因果的過去、未来に関する基本的な事項

$p,q$ を結ぶ時間的曲線を $\alpha$ とし、$p,q$ の凸近傍をそれぞれ $C,D$ とする。
$C\cap\alpha$ の点で $p$ の未来にあるものを一つ選び $p^+$ とし、$D\cap\alpha$ の点で $q$ の過去にあるものを一つ選び $q^-$ とする。
$U:=C\cap I^-(p^+),\ V:=D\cap I^+(q^-)$ とすると、作り方から $U,V$ は望みの性質を持つ。

$(1)\ \overline{I^\pm}(p)=\overline{J^\pm}(q)$ の証明

$I^+(p)\subset J^+(p)$ より $\overline{I^+}(p)\subset\overline{J^+}(p)$ である。
逆の包含関係を示す。
$q\in \overline{J^+}(p)$ とする。
$q$ の任意に小さい近傍を $U$ とすると、$q\in \overline{J^+}(p)$ であるから、$U$ は $q'\in J^+(p)$ となる点 $q'$ を含む。
任意の $\bar{q} \in U\cap I^+(q')$ に対して、$\bar{q}\in I^+(J^+(p))=I^+(p)$ であり、$U$ は任意に小さく取れるから $q$ は $I^+(p)$ の点列の集積点となり得る。
よって $\overline{I^+}\supset\overline{J^+}$ である。

$(2)\ {\rm int}J^\pm(p)=I^\pm(p)$ の証明

$I^+(p)$ は開集合であり、$I^+(p)\subset J^+(p)$ であるから、$I^+(p)\subset {\rm int}J^+(p)$ である。
逆の包含関係を示す。
$q\in {\rm int}J^+(p)$ とすると、$q$ の近傍 $U$ で $q\in U\subset {\rm int}J^+(p)$ となるものが存在する。
任意の $q'\in U\cap I^-(q)$ に対して、$q'\in J^+(p)$ であるから、$q\in I^+(q')\subset I^+(J^+(p))=I^+(p)$ である。

$(3)\ \partial J^\pm(p)=\partial I^\pm(p)$ の証明

(1),(2)と $\partial S=\overline{S}\backslash{\rm int}S$ より明らかである。

$p<< q,\ q< r\Rightarrow p<< r$を示せば十分である。$\alpha$を$p,q$を結ぶtimelike曲線、$\beta$を$q,r$を結ぶcausal曲線とする。$\bar\beta$はコンパクトであるから、有限個の(測地的)凸近傍$\{N_1,N_2,\cdots,N_n\}$で覆うことができる。ここで各$N_i$は適当な凸近傍$C_i$に含まれ、かつ相対コンパクトであるとしてよい。

$y_1\in\beta\cap \overline{N_1}$とし、$a\in\alpha\cap N_1$と１つ取る。$C_1$に$a$を中心とした正規座標$\{x^0,x^1,\cdots,x^n\}$を入れる。$f(x):=-(x^0)^2+(x^1)^2+\cdots+(x^n)^2$とすると、$a<< r$であるから、$f(r)<0$である。$\beta\cap\overline{N_1}$の未来向きの接ベクトルを$T$とすると、$T(f)=2(-T^0x^0+T^1x^1+\cdots+T^nx^n)$であり、$T$はcausalであるから、$T(f)\le0$である。よって$f(y_1)<0$であるから、$a$と$y_1$を結ぶ$N_1$に含まれたtimelike測地線が$\overline{ay_1}$が存在する。$\alpha$の$p$から$a$までの部分を$\alpha'$とすると、$\alpha'\cup\overline{ay_1}$は$p$と$y_1$を結ぶ区分的なめらかなtimelike曲線であり、$p<< y_1$である。$y_1=r$のときはこれで証明は終わりである。$y_1\ne r$のときは$\beta'$を$\beta$の$y_1$から$r$への部分として、$\overline{ay_1}\cup\beta'$に対してこれまでの議論を有限回繰り返せばよい。