3-1 前層と層
前提知識：Zariski位相、局所化と主開集合、局所環とgerm
なぜ開集合ごとの環が必要か
affine algebraic set $X$ の全体上のregular functionsはcoordinate ring $k[X]$ でした。しかしopen subset $U\subseteq X$ ではdenominatorが $U$ 上で消えないfractionsもregularになります。さらに、異なるopen subsetsで書いたfractionsがoverlapで一致すれば、一つのfunctionとして貼り合わせたいはずです。
必要なのは単一の環ではなく、全てのopen set $U$ に環 $\mathcal F(U)$ を割り当て、包含 $V\subseteq U$ にrestriction map
$$
\mathcal F(U)\longrightarrow\mathcal F(V)
$$
を割り当てる仕組みです。presheafはrestrictionの整合性を、sheafは「局所一致なら大域的に一意に貼れる」ことを公理化します。
一般の圏に値を持つpresheaf・sheafとfunctorial formalismは、圏論とホモロジー代数で扱います。本章はringsとmodulesを中心に、algebraic geometryで直ちに使う形を自足的に構成します。
open setsの反変な仕組み
topological space $X$ 上のpresheaf|環の前層 $\mathcal F$ とは、次のdataである。
- 各open set $U\subseteq X$ に対するring $\mathcal F(U)$。
- 各inclusion $V\subseteq U$ に対するring homomorphism
$$ \rho^U_V:\mathcal F(U)\to\mathcal F(V), $$
called the restriction map。 - $\rho^U_U=\operatorname{id}_{\mathcal F(U)}$。
- $W\subseteq V\subseteq U$ なら
$$ \rho^V_W\circ\rho^U_V=\rho^U_W. $$
大きいopen setから小さいopen setへarrowが向くので、assignmentはinclusionsに対してcontravariantです。restrictionを
$$
s|_V:=\rho^U_V(s)
$$
とも書きます。
$s\in\mathcal F(U)$ を $U$ 上のsection of a presheaf|sectionという。特に $\mathcal F(X)$ の元をglobal section|global sectionといい、
$$
\Gamma(X,\mathcal F):=\mathcal F(X)
$$
とも書く。
sectionは必ずしもordinary functionとは限りません。vector bundleのsection、differential form、solutions of a differential equationなども同じrestriction formalismを持ちます。
最初の例：全functions
各open $U$ に全てのfunctions $U\to k$ のring
$$
\operatorname{Map}(U,k)
$$
を割り当て、restrictionをdomain restrictionとします。identityとcompositionはfunctionsのrestrictionから直ちに従うのでpresheafです。
より一般にcontinuous functions、smooth functions、holomorphic functionsも、対応するspaces上で同じpresheafを作ります。局所的に同じclassのfunctionであることが確認できれば貼り合わせ後も同じclassになるため、これらは後でsheavesになります。
localityとgluing
presheaf $\mathcal F$ が、任意のopen cover
$$
U=\bigcup_{i\in I}U_i
$$
について次の二条件を満たすとき、$\mathcal F$ をsheaf|環の層という。
- locality：$s,t\in\mathcal F(U)$ が全$i$で
$$ s|_{U_i}=t|_{U_i} $$
を満たせば $s=t$。 - gluing：sections $s_i\in\mathcal F(U_i)$ が全$i,j$で
$$ s_i|_{U_i\cap U_j}=s_j|_{U_i\cap U_j} $$
を満たせば、ある $s\in\mathcal F(U)$ が存在して
$$ s|_{U_i}=s_i $$
となる。
localityは「局所的に同じなら同じ」、gluingは「overlapでcompatibleなら貼れる」です。
sheaf axiomで得られるglued sectionはuniqueである。
$s,t\in\mathcal F(U)$ がともに $s_i$ をglueするとします。全$i$で
$$
s|_{U_i}=s_i=t|_{U_i}.
$$
locality axiomをcover $\{U_i\}$ に適用すれば $s=t$ です。□
従ってsheaf axiomは「compatible local sectionsがunique global sectionへ貼れる」と一文で言い換えられます。これをunique gluing of sheaf sections|sectionの一意貼り合わせと呼びます。
equalizerとしてのsheaf axiom
cover $U=\bigcup_iU_i$ に対しmaps
$$
\mathcal F(U)\longrightarrow\prod_i\mathcal F(U_i),
$$
$$
\prod_i\mathcal F(U_i)
\rightrightarrows
\prod_{i,j}\mathcal F(U_i\cap U_j)
$$
を考えます。後二mapsは $(s_i)$ をそれぞれ
$$
(s_i|_{U_i\cap U_j})_{i,j},
\qquad
(s_j|_{U_i\cap U_j})_{i,j}
$$
へ送ります。
$\mathcal F$ がcover $\{U_i\}$ についてsheaf axiomsを満たすことと、sequence
$$
\mathcal F(U)\longrightarrow
\prod_i\mathcal F(U_i)
\rightrightarrows
\prod_{i,j}\mathcal F(U_i\cap U_j)
$$
で最初のmapが後二mapsのequalizerになることは同値である。
最初のmapがinjectiveであることは、二global sectionsの全restrictionsが等しければ元も等しいというlocalityそのものです。
family $(s_i)$ が後二mapsで同じimageを持つことは、全overlapsで
$$
s_i|_{U_i\cap U_j}=s_j|_{U_i\cap U_j}
$$
となるcompatibilityそのものです。そのfamilyが最初のmapのimageに入ることは、あるglobal $s$ が全 $s_i$ をrestrictionsとして持つこと、すなわちgluingです。injectivityによりその $s$ はuniqueです。□
これはequalizer condition for a sheaf|sheaf axiomのequalizer表示です。後のČech complexは、この二本のoverlap mapsの差をさらにtriple overlapsへ延長します。
全functionsはsheafになる
$$
U\longmapsto\operatorname{Map}(U,k)
$$
はsheaf of ringsである。
functions $s,t:U\to k$ がcoverの各 $U_i$ 上で等しければ、任意の $x\in U$ はある $U_i$ に入るので $s(x)=t(x)$。従ってlocalityです。
compatible functions $s_i:U_i\to k$ に対し、$x\in U$ を含む $U_i$ を選び
$$
s(x):=s_i(x)
$$
と定めます。別の $U_j$ も $x$ を含めば $x\in U_i\cap U_j$ であり、compatibilityから $s_i(x)=s_j(x)$。従ってwell-definedです。pointwise operationsから $s$ はsectionで、各restrictionは $s_i$ です。□
constant presheafは一般にsheafでない
固定ring $A$ に対して、nonempty open sets全てへ $A$ を割り当て、nonempty opensの間のrestriction mapsをidentityにするpresheafを考えます。empty setにはone-element ring $0$ を割り当て、empty setへのrestrictionはunique mapとします。ここではzero ringもringに含めます。
上のpresheafを $A$ に値を持つconstant presheafという。
$U=U_1\sqcup U_2$ が二つのnonempty disjoint open setsへ分かれるとします。$a\ne b$ in $A$ を選び、$U_1$ 上で $a$、$U_2$ 上で $b$ というlocal sectionsを取ります。overlapはemptyなのでcompatibility conditionは自動的です。しかしconstant presheafのglobal sectionは一つのelement of $A$ であり、二つの異なるvaluesへrestrictできません。従ってgluingに失敗します。
正しいconstant sheafは各 $U$ にlocally constant functions $U\to A$ を割り当てます。
locally constant functionsのpresheafはsheafである。
localityとfunctionとしてのgluingは全functionsの場合と同じです。compatible locally constant functions $s_i$ をglueした $s$ を取ります。任意の $x\in U$ に対し $x\in U_i$ を選ぶと、$s_i$ は $x$ のneighborhood $V\subseteq U_i$ 上constantです。$s|_V=s_i|_V$ なので $s$ も $x$ の近くでconstantです。従って $s$ はlocally constantです。□
これはlocally constant sheafです。constant presheafをsheafへ直す操作は次の頁のsheafificationの基本例になります。
regular functionsのpresheaf
$X\subseteq\mathbb A^n$ をaffine algebraic setとします。open $U\subseteq X$ 上のfunction $s:U\to k$ がregularであるとは、各 $p\in U$ に対しneighborhood $V\subseteq U$ と $a,b\in k[X]$ with $b|_V\ne0$ があり
$$
s|_V=\frac{a}{b}
$$
と書けることでした。
$$
\mathcal O_X(U)
:=\{s:U\to k\mid s\text{ is regular}\}
$$
と置き、restrictionをfunction restrictionとする。このpresheafを $X$ のregular-function presheaf|正則関数前層という。
$U\mapsto\mathcal O_X(U)$ はpresheaf of ringsである。
二regular functions $s,t$ とpoint $p$ に対し、共通のsmall neighborhoodで
$$
s=\frac{a}{b},
\qquad t=\frac{c}{d}
$$
と書けます。denominators $b,d$ はそこでnonzeroなので
$$
s+t=\frac{ad+bc}{bd},
\qquad st=\frac{ac}{bd}
$$
もregularです。constant functions、additive inverseもregularなので $\mathcal O_X(U)$ はringです。
$V\subseteq U$ へfunctionをrestrictしても、各pointの周りのfraction representationはそのまま使えるのでregularです。function restrictionsはidentityとcomposition lawsを満たすためpresheafです。□
regular functionsはsheafを成す
$\mathcal O_X$ はsheaf of ringsである。
localityはfunctionsとしてのlocalityから従います。
open cover $U=\bigcup_iU_i$ とcompatible regular functions
$$
s_i\in\mathcal O_X(U_i)
$$
を取ります。全functions sheafのgluingにより、unique function $s:U\to k$ with $s|_{U_i}=s_i$ が得られます。この $s$ がregularであることを示します。
任意の $p\in U$ に対し $p\in U_i$ を選びます。$s_i$ はregularなので、あるneighborhood $V\subseteq U_i$ of $p$ で
$$
s_i|_V=\frac{a}{b},
\qquad b|_V\ne0
$$
と書けます。$s|_V=s_i|_V$ なので $s$ も $p$ の近くで同じfraction表示を持ちます。全pointsで成立するため $s$ はregularです。従ってgluing axiomも満たします。□
regular functionsのsheaf $\mathcal O_X$ を $X$ のstructure sheaf|構造層という。pair
$$
(X,\mathcal O_X)
$$
はtopological spaceだけでなく各open set上のfunctionsを保持する。
「局所化と主開集合」の結果からprincipal open $D_X(f)$ では
$$
\Gamma(D_X(f),\mathcal O_X)
\cong k[X]_f.
$$
従ってstructure sheafはcoordinate ringのlocalizationsをopen setsに沿って貼り合わせたものです。
basis上でsheaf axiomを確認する
Zariski topologyではprincipal opensがbasisをなします。全open coversについて毎回sheaf axiomを証明する代わりに、basis coversだけを検査できます。
$\mathcal B$ をtopology of $X$ のbasisとする。presheaf $\mathcal F$ が、任意のopen set $U$ と、basis elementsからなる任意のcover
$$
U=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}B_\lambda,
\qquad B_\lambda\in\mathcal B
$$
についてlocalityとgluingを満たすなら、$\mathcal F$ はsheafである。
任意のopen cover $U=\bigcup_iU_i$ を取り、まずlocalityを示します。$s,t\in\mathcal F(U)$ が全 $U_i$ 上で一致するとします。各point $x\in U$ に対し、ある $i(x)$ とbasis element $B_x$ を
$$
x\in B_x\subseteq U_{i(x)}
$$
となるように選べます。$\{B_x\}_{x\in U}$ は $U$ のbasis coverであり、各 $B_x$ 上で $s$ と $t$ は一致します。仮定したbasis-cover localityから $s=t$ です。
次にcompatible sections $s_i\in\mathcal F(U_i)$ を取ります。上と同じbasis refinementを選び、$B_x$ 上に
$$
t_x:=s_{i(x)}|_{B_x}
$$
を置きます。$B_x\cap B_y$ 上では、元のcompatibility
$$
s_{i(x)}|_{U_{i(x)}\cap U_{i(y)}}
=s_{i(y)}|_{U_{i(x)}\cap U_{i(y)}}
$$
をさらにrestrictすることにより $t_x=t_y$ です。従って仮定したbasis-cover gluingから、ある $s\in\mathcal F(U)$ が存在して全 $x$ で $s|_{B_x}=t_x$ となります。
固定した $i$ に対し、$U_i$ を $B_x\subseteq U_i$ となる全basis elementsでcoverします。その各要素上で $s$ と $s_i$ は一致します。仮定したbasis-cover localityをopen set $U_i$ に適用すると
$$
s|_{U_i}=s_i.
$$
従って任意のopen coverについてgluingが成立し、$\mathcal F$ はsheafです。□
これはbasis criterion for sheaves|sheafのbasis判定です。「Specの構造層」ではprincipal opens $D(f)$ 上のlocalizations $A_f$ からSpecのstructure sheafを作る際に使います。
morphism of presheaves and sheaves
presheaves $\mathcal F,\mathcal G$ のmorphism of presheaves|morphism $\varphi:\mathcal F\to\mathcal G$ とは、各open $U$ にhomomorphism
$$
\varphi_U:\mathcal F(U)\to\mathcal G(U)
$$
を与え、全inclusions $V\subseteq U$ について
$$
\varphi_V(s|_V)=\varphi_U(s)|_V
$$
を満たすものである。両者がsheavesならmorphism of sheaves|sheaf morphismという。
つまりdiagram
$$
\begin{array}{ccc}
\mathcal F(U)&\xrightarrow{\varphi_U}&\mathcal G(U)\\
\downarrow&&\downarrow\\
\mathcal F(V)&\xrightarrow{\varphi_V}&\mathcal G(V)
\end{array}
$$
がcommuteします。
sheaf morphism $\varphi:\mathcal F\to\mathcal G$ がisomorphismであることと、全open $U$ で $\varphi_U$ がisomorphismであることは同値である。
sheaf isomorphismなら各componentはinverse morphismのcomponentをinverseに持ちます。逆に各 $\varphi_U$ がisomorphismなら $\psi_U=\varphi_U^{-1}$ と置きます。restriction compatibility
$$
\rho^U_V\varphi_U=\varphi_V\rho^U_V
$$
の両側へinversesを合成すれば
$$
\rho^U_V\psi_U=\psi_V\rho^U_V
$$
を得るので、$\psi$ はpresheaf morphismです。componentwiseにidentityとなるため $\psi$ はinverse sheaf morphismです。□
sheaf of modules
$\mathcal O$ をsheaf of ringsとする。各open $U$ に $\mathcal O(U)$-module $\mathcal M(U)$ を割り当て、restrictionsがscalar restrictionsとcompatibleで、$\mathcal M$ 自身がabelian groupsのsheafとなるとき、$\mathcal M$ をsheaf of modules|!FORMULA[196][107439879][0]-module sheafという。
structure sheaf $\mathcal O_X$ 自身は $\mathcal O_X$-module sheafです。ideals of regular functions、differential forms、line bundlesのsectionsもmodule sheavesになります。具体的構成は第39・42章へ送ります。
sheaf axiomがないと何を失うか
presheafはrestrictionを管理しますが、local dataからglobal dataをrecoverできるとは限りません。sheaf axiomは次の二つのfailureを禁止します。
- locality failure：異なるglobal sectionsが全small opensで同じに見える。
- gluing failure：compatible local sectionsがglobal sectionにならない。
constant presheafのdisconnected open setはgluing failureの基本例です。一方、後のcohomologyで現れる「局所sectionsはあるがglobalに貼れない」という現象は、sheaf axiomのfailureではありません。そこではlocal sectionsがpairwise compatibleでないことをhigher overlap dataが測ります。この区別が重要です。
演習
sheaf $\mathcal F$ とopen cover $U=U_1\cup U_2$ に対し、compatible pair $(s_1,s_2)$ のgluingがuniqueであることをsheaf axiomsから示せ。
gluing axiomにより少なくとも一つ $s\in\mathcal F(U)$ with $s|_{U_i}=s_i$ が存在します。二つ $s,t$ が存在すれば両restrictionsは各 $U_i$ で $s_i$ に等しいので、locality axiomから $s=t$ です。□
discrete two-point space $X=\{p,q\}$ 上のconstant presheaf with value $A$ が、$A$ がone-element ringでない限りsheafでないことを示せ。
$X=\{p\}\sqcup\{q\}$ はdisjoint open coverです。異なる $a,b\in A$ を選び、$\{p\}$ 上で $a$、$\{q\}$ 上で $b$ を取ります。overlapはemptyなのでcompatibleです。しかし $X$ 上のsectionは一つの $c\in A$ で、identity restrictionsにより両opensへ同じ $c$ を送ります。$a\ne b$ を同時に実現できずgluingが失敗します。□
continuous real-valued functions $U\mapsto C^0(U,\mathbb R)$ がsheafを成すことを証明せよ。
localityとfunction gluingは全functionsの場合と同じです。compatible continuous $f_i:U_i\to\mathbb R$ をpointwiseにglueして $f:U\to\mathbb R$ を得ます。任意のopen $O\subseteq\mathbb R$ に対し
$$
f^{-1}(O)\cap U_i=f_i^{-1}(O)
$$
は $U_i$ でopen、従って $U$ でopenです。これらのunionが $f^{-1}(O)$ なので $f$ はcontinuousです。□
$X=\mathbb A^1$、$U=D(x)$ とする。$1/x$ が $\mathcal O_X(U)$ のsectionだが $\mathcal O_X(X)=k[x]$ のsectionではないことを説明せよ。
$U$ 上ではdenominator $x$ がnowhere zeroなので $1/x$ はregularです。従って
$$
1/x\in\Gamma(D(x),\mathcal O_X)\cong k[x]_x.
$$
もしglobal regularなら $1/x$ はpolynomial $p(x)$ と等しく、$xp(x)=1$ in $k[x]$ となります。しかし $x$ はunitでないので不可能です。従ってglobal sectionではありません。□
sheaf morphisms $\varphi:\mathcal F\to\mathcal G$、$\psi:\mathcal G\to\mathcal H$ のcomponentwise compositionがsheaf morphismになることを示せ。
各open $U$ で $(\psi\circ\varphi)_U=\psi_U\circ\varphi_U$ と置きます。$V\subseteq U$ と $s\in\mathcal F(U)$ に対し
$$
(\psi\circ\varphi)_U(s)|_V
=\psi_U(\varphi_U(s))|_V
=\psi_V(\varphi_U(s)|_V)
=\psi_V(\varphi_V(s|_V))
=(\psi\circ\varphi)_V(s|_V).
$$
従ってrestriction compatibilityを満たします。□
この章で得た橋
presheafは全open sets上のsectionsとrestrictionsを反変に組織し、sheafはlocalityとunique gluingを課します。全functions、locally constant functions、regular functionsはsheavesですが、naive constant presheafはdisconnected opensでgluingに失敗します。affine algebraic setのstructure sheafはprincipal opens上でcoordinate-ring localizationsを回収し、spaceとfunctionsを一体として保持します。
次の頁ではsectionsの一点近傍での情報をstalkとして取り出し、任意のpresheafを同じstalksを持つsheafへ直すsheafificationを構成します。
参考文献
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