正規部分群

左剰余類・右剰余類

Gを群、HGを部分群とする。 x1yHのときxyと定義すると、これは同値関係になる。 このとき、xGの同値類を左剰余類と呼び、
xH={yG|x1yH}
と書く。 左剰余類全体の集合、つまりは同値関係による商集合をG/Hと書く。 また、yx1Hによって同値関係xyを定義すると、同様にして右剰余類Hxが定まる。 右剰余類全体の集合をHGと書く。

右剰余類と左剰余類の数は等しい

Gを群、HGを部分群とする。
|G/H|=|HG|
が成り立つ。

G/HからHGへの写像をf:G/HgHHg1HGと定義する。 fがwell-definedな写像で、さらに全単射であることを示す。 (well-defined) gG,hHを任意にとる。
f(ghH)=H(gh)1=Hh1g1=Hg1
よって、fはwell-defined。 (全単射) fと同様にして、well-defineな写像f:GHHg1gHH/Gが定義できる。
ff=ff=id
より、これらは互いに逆写像となるのでfは全単射。 以上より、
|G/H|=|HG|

指数

Gを群、HGを部分群とする。 上記の命題よりG/HHGの元の個数は一致するので、これを(G:H)と表記する。 (G:H)HGにおける指数という。

左(右)剰余類と部分群の元の個数は一致する

Gを群、HGを部分群とする。 任意のxGに対して、
|gH|=|Hg|=|H|
が成り立つ。

HからgHへの写像をf:HhghgHと定義する。 fが全単射であることを示す。 (全射性) 任意のghgHに対して、f(h)=ghなのでfは全射。 (単射性) 任意のh1,h2Hに対して、gh1=gh2ならば、左からg1を掛けるとh1=h2が得られる。 よって、fは単射。 以上より、fは全単射なので|gH|=|H|である。 同様にして、|Hg|=|H|なので、
|gH|=|Hg|=|H|

ラグランジュの定理

Gを群、HGを部分群とする。
|G|=(G:H)|H|
が成り立つ。

G/Hの完全代表系{gi}に対して、G=giHと書ける。 任意のi|giH|=|H|なので、
|G|=|giH|=(G:H)|H|

部分群と元の位数は約数

Gを有限群、HGを部分群とする。以下が成り立つ。 (1)|H||G|の約数 (2)任意のgGの位数は|G|の約数

  1. |G|,(G:H),|H|は整数なので、ラグランジュの定理より|H||G|の約数である。 (2) gで生成される巡回群gGの部分群で、(1)より位数はGの約数である。 巡回群gの位数と元gの位数は一致するので、元gの位数もGの約数である。
有限群の指数の連鎖律

Gを有限群、HGGの部分群、KHHの部分群とする。
(G:K)=(G:H)(H:K)
が成り立つ。

ラグランジュの定理より
(G:H)(H:K)=|G||H||H||K|=|G||K|=(G:K)

素数位数の群は巡回群

位数が素数の群は巡回群である。

Gを位数が素数pの群とする。 Gの元geの位数は、pの約数かつ1ではないので、pである。 Ggかつ|G|=|g|なので、G=gが成り立つ。

正規部分群

Gを群、NGを部分群とする。 任意のgGに対して、gN=Ngが成り立つとき、Nを正規部分群という。 部分群NGの正規部分群であることをNGまたはGNと書く。

正規部分群と同値な条件

Gを群、Nを部分群とする。以下は同値。 (1)NG (2)任意のgG,nNに対して、gng1N

(1)(2) 任意にgG,nNを取る。 gngN=Ngより、あるnNが存在してgn=ng。 右からg1をかけるとgng1=nN。 (2)(1) gngNを任意に取ると、gn=gng1gと書ける。 仮定よりgng1Nなので、gnNg よって、gNNgが成り立つ。 同様にして、NggNなので、gN=Ngが成り立ち、NGである。

単純群

G{e}を群とする。 GG,{e}以外に正規部分群を持たないとき、Gを単純群という。

正規部分群の共通部分は正規部分群

Gを群、N1,N2を正規部分群とする。 N1N2も正規部分群である。

gG,nN1N2を任意に取る。 N1,N2は正規部分群であるからgng1N1かつgng1N2。 つまりgng1N1N2なので、N1N2は正規部分群。

指数が2の部分群は正規部分群

Gを群、Nを部分群とする。 指数(G:N)=2ならば、NG

任意にgGを取る。 gNならばgN=NかつNg=NなのでgN=NggNとする。 (G:N)=2なので、G=NgN=NNgと非交和で書ける。 よってgN=Ngが任意のgGに対して成り立つ。 以上より、NG

可換群の部分群は正規部分群

可換群の任意の部分群は正規部分群である。

Gを可換群として、任意に部分群NGを取る。 任意にnN,gGを取るとGは可換群なのでgng1=nNが成り立つ。 よって、可換群の任意の部分群は正規部分群。

交代群は対称群の正規部分群

交代群Anは対称群Snの正規部分群である。

(Sn:An)=2より明らか。

剰余群(商群)

Gを群、NG正規部分群とする。 xN,yNG/Nに対して、(xN)(yN)=(xyN)によって演算を定義すると、G/Nは群となる。 この群をGNに関する剰余群(商群)という。 剰余群G/Nの単位元はeN=NxNの逆元はx1Nで与えられる。

剰余群の演算

G/Nの元は剰余類なので演算が代表元の取り方に依らずに定まることを示さなければ演算が定まって群になると言うことはできない。 演算が代表元の取り方に依らないことを示す。

演算がwell-definedであること

Gを群、NG正規部分群とする 剰余群G/Nに定められた演算(xN)(yN)=xyNはwell-definedである。

xN=xN,yN=yNであるとする。 このとき、x=xn1,y=yn2となるようなn1,n2Nが存在する。 NGより、yn1y1Nなので、
(xN)(yN)=xyN=xn1yn2N=x(yy1)n1yn2N=xy(y1n1y)n2N=xyN
よって、演算はwell-definedである。

正規部分群の指数と位数の関係

Gを有限群、Nを正規部分群とする。 指数(G:N)gGの位数が互いに素ならば、gNである。

gの位数をnとすると、gn=eなので、(gN)n=gnN=N。 よって、G/NにおけるgNの位数はnの約数。 ところで、|G/N|=(G:N)なので、gNの位数は(G:N)の約数でもある。 n(G:N)は互いに素なので、gNG/Nにおける位数は1。つまりgN=N。 よって、gN

Mathpediaを支援する

現在のページ

正規部分群
前のページへ
1 / 7
次のページへ
入門テキスト「群論の基礎」の表紙
次ページへ