因果構造の連続性
常に $t^-$ は下半連続、$t^+$ は上半連続、$I^\pm$ は内側連続であるが、$t^\pm$ は連続とは限らないし、$I^\pm$ も外側連続とは限らいない。
後者も成り立つなら、因果構造自体がある意味で連続であると言える。
ここでは因果構造が連続であるということの意味をはっきりさせ、いつくかの特徴づけを与える。
$t^\pm$ が連続であることと $I^\pm$ が外側連続であることは同値である。
$I^-$ が外側連続であるとする。
$t^-$ を測度 $\mu$ に関する過去体積関するとする。
任意の点 $p\in M$ に対して、$K\subset M\backslash \overline{I^-(p)}$ で $\mu(M\backslash \overline{I^-(p)})-\varepsilon<\mu(K)$ となるコンパクト集合 $K$ を取ると、外側連続性より $p$ の近傍 $U$ があり、点列 $\{p_n\}\in U,\ p_n\rightarrow p$ に対して、$K\subset M\backslash \overline{I^-(p_n)}$ となる。
よって $t^-(p_n)<\mu(M)-\mu(K)< t^-(p)+\varepsilon$ であるから上半連続である。
$t^-$ は常に下半連続であるから連続である。
逆に $t^-$ が連続、従って上半連続であるとする。（途中）
$I^\pm$ が外側連続であるとき、$I^\pm$ を $M$ から $M$ の冪集合への写像と見ても連続である。
従ってこのとき、単に $I^\pm$ が連続であるということがある。
$t^\pm$ が連続であったとしてもtime functionになるとは限らない。
因果構造の連続性に関してもう一つ同値な特徴づけがある。
それが以下の反射律である。
時空 $(M,g)$ が点 $q\in M$ において過去反射的(past reflecting) (resp. 未来反射的(future reflecting)) であるとは、次の同値な３つの条件を満たすときを言う。
$I^+(p)\supset I^+(q)\ \Rightarrow\ I^-(p)\subset I^-(q)$ (resp. $I^-(p)\supset I^-(q)\ \Rightarrow\ I^+(p)\subset I^+(q)$)
$q\in \overline{I^+(p)}\ \Rightarrow\ p\in \overline{I^-(q)}$ (resp. $q\in \overline{I^-(p)}\ \Rightarrow\ p\in \overline{I^+(q)}$)
$q\in \partial I^+(p)\ \Rightarrow\ p\in \partial I^-(q)$ (resp. $q\in \partial I^-(p)\ \Rightarrow\ p\in \partial I^+(q)$)
さらに任意の点が過去反射的 (resp. 未来反射的) であるとき、時空 $(M,g)$ は過去反射的 (resp. 未来反射的) であるという。
過去反射的かつ未来反射的であるとき、時空 $(M,g)$ は反射的であるという。
$(1)\Leftrightarrow(2)$
$I^+(q)\subset I^+(p)\Leftrightarrow q\in\overline{I^+(p)}$ と $I^-(p)\subset I^-(q)\Leftrightarrow p\in\overline{I^-(q)}$ を示せばよい。
$I^+(q)\subset I^+(p)$ とする。
点列 $\{q_n\}\in I^+(q),\ q_n\rightarrow q$ を考えると、$q\in\overline{I^+(p)}$ である。
逆に、$q\in\overline{I^+(p)}=\overline{J^+(p)}$ とする。
$q'\in I^+(q)$ に対して $q,q'$ を結ぶ時間的曲線を $\alpha$とする。
$q$ の小さい近傍を $U$ とし、$\bar{q}\in\alpha\cap U\cap I^+(q)$ を任意に選ぶ。
点列 $\{q_n\}\in I^-(\bar{q})\cap U$ で $q_n\rightarrow q$ かつ $q_n\in I^+(p)$ となるものが存在する($q\in \overline{I^+(p)}$ より)。
このとき $p<< q_n<<\bar{q}<< q'$ であるから $I^+(q)\subset I^+(p)$ である。
よって $I^+(q)\subset I^+(p)\Leftrightarrow q\in\overline{I^+(p)}$ となる。
$I^-(p)\subset I^-(q)\Leftrightarrow p\in\overline{I^-(q)}$ も同様である。
$(2)\Rightarrow(3)$
$q\in \partial I^+(p)$ ならば、$q\in \overline{I^+(p)}$ かつ $q\notin I^+(p)$ である。
(3)を仮定しているから、$p\in\overline{I^-(q)}$ かつ $p\notin I^-(q)$ となり $p\in\partial I^-(q)$ である。
$(3)\Rightarrow(2)$
$q\in\overline{I^+(p)}$ ならば、$q\in\partial I^+(p)$ または $q\in I^+(p)$ である。
(2)を仮定しているから、$p\in\partial I^-(q)$ または $p\in I^-(q)$ となり $p\in\overline{I^-(p)}$ である。
反射律に関して次が成り立つ。
時空 $(M,g)$ において、$I^-$ (resp. $I^+$) が（外側）連続であることと、過去反射的 (resp. 未来反射的) であることは同値である。
$I^-$ が外側連続であるとする。
特に $q\in M$ において $I^-$ は外側連続であるとする。
$q\in \overline{I^+(p)}$ かつ $p\notin \overline{I^-(q)}$ となる $p\in M$ が存在すると仮定して矛盾を導く。
$p\notin \overline{I^-(q)}$ と $I^-$ の外側連続性により、$q$ の適当な近傍 $V$ があり、任意の $q'\in V$ に対して、$p\notin \overline{I^-(q')}$ とできる。
しかし $q\in \overline{I^+(p)}$ であるから、$q'\in V$ で $p\in I^-(q')$ となるものが存在して矛盾する。
逆に、過去反射的であるとする。
$I^-$ が外側連続でないとして矛盾を導く。
$I^-$ が外側連続でないから、コンパクト集合 $K$ と $p\in M$ で $K\cap \overline{I^-(p)}=\emptyset$ かつ 点列 ${p_n}\rightarrow p$ で $K\cap\overline{I^-}(p_n)\neq\emptyset$ となるものが存在するようなものがある。
点列 $r_n\in K\cap\overline{I^-}(p_n)$ を任意に選び、必要なら部分列を取ることで $r_n\rightarrow r\in K$ とする。
任意の $s \in I^-(r)$ に対して、$n$ が十分大きいとき $p_n\in I^+(s)$ であるから、$p\in\overline{I^+(s)}$ である。
過去反射律より $s\in \overline{I^-(p)}$ であり、従って $I^-(r)\subset\overline{I^-(p)}$ である。
よって $r\in \overline{I^-(r)}\subset\overline{I^-(p)}$ であるが、$r\in K$ であるから、$K\cap \overline{I^-(p)}=\emptyset$ に矛盾する。
この反射律による特徴付けはしばしば有効である。
