Noether環
概要
Noether環（Noetherian ring）とは、イデアルの任意の昇鎖 $I_1\subset I_2\subset\cdots$ が有限で止まる可換環のことであり、これはすべてのイデアルが有限生成であることや、イデアルの極大条件と同値である。体、単項イデアル整域（$\mathbb{Z}$ や $K[X]$）、有限環は Noether 環であり、Hilbert の基底定理により Noether 環上の多項式環 $R[X_1,\dots,X_n]$ も Noether 環である。Noether 性は剰余環と局所化に遺伝するが部分環には遺伝せず、無限変数の多項式環 $K[X_1,X_2,\dots]$ や連続関数環 $C([0,1])$ は Noether 環でない。代数幾何学・数論に現れる環のほとんどが Noether 環であり、多くの有限性の根拠となる。
定義
環 $R$ のイデアル $I$ が有限生成（finitely generated）であるとは、有限個の元 $a_1,\dots,a_r\in I$ が存在して
$$
I=(a_1,\dots,a_r):=\{c_1a_1+\cdots+c_ra_r\mid c_1,\dots,c_r\in R\}
$$
となることをいう。$r=1$ のとき $I=(a_1)$ を単項イデアルという。
環 $R$ について、次の 3 条件は同値である。
- $R$ は Noether 環である（イデアルの昇鎖条件）。
- $R$ のイデアルからなる空でない任意の集合 $\mathcal{S}$ は、包含関係に関する極大元をもつ（極大条件）。すなわち $I\in\mathcal{S}$ で、$I\subset J\in\mathcal{S}$ ならば $I=J$ となるものが存在する。
- $R$ のすべてのイデアルは有限生成である。
条件 3 は「Noether 環とは、すべてのイデアルが有限生成である環」と読める。実用上はこの形を定義に採ることも多い。
直感
Noether 環は「イデアルが有限個の元で書き尽くせる環」であり、無限に細かくなっていく構造をもたない環である。イデアルの列 $I_1\subset I_2\subset\cdots$ を「条件を次々に付け加える」操作とみると、Noether 環では有限回で新しい条件が出なくなる。これは、多項式の方程式系が有限個の方程式で置き換えられること（Hilbert の基底定理）、および代数幾何学で代数的集合の降鎖が有限で止まることの代数的な根拠である。整数環 $\mathbb{Z}$、体、体上の多項式環とその剰余環、すなわち代数幾何学や数論で扱う環のほとんどは Noether 環であり、Noether 性は「有限性」を保証する最も基本的な仮定として使われる。
例と反例
- 体 $K$ は Noether 環である。$K$ のイデアルは $(0)$ と $K=(1)$ の 2 つしかなく、どちらも有限生成である。
- すべてのイデアルが単項イデアルである整域、すなわち単項イデアル整域は Noether 環である。単項イデアルは 1 個の元で生成されるからである。特に整数環 $\mathbb{Z}$（イデアルは $n\mathbb{Z}$ の形）と、体 $K$ 上の 1 変数多項式環 $K[X]$ は Noether 環である（いずれも単項イデアル整域であることは 単項イデアル整域・多項式環 を参照）。
- 有限環（例えば $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$）は Noether 環である。イデアルが有限個しかないので、イデアルの昇鎖は有限で止まる。
thm-noetherian-ring-hilbert により、Noether 環 $R$ 上の $n$ 変数多項式環 $R[X_1,\dots,X_n]$ は Noether 環である。特に $\mathbb{Z}[X_1,\dots,X_n]$ と、体 $K$ 上の $K[X_1,\dots,X_n]$ は Noether 環である。さらに prop-noetherian-ring-quotient により、その剰余環 $K[X_1,\dots,X_n]/I$、すなわち体上有限生成環はすべて Noether 環である。例えば $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]\cong\mathbb{Z}[X]/(X^2+5)$ は Noether 環である。なお $\mathbb{Z}[X]$ は Noether 環だが単項イデアル整域ではない（イデアル $(2,X)$ は単項でない。多項式環）。
体 $K$ 上の可算無限個の変数 $X_1,X_2,\dots$ に関する多項式環 $R=K[X_1,X_2,\dots]$（各元は有限個の変数のみを含む多項式）は整域であるが（満たす性質）、Noether 環でない（満たさない性質）。実際、イデアルの列
$$
(X_1)\subset(X_1,X_2)\subset(X_1,X_2,X_3)\subset\cdots
$$
はどの包含も真である。$X_{n+1}\in(X_1,\dots,X_n)$ と仮定すると、$X_1,\dots,X_n$ に $0$ を代入し他の変数を保つ環準同型 $R\to K[X_{n+1},X_{n+2},\dots]$ でイデアル $(X_1,\dots,X_n)$ は $0$ に写るが、$X_{n+1}$ は $X_{n+1}\neq0$ に写るので矛盾する。同様に、イデアル $(X_1,X_2,\dots)$ は有限生成でない。有限個の多項式 $f_1,\dots,f_r$ に現れる変数は有限個なので、それらを含まない $X_m$ は $(f_1,\dots,f_r)$ に属さないからである。
この例は「整域 $\Rightarrow$ Noether 環」という含意を破る。また、$R$ は Noether 環である体 $K(X_1,X_2,\dots)$（$R$ の商体）の部分環なので、Noether 環の部分環は Noether 環とは限らないことも示している。剰余環・局所化とは対照的である（prop-noetherian-ring-quotient・prop-noetherian-ring-localization）。
閉区間 $[0,1]$ 上の実数値連続関数全体のなす環 $C([0,1])$（和と積は各点ごと）は Noether 環でない。$n\ge1$ に対し
$$
I_n:=\{f\in C([0,1])\mid f(x)=0\ (0\le x\le 1/n)\}
$$
とおく。$I_n$ はイデアルであり（$[0,1/n]$ 上で $0$ の関数の和、および任意の連続関数との積は再び $[0,1/n]$ 上で $0$）、$[0,1/(n+1)]\subset[0,1/n]$ より $I_n\subset I_{n+1}$ である。関数 $f_n(x):=\max\{x-1/(n+1),\,0\}$ は連続で、$[0,1/(n+1)]$ 上で $0$、$f_n(1/n)=1/n-1/(n+1)>0$ なので $f_n\in I_{n+1}\setminus I_n$ である。よって昇鎖 $I_1\subsetneq I_2\subsetneq\cdots$ は止まらない。$C([0,1])$ は可換環である（満たす性質）が昇鎖条件を満たさない（満たさない性質）。
性質
$R$ が Noether 環ならば、$R$ 上の 1 変数多項式環 $R[X]$ も Noether 環である。したがって帰納的に、任意の $n\ge1$ について $n$ 変数多項式環 $R[X_1,\dots,X_n]=R[X_1,\dots,X_{n-1}][X_n]$ も Noether 環である。
prop-noetherian-ring-equivalent により、$R[X]$ の任意のイデアル $I$ が有限生成であることを示せばよい。$I=(0)$ なら明らかなので $I\neq(0)$ とする。$0$ でない多項式 $f=a_mX^m+\cdots+a_0$（$a_m\neq0$）に対し、$a_m$ を $f$ の最高次係数、$m$ を次数といい $\deg f=m$ と書く。
$J\subset R$ を、$I$ に属する $0$ でない多項式の最高次係数全体に $0$ を加えた集合とする。$J$ は $R$ のイデアルである。実際 $a,b\in J\setminus\{0\}$ がそれぞれ $f,g\in I$（$\deg f=m$、$\deg g=n$）の最高次係数なら、$X^nf+X^mg\in I$ は次数 $m+n$ の項の係数が $a+b$ なので、$a+b\neq0$ ならば $a+b\in J$ である。また $c\in R$ について $cf\in I$ の $X^m$ の係数は $ca$ なので、$ca\neq0$ ならば $ca\in J$ である。$R$ は Noether 環なので $J=(a_1,\dots,a_r)$ と書け、各 $a_i$ を最高次係数とする $f_i\in I$ をとる。$n_i:=\deg f_i$、$N:=\max_i n_i$ とおく。
次に $0\le d< N$ の各 $d$ について、$J_d\subset R$ を、$I$ に属する次数がちょうど $d$ の多項式の最高次係数全体に $0$ を加えた集合とする。上と同様の計算（次数 $d$ の 2 つの多項式の和は次数 $d$ 以下で、$X^d$ の係数は最高次係数の和）により $J_d$ も $R$ のイデアルであり、$J_d=(a_{d,1},\dots,a_{d,r_d})$ と書け、各 $a_{d,j}$ を最高次係数とする次数 $d$ の $f_{d,j}\in I$ をとる（$J_d=(0)$ なら生成元は 0 個とする）。
$I_0\subset I$ を、有限個の多項式 $f_i$（$1\le i\le r$）と $f_{d,j}$（$0\le d< N$、$1\le j\le r_d$）が生成する $R[X]$ のイデアルとする。$I=I_0$ を示す。$I\neq I_0$ と仮定し、$I\setminus I_0$ の元のうち次数が最小のもの $g$ をとり、$\deg g=m$、$g$ の最高次係数を $a$ とする。
$m\ge N$ のとき、$a\in J$ より $a=c_1a_1+\cdots+c_ra_r$（$c_i\in R$）と書ける。$h:=\sum_{i=1}^rc_iX^{m-n_i}f_i\in I_0$ は次数 $m$ 以下で $X^m$ の係数が $\sum c_ia_i=a$ なので、$g-h\in I$ は $0$ か次数 $m$ 未満である。$m$ の最小性により $g-h\in I_0$ であり、$g=(g-h)+h\in I_0$ となって矛盾する。
$m< N$ のとき、$a\in J_m$ より $a=c_1a_{m,1}+\cdots+c_{r_m}a_{m,r_m}$ と書ける。$h:=\sum_jc_jf_{m,j}\in I_0$ は次数 $m$ 以下で $X^m$ の係数が $a$ なので、同じ議論で $g\in I_0$ となり矛盾する。
よって $I=I_0$ は有限生成である。多変数の場合は $R[X_1,\dots,X_n]=R[X_1,\dots,X_{n-1}][X_n]$ と $n$ に関する帰納法から従う。$\square$
$R$ が Noether 環で $I$ がそのイデアルならば、剰余環 $R/I$ も Noether 環である。より一般に、Noether 環の環準同型による像は Noether 環である。
$\pi\colon R\to R/I$ を自然な全射とする。$R/I$ のイデアルの昇鎖 $\bar J_1\subset\bar J_2\subset\cdots$ に対し、$J_k:=\pi^{-1}(\bar J_k)$ は $R$ のイデアルで $J_1\subset J_2\subset\cdots$ である。$R$ は Noether 環なのである $n$ について $J_n=J_{n+1}=\cdots$ となる。$\pi$ は全射なので $\pi(\pi^{-1}(\bar J_k))=\bar J_k$ であり、$\bar J_n=\bar J_{n+1}=\cdots$ を得る。環準同型 $\varphi\colon R\to S$ の像は $R/\ker\varphi$ と同型（準同型定理）なので後半も従う。$\square$
$\iota\colon R\to S^{-1}R$、$x\mapsto x/1$ を自然な準同型とする。$S^{-1}R$ の任意のイデアル $J$ について
$$
J=S^{-1}\bigl(\iota^{-1}(J)\bigr):=\{x/s\mid x\in\iota^{-1}(J),\ s\in S\}
$$
が成り立つことを示す。$x\in\iota^{-1}(J)$、$s\in S$ なら $x/s=(1/s)(x/1)\in J$ である。逆に $x/s\in J$ なら $x/1=(s/1)(x/s)\in J$ より $x\in\iota^{-1}(J)$ であり、$x/s\in S^{-1}(\iota^{-1}(J))$ である。
さて $S^{-1}R$ のイデアルの昇鎖 $J_1\subset J_2\subset\cdots$ をとると、$\iota^{-1}(J_1)\subset\iota^{-1}(J_2)\subset\cdots$ は $R$ のイデアルの昇鎖なので、ある $n$ で止まる。上の等式により $J_k=S^{-1}(\iota^{-1}(J_k))$ なので $J_n=J_{n+1}=\cdots$ である。$\square$
$R$ が Noether 環ならば、$R$ 上有限生成な可換環（$R[X_1,\dots,X_n]$ の剰余環と同型な環）はすべて Noether 環である。特に体上有限生成環は Noether 環である。
thm-noetherian-ring-hilbert と prop-noetherian-ring-quotient から直ちに従う。$\square$
環 $R$ について次が成り立つ。
- $R$ が Noether 環であることと、$R$ が $R$ 加群として Noether 加群であることは同値である。
- $R$ が Noether 環ならば、有限生成加群である $R$ 加群はすべて Noether 加群である。すなわち、有限生成 $R$ 加群の部分加群はすべて有限生成である。
補足
関連項目
参考文献
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