有理関数体
$\Gamma(V)$ の商体
$$k(V)=\left\{\frac{\tilde F(X_1, \ldots, X_n)}{\tilde G(X_1, \ldots, X_n)}: \tilde F(X_1, \ldots, X_n), \tilde G(X_1, \ldots, X_n)\in \Gamma(V), G(X_1, \ldots, X_n)\not\in I(V)\right\}$$
を $V$ の有理関数体 (field of rational functions) という。ただし、$F(X_1, \ldots, X_n)\Mod{I(V)}$ を $\tilde F(X_1, \ldots, X_n)$ と記している。
$P(a_1, \ldots, a_n)\in V$ と $f\in k(V)$ について
$$f(X_1, \ldots, X_n)=\frac{\tilde F_0(X_1, \ldots, X_n)}{\tilde G_0(X_1, \ldots, X_n)}$$ となる多項式 $F_0(X_1, \ldots, X_n)\in \K[X_1, \ldots, X_n]$ および $G_0(X_1, \ldots, X_n)\in \K[X_1, \ldots, X_n]\setminus (X_1-a_1, \ldots, X_n-a_n)$ がとれるとき（$P\in V$ のとき $I(V)\subset (X_1-a_1, \ldots, X_n-a_n)$ となることに注意）、
$$f(a_1, \ldots, a_n)=\frac{F_0(a_1, \ldots, a_n)}{G_0(a_1, \ldots, a_n)}$$
が $F_0, G_0$ のとり方によらずに定まる。実際
$$f(X_1, \ldots, X_n)=\frac{\tilde F_0(X_1, \ldots, X_n)}{\tilde G_0(X_1, \ldots, X_n)}=\frac{\tilde F_1(X_1, \ldots, X_n)}{\tilde G_1(X_1, \ldots, X_n)}$$
かつ $F_0, G_0, F_1, G_1\in \K[X_1, \ldots, X_n], G_0, G_1\not\in (X_1-a_1, \ldots, X_n-a_n)$
となるとき、
$$\tilde F_0 \tilde G_1=\tilde F_1 \tilde G_0$$
だが、$(a_1, \ldots, a_n)\in V$ より
$$F_0(a_1, \ldots, a_n) G_1(a_1, \ldots, a_n)=F_1(a_1, \ldots, a_n) G_0(a_1, \ldots, a_n)$$
となるが、 $G_0(a_1, \ldots, a_n)\neq 0$ かつ $G_1(a_1, \ldots, a_n)\neq 0$ となるから
$$\frac{F_0(a_1, \ldots, a_n)}{G_0(a_1, \ldots, a_n)}=\frac{F_1(a_1, \ldots, a_n)}{G_1(a_1, \ldots, a_n)}$$
となる。それで、このとき $f\in k(V)$ は点 $P=(a_1, \ldots, a_n)\in I$ 上で定義されているという。
$f\in k(V)$ が点 $P=(a_1, \ldots, a_n)$ 上で定義されないとき、$P$ を $f$ の 極 (pole) という。
$$f(X_1, \ldots, X_n)=\frac{\tilde F_1(X_1, \ldots, X_n)}{\tilde G_1(X_1, \ldots, X_n)}$$
となる多項式
$$F_1(X_1, \ldots, X_n)\in \K[X_1, \ldots, X_n]\setminus (X_1-a_1, \ldots, X_n-a_n)$$ および $$G_1(X_1, \ldots, X_n)\in (X_1-a_1, \ldots, X_n-a_n)$$
がとれるとき、$(a_1, \ldots, a_n)$ は $f$ の極となる。
$$f(X_1, \ldots, X_n)=\frac{\tilde F_0(X_1, \ldots, X_n)}{\tilde G_0(X_1, \ldots, X_n)}=\frac{\tilde F_1(X_1, \ldots, X_n)}{\tilde G_1(X_1, \ldots, X_n)}$$
となる
$$F_0(X_1, \ldots, X_n)\in \K[X_1, \ldots, X_n], G_0(X_1, \ldots, X_n)\in \K[X_1, \ldots, X_n]\setminus (X_1-a_1, \ldots, X_n-a_n),$$
$$F_1(X_1, \ldots, X_n)\in \K[X_1, \ldots, X_n]\setminus (X_1-a_1, \ldots, X_n-a_n), G_1(X_1, \ldots, X_n)\in (X_1-a_1, \ldots, X_n-a_n)$$
があるとすると、$\tilde F_0 \tilde G_1=\tilde F_1 \tilde G_0$ より
$$F_0 G_1-F_1 G_0\in (X_1-a_1, \ldots, X_n-a_n)$$
となるので
$$0=F_0(a_1, \ldots, a_n)G_1(a_1, \ldots, a_n)=F_1(a_1, \ldots, a_n)G_0(a_1, \ldots, a_n)\neq 0$$
となって矛盾する。
$I=(X^2+Y^2-1)$, $V=V(I)$ とおく。
$$f(X, Y)=\frac{X-1}{Y}\in k(V)$$ とおくと、$Y\in (X+1, Y)$, $X-1\not\in (X+1, Y)$ より $f$ は $(-1, 0)$ を極にもつ。
なお $Y\in (X-1, Y)$ となるが、
$$f(X, Y)=\frac{X^2-1}{Y(X+1)}=\frac{-Y^2}{Y(X+1)}=-\frac{Y}{X+1}$$
とあらわせるので、$(1, 0)$ は $f$ の極ではない。つまり、$f$ は $(-1, 0)$ のみを極にもつ。
$\K$ 上の $n$ 変数有理関数
$$\frac{F(X_1, \ldots, X_n)}{G(X_1, \ldots, X_N)}\in \K(X_1, \ldots, X_n) ~ (F, G\in \K[X_1, \ldots, X_n], \gcd(F, G)=1)$$
について
$$J_{F/G}=\left\{H\in \K[X_1, \ldots, X_n]: \frac{\tilde{F}}{\tilde{G}}\tilde{H} \in \Gamma(V)\right\}$$
は $\K[X_1, \ldots, X_n]$ のイデアルで、$I+(G)$ を含む。$F/G$ の極全体の集合は $V$ の代数的部分集合で、$V(J_{F/G})$ に一致する。
$I=(X^2+Y^2-1)$, $V=V(I)$ とおく。$f(X, Y)=(X-1)/Y\in k(V)$ とおくと、$f(X, Y)=-Y/(X+1)$ となるので、$(X+1, Y)\subset J_f$ となる。
$(X+1, Y)$ は $\K[X, Y]$ の極大イデアルだが、$1\not\in J_f$ だから、$J_f=(X+1, Y)$ となる。$J_f$ は $(Y)+I$ とは一般的には一致しない。
一方、$i\in \K$ の場合、
$$\frac{1}{2}(X+1-Yi)(X+1+Yi)=\frac{(X+1)^2+Y^2}{2}=\frac{X^2+Y^2+2X+1}{2}\equiv X+1\Mod{X^2+Y^2-1}$$
より $J_f=(X+1-Yi)+I$ となる。また、
$$Y=\frac{(X+Yi)-(X-Yi)}{2}=\frac{(X-Yi)((X+Yi)^2-1)}{2}=\frac{(X-Yi)(X+1+Yi)(X-1+Yi)}{2}$$
および
$$X-1=\frac{(X+Yi)-2+(X-Yi)}{2}=\frac{(X-Yi)(X+Yi)^2-2(X+Yi)+1)}{2}=\frac{(X-Yi)(X-1+Yi)^2}{2}$$
より
$$f(X, Y)=\frac{X-1+Yi}{X+1+Yi}$$
となる。
一般的に、$i\in \K$ の場合、$\Gamma(V)$ において $$(X-a, Y-b)=(X+Yi-(a+bi))$$ となる。実際、
$$\frac{1}{2}(X-a+(Y-b)i)(X-a+(Y+b)i)=\frac{(X-a+Yi)^2+b^2}{2}=\frac{X^2-Y^2-2a(X+Yi)+2XYi+1}{2}\equiv (X-a)(X+Yi)\Mod{X^2+Y^2-1}$$
となる。これは $\Gamma(V)$ が PID であることを意味している。
参考文献
