0=G-\sum_{i=1}^t H_i F_i\in I$ とおくと $G_0$ の次数は $G$ の次数より小さい。よって、$G$ の定義から $G_0\in I_0$ となるから、$G=G_0+\sum_{i=1}^t H_i F_i\in I_0$ となって、矛盾する。

$G$ の次数が $m< N$ となるとすると、$a\in J_m$ となるので、先程と同様にして $a=\sum_{i=1}^{t_m} k_i a^{(m, i)}$ となる $k_i\in R (1\leq i\leq t_m)$ がとれる。$i=1, 2, \ldots, t_m$ について $k_i$ を最高次の係数にもち、次数が $m-\deg F_{m, i}$ となる多項式 $H_i$ をとると、$G$ の最高次の係数は $\sum_{i=1}^{t_m} H_i F_{m, i}$ の最高次の係数と一致する。つまり $$G_0=G-\sum_{i=1}^{t_m} H_i F_{m, i}\in I$$ とおくと $G_0$ の次数は $G$ の次数より小さい。よって、$G$ の定義から $G_0\in I_0$ となるから、$$G=G_0+\sum_{i=1}^{t_m} H_i F_{m, i}\in I_0$$ となって、やはり矛盾する。

これらのことから、$I\subset I_0$ でなければならず、したがって $I=I_0$ は有限生成であることが示された。