有理関数体

$\Gamma(V)$ の商体
$$k(V)=\left\{\frac{\tilde F(X_1, \ldots, X_n)}{\tilde G(X_1, \ldots, X_n)}: \tilde F(X_1, \ldots, X_n), \tilde G(X_1, \ldots, X_n)\in \Gamma(V), G(X_1, \ldots, X_n)\not\in I(V)\right\}$$
を $V$ の有理関数体 (field of rational functions) という。ただし、$F(X_1, \ldots, X_n)\Mod{I(V)}$ を $\tilde F(X_1, \ldots, X_n)$ と記している。

$$f(X_1, \ldots, X_n)=\frac{\tilde F_0(X_1, \ldots, X_n)}{\tilde G_0(X_1, \ldots, X_n)}$$ となる多項式 $F_0(X_1, \ldots, X_n)\in \K[X_1, \ldots, X_n]$ および $G_0(X_1, \ldots, X_n)\in \K[X_1, \ldots, X_n]\setminus (X_1-a_1, \ldots, X_n-a_n)$ がとれるとき（$P\in V$ のとき $I(V)\subset (X_1-a_1, \ldots, X_n-a_n)$ となることに注意）、
$$f(a_1, \ldots, a_n)=\frac{F_0(a_1, \ldots, a_n)}{G_0(a_1, \ldots, a_n)}$$
が $F_0, G_0$ のとり方によらずに定まる。実際
$$f(X_1, \ldots, X_n)=\frac{\tilde F_0(X_1, \ldots, X_n)}{\tilde G_0(X_1, \ldots, X_n)}=\frac{\tilde F_1(X_1, \ldots, X_n)}{\tilde G_1(X_1, \ldots, X_n)}$$
かつ $F_0, G_0, F_1, G_1\in \K[X_1, \ldots, X_n], G_0, G_1\not\in (X_1-a_1, \ldots, X_n-a_n)$
となるとき、
$$\tilde F_0 \tilde G_1=\tilde F_1 \tilde G_0$$
だが、$(a_1, \ldots, a_n)\in V$ より
$$F_0(a_1, \ldots, a_n) G_1(a_1, \ldots, a_n)=F_1(a_1, \ldots, a_n) G_0(a_1, \ldots, a_n)$$
となるが、 $G_0(a_1, \ldots, a_n)\neq 0$ かつ $G_1(a_1, \ldots, a_n)\neq 0$ となるから
$$\frac{F_0(a_1, \ldots, a_n)}{G_0(a_1, \ldots, a_n)}=\frac{F_1(a_1, \ldots, a_n)}{G_1(a_1, \ldots, a_n)}$$
となる。それで、このとき $f\in k(V)$ は点 $P=(a_1, \ldots, a_n)\in I$ 上で定義されているという。

$f\in k(V)$ が点 $P=(a_1, \ldots, a_n)$ 上で定義されないとき、$P$ を $f$ の 極 (pole) という。