群の定義

部分群と様々な群を解説する。

部分群

正規部分群

準同型の定義と準同型定理を解説する。

準同型定理

群の作用

シローの定理

&&&def 左剰余類・右剰余類
  $G$を群、$H\subset G$を部分群とする。  $x^{-1}y\in H$のとき$x\sim y$と定義すると、これは同値関係になる。  このとき、$x\in G$の同値類を左剰余類と呼び、  
$
 xH=\{y\in G | x^{-1}y\in H\} 
$
  と書く。  左剰余類全体の集合、つまりは同値関係による商集合を$G/H$と書く。  また、$yx^{-1}\in H$によって同値関係$x\sim y$を定義すると、同様にして右剰余類$Hx$が定まる。  右剰余類全体の集合を$H\backslash G$と書く。  &&&
&&&prop 右剰余類と左剰余類の数は等しい
  $G$を群、$H\subset G$を部分群とする。  
$
 |G/H|=|H\backslash G| 
$
  が成り立つ。  &&&
&&&prf
  $G/H$から$H\backslash G$への写像を$f:G/H\ni gH\mapsto Hg^{-1} \in H\backslash G$と定義する。  $f$がwell-definedな写像で、さらに全単射であることを示す。  (well-defined)  $g\in G,h\in H$を任意にとる。   
$
 f(ghH)=H(gh)^{-1}=Hh^{-1}g^{-1}=Hg^{-1} 
$
  よって、$f$はwell-defined。  (全単射)  $f$と同様にして、well-defineな写像$f^\prime:G\backslash H\ni Hg^{-1}\mapsto gH \in H/G$が定義できる。  
$
 f\circ f^\prime=f^\prime\circ f=id 
$
  より、これらは互いに逆写像となるので$f$は全単射。  以上より、  
$
 |G/H|=|H\backslash G| 
$
  
  &&&
&&&def 指数
  $G$を群、$H\subset G$を部分群とする。  上記の命題より$G/H$と$H\backslash G$の元の個数は一致するので、これを$(G:H)$と表記する。  $(G:H)$を$H$の$G$における指数という。  &&&
&&&prop 左(右)剰余類と部分群の元の個数は一致する
  $G$を群、$H\subset G$を部分群とする。  任意の$x\in G$に対して、  
$
 |gH|=|Hg|=|H| 
$
  が成り立つ。  &&&
&&&prf
  $H$から$gH$への写像を$f:H\ni h\mapsto gh\in gH$と定義する。  $f$が全単射であることを示す。  (全射性)  任意の$gh\in gH$に対して、$f(h)=gh$なので$f$は全射。  (単射性)  任意の$h_1,h_2\in H$に対して、$gh_1=gh_2$ならば、左から$g^{-1}$を掛けると$h_1=h_2$が得られる。  よって、$f$は単射。  以上より、$f$は全単射なので$|gH|=|H|$である。  同様にして、$|Hg|=|H|$なので、  
$
 |gH|=|Hg|=|H| 
$
  
  &&&
&&&thm ラグランジュの定理
  $G$を群、$H\subset G$を部分群とする。  
$
 |G|=(G:H)|H| 
$
  が成り立つ。  &&&
&&&prf
  $G/H$の完全代表系$\{g_i\}$に対して、$G=\bigsqcup g_iH$と書ける。  任意の$i$で$|g_iH|=|H|$なので、  
$
 |G|=\sum |g_iH|=(G:H)|H| 
$
  
  &&&
&&&prop 部分群と元の位数は約数
 $G$を有限群、$H\subset G$を部分群とする。以下が成り立つ。  (1)$|H|$は$|G|$の約数  (2)任意の$g\in G$の位数は$|G|$の約数  &&&
&&&prf
  (1)  $|G|,(G:H),|H|$は整数なので、ラグランジュの定理より$|H|$は$|G|$の約数である。  (2)  $g$で生成される巡回群$\langle g\rangle$は$G$の部分群で、(1)より位数は$G$の約数である。  巡回群$\langle g\rangle$の位数と元$g$の位数は一致するので、元$g$の位数も$G$の約数である。  
  &&&
&&&prop 有限群の指数の連鎖律
  $G$を有限群、$H\subset G$を$G$の部分群、$K\subset H$を$H$の部分群とする。  
$
 (G:K)=(G:H)(H:K) 
$
  が成り立つ。  &&&
&&&prf
  ラグランジュの定理より  
$
 (G:H)(H:K)=\frac{|G|}{|H|}\frac{|H|}{|K|}=\frac{|G|}{|K|}=(G:K) 
$
  
  &&&
&&&prop 素数位数の群は巡回群
  位数が素数の群は巡回群である。  &&&
&&&prf
  $G$を位数が素数$p$の群とする。  $G$の元$g\neq e$の位数は、$p$の約数かつ1ではないので、$p$である。  $G\supset \langle g\rangle$かつ$|G|=|\langle g\rangle|$なので、$G=\langle g\rangle$が成り立つ。  
  &&&
&&&def 正規部分群
  $G$を群、$N\subset G$を部分群とする。  任意の$g\in G$に対して、$gN=Ng$が成り立つとき、$N$を正規部分群という。  部分群$N$が$G$の正規部分群であることを$N\triangleleft G$または$G\triangleright N$と書く。  &&&
&&&prop 正規部分群と同値な条件
  $G$を群、$N$を部分群とする。以下は同値。  (1)$N\triangleleft G$  (2)任意の$g\in G,n\in N$に対して、$gng^{-1}\in N$  &&&
&&&prf
  (1)$\Rightarrow$(2)  任意に$g\in G,n\in N$を取る。  $gn\in gN=Ng$より、ある$n^\prime\in N$が存在して$gn=n^\prime g$。  右から$g^{-1}$をかけると$gng^{-1}=n^\prime\in N$。  (2)$\Rightarrow$(1)  $gn\in gN$を任意に取ると、$gn=gng^{-1}g$と書ける。  仮定より$gng^{-1}\in N$なので、$gn\in Ng$  よって、$gN\subset Ng$が成り立つ。  同様にして、$Ng\subset gN$なので、$gN=Ng$が成り立ち、$N\triangleleft G$である。  
  &&&
&&&def 単純群
  $G\neq\{e\}$を群とする。  $G$が$G,\{e\}$以外に正規部分群を持たないとき、$G$を単純群という。  &&&
&&&prop 正規部分群の共通部分は正規部分群
  $G$を群、$N_1,N_2$を正規部分群とする。  $N_1\cap N_2$も正規部分群である。  &&&
&&&prf
  $g\in G,n\in N_1\cap N_2$を任意に取る。  $N_1,N_2$は正規部分群であるから$gng^{-1}\in N_1$かつ$gng^{-1}\in N_2$。  つまり$gng^{-1}\in N_1\cap N_2$なので、$N_1\cap N_2$は正規部分群。  
  &&&
&&&prop 指数が2の部分群は正規部分群
  $G$を群、$N$を部分群とする。  指数$(G:N)=2$ならば、$N\triangleleft G$。  &&&
&&&prf
  任意に$g\in G$を取る。  $g\in N$ならば$gN=N$かつ$Ng=N$なので$gN=Ng$。  $g\not\in N$とする。  $(G:N)=2$なので、$G=N\bigsqcup gN=N\bigsqcup Ng$と非交和で書ける。  よって$gN=Ng$が任意の$g\in G$に対して成り立つ。  以上より、$N\triangleleft G$。  
  &&&
&&&prop 可換群の部分群は正規部分群
  可換群の任意の部分群は正規部分群である。  &&&
&&&prf
  $G$を可換群として、任意に部分群$N\subset G$を取る。  任意に$n\in N,g\in G$を取ると$G$は可換群なので$gng^{-1}=n\in N$が成り立つ。  よって、可換群の任意の部分群は正規部分群。  
  &&&
&&&prop 交代群は対称群の正規部分群
  交代群$A_n$は対称群$S_n$の正規部分群である。  &&&
&&&prf
  $(S_n:A_n)=2$より明らか。  
  &&&
&&&def 剰余群(商群)
  $G$を群、$N$を$Gの$正規部分群とする。  $xN,yN\in G/N$に対して、$(xN)(yN)=(xyN)$によって演算を定義すると、$G/N$は群となる。  この群を$G$の$N$に関する剰余群(商群)という。  剰余群$G/N$の単位元は$eN=N$、$xN$の逆元は$x^{-1}N$で与えられる。  &&&
&&&rem 剰余群の演算
  $G/N$の元は剰余類なので演算が代表元の取り方に依らずに定まることを示さなければ演算が定まって群になると言うことはできない。  演算が代表元の取り方に依らないことを示す。  &&&
&&&prop 演算がwell-definedであること
  $G$を群、$N$を$Gの$正規部分群とする  剰余群$G/N$に定められた演算$(xN)(yN)=xyN$はwell-definedである。  &&&
&&&prf
  $x^\prime N=xN,y^\prime N=yN$であるとする。  このとき、$x^\prime=xn_1,y^\prime=yn_2$となるような$n_1,n_2\in N$が存在する。  $N\triangleleft G$より、$yn_1y^{-1}\in N$なので、  
$
 (x^\prime N)(y^\prime N)=x^\prime y^\prime N=xn_1yn_2N=x(yy^{-1})n_1yn_2N=xy(y^{-1}n_1y)n_2N=xyN 
$
  よって、演算はwell-definedである。  
  &&&
&&&prop 正規部分群の指数と位数の関係
  $G$を有限群、$N$を正規部分群とする。  指数$(G:N)$と$g\in G$の位数が互いに素ならば、$g\in N$である。  &&&
&&&prf
  $g$の位数を$n$とすると、$g^n=e$なので、$(gN)^n=g^nN=N$。  よって、$G/N$における$gN$の位数は$n$の約数。  ところで、$|G/N|=(G:N)$なので、$gN$の位数は$(G:N)$の約数でもある。  $n$と$(G:N)$は互いに素なので、$gN$の$G/N$における位数は1。つまり$gN=N$。  よって、$g\in N$。  

&&&

&&&def p群
  $G$を有限群、$p$を素数とする。  適当な自然数$n$が存在して$|G|=p^n$と表わされるとき、$G$をp群という。  &&&
&&&prop p群の中心は$\{e\}$ではない
  $p$を素数、$G$をp群とする。  
$
 Z(G)\neq\{e\} 
$
  が成り立つ。  &&&
&&&prf
  $Z(G)=\{e\}$と仮定して背理法で示す。  $G$の相異なる共役類を$C(e),C_1,\cdots,C_n$とすると、  
$
 |G|=|C(e)|+|C_1|+\cdots+|C_n| 
$
  と類等式を表せる。  |C(e)|=1であり、$|C_k|(k>1)$はpの倍数なので、右辺は$1+(p$の倍数)である。  一方で、$G$はp群なので左辺の$|G|$は$p$べきである。  よって(左辺)$\neq$(右辺)であるからこれは矛盾。  以上より、$Z(G)\neq\{e\}$。  
  &&&
&&&prop 非可換p群の中心の位数は$p^2$の倍数
  pを素数、$G$を非可換なp群とする。  中心$Z(G)$の位数は$p^2$で割り切れる。  &&&
&&&prf
  $|Z(G)|$が$p^2$で割り切れないと仮定して背理法で示す。  $|Z(G)|$が$p^2$で割り切れないので$|Z(G)|=1$または$p$である。  p群の中心は$\{e\}$ではないので$|Z(G)|=p$で$Z(G)$は巡回群である。  よって$G/Z(G)$も巡回群になるので$G$は可換であるが、これは$G$が非可換であることに矛盾する。  よって、$|Z(G)|$は$p^2$で割り切れる。  
  &&&
&&&prop 位数pのp群は単純群
  $p$を素数、$G$を位数$p^n$のp群とする。  $n=1$$\Leftrightarrow$$G$は単純群。  &&&
&&&prf
  ($\Rightarrow$)  ラグランジュの定理より$G$の部分群の位数は$p$の約数なので、$1$または$p$である。  よって、$G$は$\{e\},G$以外に部分群を持たないので$G$は単純群である。  ($\Leftarrow$)  $Z(G)\triangleleft G$であるから、$Z(G)=\{e\}$または$Z(G)=G$。  $G$はp群で$Z(G)\neq\{e\}$なので、$Z(G)=G$である。  よって、$G$は単純な可換有限群なので、ある$e\neq g\in G$が存在して$G=\langle g\rangle$と有限巡回群になる。  巡回群の部分群は位数の約数と対応を持つので、$G$が単純であることから$g$の位数は素数である。  以上より、$n=1$である。  
  &&&
&&&prop 位数$p^2$のp群は可換群
  $p$を素数、$G$を位数$p^2$のp群とする。  $G$は可換群である。  &&&
&&&prf
  $Z(G)\neq\{e\}$なので、$|Z(G)|=p$または$p^2$である。  $|Z(G)|=p^2$ならば$Z(G)=G$で$G$は可換群となる。  $|Z(G)|=p$とする。  $Z(G)\triangleleft G$  $|G/Z(G)|=p$なので$G/Z(G)$は巡回群で、$gZ(G)\in G/Z(G)$を用いて$G/Z(G)=\langle gZ(G)\rangle$と表わせる。  よって、$G$の任意の元は$g$と$z\in Z(G)$を用いて$g^iz(i\in\mathbb{Z})$と表わせる。  $z,z^\prime\in Z(G),i,j\in\mathbb{Z}$を任意に取ると  
$
 (g^iz)(g^jz^\prime)=(g^jz^\prime)(g^iz) 
$
  が成り立つので、$G$は可換群となる。  
  &&&
&&&def べき集合への作用
  $G$を群、$X$を集合とする。$G$が$X$に左から作用しているとする。  $g\in G,S\in 2^X$に対して、  
$
 gS=\{gs|s\in S\} 
$
  によって定めると、これは$G$から$2^X$への左作用を定める。  右作用も同様に定まり、べき集合への作用を$G$の$X$への作用が引き起こす作用という。  べき集合への作用を考えるときは、部分集合$S\subset X$の軌道を$O(S)$と書く。  また、$S$の安定化群を$Stab(S)$と書く。  &&&
&&&prop $|Stab(S)|$は$|S|$の約数
  $G$を有限群とする。  集合$G$のべき集合への積による左からのを考える。  $S\subset G$に対して、$|Stab(S)|$は$|S|$の約数である。  &&&
&&&prf
  安定化群の定義より、$s\in Stab(S)$に対して$sS=S$が成り立つので$S$は$Stab(S)$の元による作用で不変。  $Stab(S)$の集合$G$への作用を考えると、$g\in G$の軌道は  
$
 O(g)=\{sg|s\in Stab(S)\} 
$
  なので、これは$Stab(S)$による右剰余類である。  
$
 S=\bigsqcup_{g\in S} O(g) 
$
  なので、$|S|=\sum_{g\in S}|O(g)|=\sum_{g\in S}|Stab(S)|$より、$|Stab(S)|$は$|S|$の約数である。  
  &&&
&&&prop $|S|$と$|G|$が互いに素ならば、$Stab(S)=\{e\}$
  $G$を有限群とする。  集合$G$のべき集合への積による左からのを考える。  $S\subset G$に対して$|S|$と$|G|$が互いに素ならば、$Stab(S)=\{e\}$である。  &&&
&&&prf
  上の命題より、$|Stab(S)|$は$|S|$の約数である。  一方で、ラグランジュの定理より$|Stab(S)|$は$|G|$の約数である。  て$|S|$と$|G|$が互いに素なので、$|Stab(S)|=1$であるから$Stab(S)=\{e\}$である。  
  &&&
&&&def 部分群の共役
  $G$を群、$H_1,H_2$を部分群とする。  ある$g\in G$が存在して  
$
 H_2=gH_1g^{-1} 
$
  が成り立つとき、$H_1$と$H_2$は共役であるという。  部分群$H$と共役な部分群全体を$H$の共役類という。  &&&
&&&def シローp部分群
  $G$を有限群、$p$を$|G|$の素因数とする。  $p$と互いに素な自然数$m$を用いて$|G|=p^am$と書く。  このとき、$|H|=p^a$となる部分群$H$をシローp部分群という。  &&&
&&&prop $H\subset S$$\Leftrightarrow$$H\subset N_G(S)$
  $p$を素数、$G$を有限群、$H$を位数が$p$べきの部分群、$S$をシロー$p$部分群とする。  $H\subset S$$\Leftrightarrow$$H\subset N_G(S)$  &&&
&&&prf
  ($\Rightarrow$)は明らか。($\Leftarrow$)を示す。  $H\subset N_G(S)$であるから、任意の$h\in H$に対して$hSh^{-1}=S$が成り立つ。  $S\triangleleft HS$を示す。  $hs\in HS,s^\prime\in S$を任意に取る。  
$
 (hs)s^\prime(hs)^{-1}=hss^\prime s^{-1}h^{-1}=h(ss^\prime s^{-1})h^{-1}\in hSh^{-1}=S 
$
  なので、$S\triangleleft HS$。  第二同型定理より  
$
 |HS/S|=|HS/H\cap S| 
$
  ラグランジュの定理より左辺は$p$と互いに素で右辺は$p$べきなので、$|HS/S|=|HS/H\cap S|=1$である。  $|HS/S|=1$なので、$HS=S$で$|H|\leq|S|$なので$H\subset S$である。  
  &&&
&&&thm シローの定理
  $G$を有限群、$p$を$|G|$の素因数とする。以下が成り立つ。  (1)シローp部分群が存在する。  以降シローp部分群$H$を固定する。  (2)  $|K|=p^b(1\leq b\leq a)$を満たす部分群$K$に対して、ある$g\in G$が存在して  
$
 K\subset gHg^{-1} 
$
  を満たす。  (3)$G$のシローp部分群は互いに共役である。  (4)シローp部分群の数$n_p$は$n_p=\frac{|G|}{|N_G(H)|}\equiv1(mod.p)$を満たす。  &&&
&&&prf
  (1)  $p$と互いに素な自然数$m$を用いて$|G|=p^am$と書く。  
$
 X=\{S\subset G||S|=p^a\} 
$
   と定義する。  $|X|$が$p$を素因数に持たないことを示す。  $|X|$は$p^am$個の元から$p^a$個の元を選ぶ選び方と同じなので、  
$
 |X|=p^amCp^a=\frac{(p^am)!}{p^a!(p^am-p^a)!}=\prod_{k=0}^{p^a-1}\frac{p^am-k}{p^a-k}=m\prod_{k=1}^{p^a-1}\frac{p^am-k}{p^a-k} 
$
  各$1\leq k\leq p^a-1$に対して、$p$と互いに素な整数$s$を用いると$k=p^ls(0\leq l<a)$と書ける。  
$
 \frac{p^am-p^ls}{p^a-p^ls}=\frac{p^{a-l}m-s}{p^{a-l}-s} 
$
  よって、$|X|$は$p$を素因数に持たない。  ある$S\subset G$に対して、$|Stab(S)|=p^a$を示す。  $X=\bigsqcup_{S\in X}O(S)$なので、ある$S\in X$が存在して$|O(S)|$は$p$を素因数に持たない。  |Stab(S)|を考えると、これは$|S|=p^a$の約数である。  一方で、  
$
 |O(S)|=\frac{|G|}{|Stab(S)|}=\frac{p^am}{|Stab(S)|} 
$
  は$p$を素因数に持たないので、$|Stab(S)|=p^a$である。  以上より、シローp部分群が存在する。  (2)  $|G/H|=m$なので、これは$p$を素因数に持たない。  $K$から$G/H$への積による左作用を考える。  $G/H=\bigsqcup_{gh\in G/H}O(xH)$なので、ある$gh\in G/H$が存在して$|O(gH)|$は$p$を素因数に持たない。  一方、$O(gH)|$は$|K|$の約数なので、つまり$p^b$の約数であるから$|O(gH)|=1$である。  
$
 O(gH)=\{kgH|k\in K\} 
$
  なので、任意の$k\in K$に対して$kgH=gH$が成り立つ。  つまり、任意の$k\in K$に対して$k\in gHg^{-1}$が成り立つので$K\subset gHg^{-1}$である。  (3)  シローp部分群$K$を任意に取る。  (2)よりある$g\in G$が存在して、$K\subset gHg^{-1}$が成り立つ。  
$
 p^a=|K|=|H|=|gHg^{-1}| 
$
  なので、$K=gHg^{-1}$が成り立ち、$K$と$H$は共役。  (4)  シローp部分群全体の集合を  
$
 Y=\{H=H_1,H_2,\cdots,H_s\} 
$
  とおく。  $H$から$Y$への共役な作用を考えることができて、$Y=\bigsqcup_{H_i\in Y}O(H_i)$である。  $|O(H_i)|=1\Leftrightarrow i=1$を示す。  $i=1$ならば$H_1=H$なので、  
$
 O(H_1)=\{hH_1h^{-1}|h\in H\}=\{hHh^{-1}|h\in H\}=\{H\} 
$
  よって、$|O(H_i)|=1$である。  逆に、$|O(H_i)|=1$とすると、任意の$h\in H$に対して$hH_ih^{-1}=H_i$が成り立つので、  
$
 h\in \{h\in G|hH_ih^{-1}=H_i\}=N_G(Hi) 
$
  が任意の$h\in H$に対して成り立つので、$H\subset N_G(H_i)$である。  $H_i\triangleleft N_G(H_i)$であり、$N_G(H_i)$は$|G|=p^am$の約数であるから、$H,H_i$は$N_G(H_i)$のシローp部分群である。  (3)より、ある$g\in N_G(H_i)$が存在して  
$
 H=gH_ig^{-1} 
$
  が成り立つので、$H=H_i$である。  以上より$|O(H_i)|=1\Leftrightarrow i=1$。  よって、$i>1$ならば$|O(H_i)|>1$で$|O(H_i)|$は$|H|=p^a$の約数であるから$p$を素因数に持つ。  $Y=\bigsqcup_{H_i\in Y}O(H_i)$であるから、  
$
 n_p=|Y|\equiv 1(mod.p) 
$
  が成り立つ。  
   &&&
&&&prop 位数15の群は巡回群
  $G$を$|G|=15$を満たす群とする。  $G$は巡回群である。  &&&
&&&prf
  シローの定理より、シロー3部分群が存在して、その数$n_3$は$n_3\equiv1(mod.3)$を満たす。  また、$n_3$は$|G|=15$の約数なので$n_3=1$である。  同様にして$n_5=1$なので、$H_3,H_5$をそれぞれシロー3部分群、シロー5部分群とする。  $H_3,H_5$は$G$の正規部分群であり、位数が素数なので巡回群である。  $H_3H_5\subset G$であるが、$|H_3H_5|=|G|=15$なので$H_3H_5=G$である。  
$
 G\cong H_3\times H_5\times \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}\cong\mathbb{Z}/15\mathbb{Z} 
$
  なので$G$は巡回群。  
  &&&
&&&prop 位数$2p$の群は巡回群か二面体群
  $p$を奇素数、$G$を$|G|=2p$を満たす群とする。  $G$は巡回群あるいは二面体群である。  &&&
&&&prf
  $G$のシロー2部分群、シローp部分群を$H_2,H_p$とする。  $H_2,H_p$は素数が位数の巡回群なので$H_2=\langle x\rangle,H_p=\langle y\rangle$と書ける。  $H_2\cap H_p=\{e_G\}$なので  
$
 G=H_2H_p=\{x^iy^j|i=0,1,j=0,\cdots,p-1\}=\langle x,y\rangle 
$
   また、$(G:H_p)=2$より$H_p\triangleleft G$なので整数$1\leq i<p$が存在して、$xyx^{-1}=y^i$が成り立つ。  $x=x^{-1}$に注意すると、  
$
 y=x^{-1}y^ix=(x^{-1}yx)^i=y^{i^2} 
$
  よって$y^{i^2-1}=e_G$なので、$y$の位数が$p$であることから$i^2-1=(i-1)(i+1)$は$p$の倍数である。  つまり、$k\in\mathbb{Z}$を用いて$i=pk\pm 1$と書けるので、  
$
 xyx=y^i=y^{pk\pm 1}=y^{\pm 1} 
$
  $xyx=y$のとき  $xy=yx^{-1}=yx$より$G$は可換群で$G\cong\langle x\rangle\times\langle y\rangle\cong\langle xy\rangle$  $xyx=y^{-1}$のとき  $xyx=y^{-1}$と合わせて$x^2=e_G,y^p=e_G$が成り立っているので、$G\cong D_p$  
  ===  定理 6.14(コーシーの定理) ===  $p$を素数、$G$を有限群とする。  $|G|$が$p$で割り切れるならば$G$は位数$p$の元を持つ。  &&&
&&&prf
  シローの定理より、$G$はシローp部分群を持つのでこれを$H$とする。  $e\neq h\in H$を任意に取る。  $h$の位数は$p$のべきなので、$p^a$とおくと、$h^{p^{a-1}}$の位数は$p$である。  $h^{p^{a-1}}\in G$なので$G$は位数$p$の元を含む。  
  &&&
&&&prop $N_G(S)\subset H\Rightarrow N_G(H)=H$
  $p$を素数、$G$を有限群、$H$を部分群、$S$をシロー$p$部分群とする。  $N_G(S)\subset H$ならば$N_G(H)=H$が成り立つ。  &&&
&&&prf
  $N_G(H)\supset H$は明らか。$N_G(H)\subset H$を示す。  $h\in N_G(H)$を任意に取る。  $S\subset N_G(S)\subset H$なので、$S$は$H$のシローp部分群である。  また、$hSh^{-1}\subset hHh^{-1}=H$なので$hSh^{-1}$も$H$のシローp部分群である。  シローの定理より$S$と$hSh^{-1}$は互いに共役なので、ある$h^\prime\in H$が存在して、  
$
 S={h^\prime}^{-1}hSh^{-1}h^\prime 
$
  が成り立つ。  よって、${h^\prime}^{-1}h\in N_G(S)$なので、  
$
 h\in h^\prime N_G(S)\subset HN_G(S)\subset H 
$
  以上より、$N_G(H)\subset H$なので$N_G(H)=H$である。  
  &&&
&&&prop $S\triangleleft N\Rightarrow S\triangleleft G$
  $p$を素数、$G$を有限群、$N$を正規部分群とする。  $G$のシローp部分群$S$が$S\triangleleft N$を満たすならば、$S\triangleleft G$である。  &&&
&&&prf
  $S$は$N$のシローp部分群である。  任意に$g\in G$を取る。  $S\subset N\triangleleft G$より、$gSg^{-1}\subset gNg^{-1}\subset N$なので$gSg^{-1}$も$N$のシローp部分群である。  ところで、$S\triangleleft N$であるから、$N$のシローp部分群の数は1つなので$S=gSg^{-1}$が成り立つ。  よって、$S\triangleleft G$である。  

&&&


&&&def 準同型写像(準同型)
  $G,G^\prime$を群とする。  写像$f:G\rightarrow G^\prime$が任意の$x,y\in G$に対して、  
$
 f(xy)=f(x)f(y) 
$
  を満たすとき、$f$を準同型写像、あるいは準同型という。  &&&
&&&def 同型写像(同型)
  $G,G^\prime$を群、写像$f：G\rightarrow G^\prime$を準同型とする。  $f$が全単射のとき、$f$を同型写像、あるいは同型という。  群$G,G^\prime$の間に同型写像が存在するとき、$G\cong G^\prime$と書く。  &&&
&&&prop 準同型は単位元と逆元を保存する
  $G,G^\prime$を群、$x\in G$、写像$f：G\rightarrow G^\prime$を準同型とする。  (1)$f(e)=e^\prime$  (2)$f(g^{-1})=f(g)^{-1}$  が成り立つ。  &&&
&&&prf
  (1)  
$
 f(e)=f(ee)=f(e)f(e) 
$
  より、$f(e)=e^\prime$  (2)  
$
 e^\prime=f(e)=f(gg^{-1})=f(g)f(g^{-1}) 
$
  より、$f(g^{-1})=f(g)^{-1}$  
  &&&
&&&prop 準同型の合成は準同型
  $G,G^\prime$を群とする。  $f:G\rightarrow G^\prime, g:G^\prime\rightarrow G^{\prime\prime}$を準同型とする。  合成写像$g\circ f:G\rightarrow G^{\prime\prime}$も準同型写像である。  &&&
&&&prf
  任意に$x,y\in G$を取る。  
$
 g\circ f(xy)=g(f(x)f(y))=g(f(x))g(f(y))=g\circ f(x)g\circ f(y) 
$
  よって$g\circ f$は準同型である。  
  &&&
&&&def 核
  $G,G^\prime$を群、写像$f：G\rightarrow G^\prime$を準同型とする。  
$
 Ker(f)=\{g\in G|f(g)=e^\prime\} 
$
  と定義する。  Ker(f)を$f$の核という。  &&&
&&&def 像
  $G,G^\prime$を群、写像$f：G\rightarrow G^\prime$を準同型とする。  
$
 Im(f)=\{f(g)\in G^\prime| g\in G\} 
$
  と定義する。  Im(f)を$f$の像という。  &&&
&&&prop 準同型の単射性と核が単位元しか持たないことは同値
  $G$を群とする。  $f:G\rightarrow G^\prime$を準同型とする。  
$
 fが単射\Leftrightarrow Ker(f)=\{e\} 
$
   &&&
&&&prf
  ($\Rightarrow$)  $f$は単射なので、$x,y\in G$が$f(x)=e^\prime, f(y)=e^\prime$を満たすならば、$x=y$が成り立つ。  $f(e)=e^\prime$なので、$Ker(f)=\{e\}$が成り立つ。  ($\Leftarrow$)  $x,y\in G$が$f(x)=f(y)$を満たすとする。  
$
 e^\prime=f(e)=f(xx^{-1})=f(y)f(x^{-1})=f(yx^{-1}) 
$
  が成り立つので、$x=y$となり、$f$は単射である。  
  &&&
&&&prop 核は正規部分群
  $G,G^\prime$を群、写像$f：G\rightarrow G^\prime$を準同型とする。  $Ker(f)$は$G$の正規部分群である。  &&&
&&&prf
  $g\in G,k\in Ker(f)$を任意に取る。  
$
 f(gkg^{-1})=f(g)f(k)f(g)^{-1}=e^\prime 
$
  より、$gkg^{-1}\in Ker(f)$なので、$Ker(f)$は$G$の正規部分群である。  
  &&&
&&&prop 剰余群への自然な写像は全射準同型
  $G$を群、$N$を正規部分群とする。  写像$\pi:G\ni g\mapsto gN\in G/N$は全射準同型である。  また、$Ker(\pi)=N$である。  $\pi$を自然な準同型という。  &&&
&&&prf
  $\pi$が全射であることは明らかなので、準同型であることを示す。  任意の$x,y\in G$に対して、  
$
 \pi(xy)=xyN=xNyN=\pi(x)\pi(y) 
$
  よって$\pi$は準同型。  また、  
$
 Ker(\pi)=\{x\in G|\pi(x)=N\}=\{x\in G|x\in N\}=N 
$
  である。  
  &&&
&&&thm 準同型定理(第１同型定理)
 $G.G^\prime$を群、$\phi:G\rightarrow G^\prime$を準同型とする。  $\pi:G\rightarrow G/Ker(\phi)$を自然な準同型とする。  準同型$\psi:G/Ker(\phi)\rightarrow G^\prime$で、$\psi\circ\pi=\phi$を満たし同型$G/Ker(\phi)\rightarrow Im(\phi)$を定めるものが一意に存在する。  &&&
&&&prf
  $Ker(\phi)=K$とおく。  写像$\psi:G/K\rightarrow G^\prime$を$g\in G$に対して、  
$
 \psi(gK)=\phi(g) 
$
  と定める。  $\psi$がwell-definedであることを示す。  $k\in K$を任意に取ると、  
$
 \psi(gkK)=\phi(gk)=\phi(g)\phi(k)=\phi(g) 
$
  よって、$\psi(gK)$の値は代表元の取り方に依らずに定まる。  次に、$\psi$が準同型であることを示す。  任意の$x,y\in G$に対して、  
$
 \psi(xKyK)=\psi(xyK)=\phi(xy)=\phi(x)\phi(y)=\psi(xK)\psi(yK) 
$
  より、$\psi$は準同型である。  $\pi$は全射なので$\psi\circ\pi=\phi$は明らか。  また  
$
 Ker(\psi)=\{gK\in G/K|\psi(gK)=e^\prime\}=\{gk\in G/K|\phi(g)=e^\prime\}=\{gK\in G/K|g\in K\}=\{K\} 
$
  より$\psi$は単射。  よって$\psi$は同型$G/Ker(\phi)\rightarrow Im(\phi)$を定める。  最後に$\psi$の一意性を示す。  ある準同型$\psi^\prime$が存在して$\psi^\prime\circ\pi=\phi$を満たすとすると、任意の$g\in G$に対して  
$
 \psi^\prime(gK)=\psi^\prime\circ\pi(g)=\phi(g)=\psi(gK) 
$
  が成り立つので$\psi^\prime=\psi$となる。  よって$\psi$は一意である。  
  &&&
&&&prop 第２同型定理
  $G$を群、$N,H$を$G$の部分群、$N\triangleleft G$とする。以下が成り立つ。  (1)$HN$は$G$の部分群で$HN=NH$である。  (2)$H\cap N\triangleleft H$で$H/H\cap N\cong HN/N$  &&&
&&&prf
  (1)  $h_1,h_2\in H,n_1,n_2\in N$を任意に取る。  
$
 (h_1n_1)(h_2n_2)=h_1h_2\{(h_2^{-1}n_1h_2)n_2\}\in HN 
$
 
$
 (h_1n_1)^{-1}=h_1^{-1}(h_1n_1^{-1}h_1^{-1})\in HN 
$
  より、$HN$は$G$の部分群である。また、同様にして$NH$も$G$の部分群である。  $N,H\subset HN$なので$NH\subset HN$で、同様に$HN\subset NH$なので、$HN=NH$。  (2)  $H$から$HN/N$への自然な全射準同型を$\phi$とすると、$Ker(\phi)=H\cap N$なので、$H\cap N\triangleleft H$  よって準同型定理より、  
$
 H/H\cap N\cong HN/N 
$
   
  &&&
&&&prop 第３同型定理
  $G$を群、$N\subset N^\prime$を$G$の正規部分群とする。  
$
 (G/N)(N^\prime/N)\cong G/N^\prime 
$
  が成り立つ。  &&&
&&&prf
  写像$\phi:G/N\rightarrow G/N^\prime$を$\phi(xN)=xN^\prime$と定める。  $\phi$がwell-definedな準同型であることを示す。  $n\in N\subset N^\prime$を任意に取る。  
$
 \phi(xnN)=xnN^\prime=xN^\prime 
$
  より$\phi$はwell-definedである。  任意の$x,y\in G$に対して、  
$
 \phi(xNyN)=\phi(xyN)=xyN^\prime=xN^\prime yN^\prime=\phi(x)\phi(y) 
$
  より、$\phi$は準同型。  
$
 Ker(\phi)=\{xN\in G/N|/phi(xN)=N^\prime\}=\{xN\in G/N|/x\in N^\prime\}=N^\prime/N 
$
  より準同型定理を適用すると、  
$
 (G/N)(N^\prime/N)\cong G/N^\prime 
$
  が得られる。  
   &&&
&&&def 自己同型群
  $G$を群とする。  同型写像$G\rightarrow G$を$G$の自己同型という。  $G$の自己同型全体は写像の合成を積として$Aut(G)$の部分群になる。  この群を自己同型群と呼び、$Aut(G)$と書く。  &&&
&&&def 内部自己群
  $G$を群とする。  $a\in G$に対して、  
$
 I_a:G\ni g\rightarrow aga^{-1}\in G 
$
  によって定めるとこれは自己同型になる。この自己同型を内部自己同型という。  内部自己同型全体は写像の合成を積として群になり、$Inn(G)$と書く。  &&&
&&&prop Aut($\mathbb{Z}$)は位数2の巡回群
  $\mathbb{Z}$を加法を演算として群とみなす。  $Aut(\mathbb{Z})$は位数2の巡回群に同型である。  &&&
&&&prf
  任意に$f\in Aut(\mathbb{Z})$を取る。  
$
 \mathbb{Z}=f(\mathbb{Z})=f(1)\mathbb{Z} 
$
  よって、$f(1)=1$または$-1$である。  $f(1)=1$ならばこれは$\mathbb{Z}$の恒等写像$id_{\mathbb{Z}}$である。  $f(1)=-1$ならば、$f^2=id_{\mathbb{Z}}$である。  以上より、$Aut(\mathbb{Z})$は位数2の巡回群に同型。  
  &&&
&&&prop $Inn(G)$は$Aut(G)$の正規部分群
  $G$を群とする。  
$
 Aut(G)\triangleright Inn(G) 
$
  が成り立つ。  &&&
&&&prf
  $I_a,\in Inn(G),f\in Aut(G)$を任意に取る。  任意の$g\in G$に対して、  
$
 (fI_af^{-1})(g)=f(I_a(f^{-1}(g)))=f(af^{-1}(g)a^{-1})=f(a)gf(a)^{-1}=I_{f(a)}(g) 
$
  が成り立つので、  
$
 Aut(G)\triangleright Inn(G) 
$
  
  &&&
&&&def 中心で割った群は内部自己同型群
  $G$を群とする。  
$
 Z(G)=\{z\in G|zg=gz( ^\forall g\in G)\} 
$
  によって定めると、  
$
 G/Z(G)\cong Inn(G) 
$
  が成り立つ。  $Z(G)$を$G$の中心という。  &&&
&&&prf
  写像$\phi:G\rightarrow Inn(G)$を$\phi(a)=I_a$によって定めると$\phi$は全射準同型である。  
$
 Ker(\phi)=\{a\in G|\phi(a)=id_G\}=\{a\in G|I_a=id_G\}=\{a\in G|aga^{-1}=g( ^\forall g\in G)\}=Z(G) 
$
  よって、準同型定理より  
$
 G/Z(G)\cong Inn(G) 
$
  
  &&&
&&&prop 第２同型定理の応用
  $G$を群、$H,K,N$を部分群、$N\triangleleft K\triangleleft G$とする。  
$
 (H\cap K)/(H\cap N)\cong(H\cap K)N/N 
$
  が成り立つ。  &&&
&&&prf
  第２同型定理より、  
$
 (H\cap K)N/N\cong(H\cap K)/(H\cap K\cap N)=(H\cap K)/(H\cap N) 
$
  
   &&&
&&&def ツァッセンハウスの補題
  $G$を群、$H,H^\prime,K,K^\prime$を部分群、$H^\prime\triangleleft H,K^\prime\triangleleft K$とする。  
$
 (H\cap K)H^\prime/(H\cap K^\prime)H^\prime\cong(H\cap K)K^\prime/(H^\prime\cap K)K^\prime 
$
  が成り立つ。  &&&
&&&prf
  第２同型定理より、  
$
 (H\cap K)H^\prime/(H\cap K^\prime)H^\prime 
$
 
$
 =(H\cap K)(H\cap K^\prime)H^\prime/(H\cap K^\prime)H^\prime 
$
 
$
 =(H\cap K)/(H\cap K^\prime)H^\prime\cap(H\cap K) 
$
 
$
 =(H\cap K)/(H\cap K^\prime)(H^\prime\cap H\cap K) 
$
 
$
 =(H\cap K)/(H\cap K^\prime)(H^\prime\cap K) 
$
 
$
 =(H\cap K)/(H^\prime\cap K)(H\cap K^\prime) 
$
 
$
 =(H\cap K)/(H^\prime\cap K)(K^\prime\cap H\cap K) 
$
 
$
 =(H\cap K)/(H^\prime\cap K)K^\prime\cap(H\cap K) 
$
 
$
 =(H\cap K)(H^\prime\cap K)K^\prime/(H^\prime\cap K)K^\prime 
$
 
$
 =(H\cap K)K^\prime/(H^\prime\cap K)K^\prime 
$
  

&&&

#群の定義

&&&def
集合$G$と$G$上の二項演算$\cdot$の組$(G,\cdot)$で、以下の3つの条件を満たすものを群という。

(単位元の存在)単位元と呼ばれる特別な元$e\in G$が存在し、任意の$a\in G$に対して$a\cdot e=e\cdot a=a$が成り立つ。

(逆元の存在)任意の$a\in G$に対して、ある$b\in G$が存在し、$a\cdot b=b\cdot a=e$が成り立つ。
$b$を$a$の逆元と呼び, $a^{-1}$と書く。

(結合法則)任意の$a,b,c\in G$に対して、$(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)$が成り立つ。

$(G,\cdot)$が群のとき、集合$G$を群の台集合という。$a\cdot b$は$a$と$b$の積と呼ばれる。
&&&

&&&rem
・群は組$(G,\cdot)$の事だが、演算$\cdot$が明らかな場合には$G$を群と呼ぶ。

・積の演算記号は省略されて$ab$と書かれる場合が多い。

・演算が$+$で表されることがあり、この場合には$a+b$を和と呼ぶ。

・単位元は$1$や$1_G$などと書かれることもある。

・群の定義に単位元を入れて3つ組$(G,\cdot,e)$を群と定義することもある。
&&&


&&&def  可換・可換群(アーベル群)
群$G$の元$a,b\in G$に対して、$ab=ba$が成り立つとき、$a$と$b$は可換であるという。

任意の元が可換な群を可換群、あるいはアーベル群という。
&&&


&&&def 群の位数・有限群・無限群
$G$を群として、台集合$G$に含まれる元の個数$|G|$を群の位数という。

位数が有限な群を有限群と呼び、有限群ではない群を無限群という。

&&&

&&&prop 単位元の一意性

群の単位元は一意に定まる。

&&&


&&&prf
$G$を群として、$e_1,e_2\in G$を単位元とする。単位元の性質より
$$
e_1=e_1e_2=e_2
$$
よって、$e_1=e_2$より単位元は一意に定まる。
&&&

&&&prop 逆元の一意性
群の任意の元に対して、その逆元は一意に定まる。
&&&

&&&prf
$G$を群として、$a\in G$を任意にとり、$b,c\in G$を$a$の逆元とする。逆元の性質と結合法則より
$
b=be=b(ac)=(ba)c=ec=c
$
よって、$b=c$より$a$の逆元は一意に定まる。
&&&


&&&prop 演算に関する基本的な性質
$G$を群、$a,b,c\in G$とする。以下が成り立つ。

(1)$ab=ac$ならば、$b=c$

(2)$ab=c$ならば、$b=a^{-1}c,\ a=cb^{-1}$

(3)$(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$

(4)$(a^{-1})^{-1}=a$

&&&


&&&prf

(1)$ab=ac$の両辺に左から$a^{-1}$を掛けると$b=c$が成り立つ。

(2)$ab=c$の両辺に左から$a^{-1}$を掛けると$b=a^{-1}c$、右から$b^{-1}$を掛けると$a=cb^{-1}$が成り立つ。

(3)$e=aa^{-1}=bb^{-1}$より
$
(ab)^{-1}=(ab)^{-1}(aa^{-1})=(ab)^{-1}(a(bb^{-1})a^{-1})=(ab)^{-1}(ab)b^{-1}a^{-1}=b^{-1}a^{-1}
$

(4)$e=a^{-1}a=(a^{-1})^{-1}(a^{-1})$より
$
(a^{-1})^{-1}=(a^{-1})^{-1}(a^{-1}a)=((a^{-1})^{-1}a^{-1})a=a
$

&&&


&&&def 部分群
  $G$を群とする。  空でない部分集合$H\subset G$が$G$の二項演算によって群になるとき、$H$を$G$の部分群という。  &&&
&&&ex 部分群の例(自明な部分群)
  群$G$の単位元のみからなる部分集合$\{e\}$や$G$自身は$G$の部分群になる。  これらは自明な部分群と呼ばれる。  &&&
&&&thm 部分群になるための条件
  群$G$の空でない部分集合$H$に対して、以下は同値。  (1)$H$は$G$の部分群である。  (2)任意の$a,b\in H$に対して、$ab\in H$かつ$a^{-1}\in H$。  (3)任意の$a,b\in H$に対して、$a^{-1}b\in H$。  &&&
&&&prf
  (1)$\Rightarrow$(2)$\Rightarrow$(3)は明らか。(3)$\Rightarrow$(1)を示す。  (単位元の存在)  任意の$a,b\in H$に対して$a^{-1}b\in H$なので、$(a^{-1}b)^{-1}(a^{-1}b)=b^{-1}aa^{-1}b=e\in H$。  (逆元の存在)  $e\in H$なので、任意の$a\in H$に対して、$a^{-1}e=a^{-1}\in H$。  ($G$の演算で閉じていること)  任意の$a,b\in H$に対して、$a^{-1}\in H$より、$(a^{-1})^{-1}b=ab\in H$。  
  &&&
&&&prop 部分群の共通部分は部分群
  $H_1,H_2\subset G$を$G$の部分群とする。  このとき、$H_1\cap H_2$も$G$の部分群である。  &&&
&&&prf
  $e\in H_1\cap H_2$より、$H_1\cap H_2$は空でない。  任意に$a,b\in H_1\cap H_2$を取る。  $H_1$は$G$の部分群なので、$a^{-1}b\in H_1$。同様に$a^{-1}b\in H_2$。  よって、$a^{-1}b\in H_1\cap H_2$なので、$H_1\cap H_2$は$G$の部分群。  
  &&&
&&&def 部分集合から生成される群
  群$G$の部分集合$S$に対して、$S$を含む$G$の部分群の族を$\{G_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}$とする。  
$
 \langle S \rangle=\cap_{\lambda\in\Lambda} 
$
  を$S$から生成される部分群という。  $\langle S \rangle$は$S$を含む最小の部分群である。  &&&
&&&def 巡回群
  群$G$のある元$g$に対して、$\{g\}$から生成される群  
$
 H=\{g^n|n\in\mathbb{Z}\} 
$
  を巡回群という。  巡回群を生成する元を生成元という。  巡回群は生成元を用いて$\langle g \rangle$のように表記される。  &&&
&&&rem 生成元は一意に定まらない
  巡回群の生成元は一意に定まるとは限らない。  例えば、$\mathbb{Z}$を加法によって群とみなすと、その生成元は1と-1である。  &&&
&&&def 元の位数
  群$G$の元$g$によって生成される巡回群$\langle g \rangle$の位数を元$g$の位数という。  &&&
&&&prop 巡回群は可換群
  巡回群は可換群である。  &&&
&&&prf
  $G=\langle g \rangle$を巡回群とする。  任意の$x,y\in G$に対して、ある整数$n,m\mathbb{Z}$が存在し、$x=g^n、y=g^m$と表わせる。  よって、  
$
 xy=g^ng^m=g^{m+n}=g^mg^n=yx 
$
  つまり、任意の元は可換なので$G$は可換群である。  
  &&&
&&&prop 巡回群の部分群は巡回群
  巡回群の部分群は巡回群である。  &&&
&&&prf
  $G=\langle g\rangle$を巡回群、$H\subset G$を$G$の部分群とする。  $H=\{e\}$ならばこれは巡回群なので、以下では$H\neq\{e\}$とする。  任意に$x\in H$を取ると、ある整数$n$によって$x=g^n$と表わせる。  $H$は群なので$g^{-n}\in H$であり、このことから$g^k\in H$となるような最小の$k\in\mathbb{N}$が存在する。 $H\subset\langle g^k\rangle$を示す。  任意に$y\in H$を取るとある整数$m$によって$y=g^m$と表わせる。  $m=qk+r$($q,r\in\mathbb{Z}、0\leq r<k$)とすると、$g^r=g^{m-qk}=g^m(g^k)^{-q}\in H$なので、$k$の最小性より$r=0$と分かる。  よって、$y=g^m=(g^k)^q\in\langle g^k\rangle$。  $H\supset\langle g^k\rangle$は明らかなので$H=\langle g^k \rangle$となる。  以上より、巡回群の部分群は巡回群になる。  
  &&&
&&&prop 自明な部分群しかもたない群は素数位数の巡回群
  群$G\neq\{e\}$が自明な部分群しか持たないならば、$G$は素数位数の巡回群である。  &&&
&&&prf
  単位元ではない元$g\in G$によって生成される巡回群$\langle g\rangle\neq\{e\}$は$G$の部分群なので$G=\langle g\rangle$。  よって、$G$は巡回群である。  $G$が位数無限の巡回群ならば、$\langle g^2\rangle(\neq\langle g\rangle)$は$G$の自明でない部分群になる。  よって$G$の位数は有限なので、$|G|=n\in\mathbb{N}$と書ける。  $n$が素数でないと仮定すると、$n=ab$となる互いに素な自然数$a,b>1$が存在する。  このとき$\langle g^a\rangle$を考えると、$g^a\neq e$で$(g^a)^b=e$なので$\langle g^a\rangle$の位数は$b$の約数。  つまり$\langle g^a\rangle$は$G$の自明でない部分群となるのでこれは矛盾。  よって、$n$は素数。  以上より、$G$は素数位数の巡回群。  
  &&&
&&&prop 有限群の元の位数は有限
  有限群の任意の元の位数は有限である。  &&&
&&&prf
  $G$を有限群とする。  $g\in G$を任意にとり、$g$が生成する部分群$\langle g\rangle$を考えると$\langle g\rangle\subset G$なので、$|\langle g\rangle|\leq|G|$。  $|G|$は有限なので$|\langle g\rangle|$も有限。  巡回群の位数と生成元の位数は一致するので$g$の位数は有限。  つまり、$G$の任意の元の位数は有限。  
  &&&
&&&prop 可換群の位数が有限な元の積の位数は有限
  可換群の位数が有限な2つの元の積は位数が有限である。  &&&
&&&prf
  $G$を可換群とする。  $a,b\in G$を位数が有限な元とすると、ある非負整数$m,n$が存在して$a^m=b^n=e$。  よって、  
$
 (ab)^{mn}=a^{mn}b^{mn}=(a^m)^n(b^n)^m=e 
$
  (1つ目の等号は$G$が可換群であることを利用している。)  $mn$は有限なので、積$ab$の位数は有限。  
  &&&
&&&prop $\mathbb{Z}$の部分群は$n\mathbb{Z}$
  加法群$\mathbb{Z}$の自明でない任意の部分群は$n\in\mathbb{N}$を用いて$n\mathbb{Z}$と書ける。  &&&
&&&prf
  $\mathbb{Z}$の部分群$H$を任意に取る。  $H\neq\{0\}$なので、$H$に含まれる最小の自然数$n$が存在する。  $H=n\mathbb{Z}$を示す。  $a\in H$を任意に取る。  整数$q,0\leq r<n$を用いて$a=nq+r$と表わすことができて、$nq\in\mathbb{Z}$である。  このとき、$r=a+(-nq)\in\mathbb{Z}$であるが、$n$の最小性から$r=0$である。  よって、$a=nq\in n\mathbb{Z}$なので、$H\subset n\mathbb{Z}$である。  $n\mathbb{Z}\subset H$は明らかなので$H=n\mathbb{Z}$が成り立つ。  
  &&&
&&&prop 最大の部分群を持つ群は素数べきの巡回群
  $G$を群、$H$を自明でない部分群とする。  $G$の任意の自明でない部分群が$H$に含まれるならば、$G$は位数が素数べきの巡回群である。  &&&
&&&prf
  $g\in H^c$を任意に取る。  巡回群$\langle g\rangle$は自明な部分群で$\{e\}$ではないので$G=\langle g\rangle$である。  $\langle g\rangle$が無限巡回群ならば$\langle g^2\rangle$は$G$の自明でない部分群であるが$H$に含まれない。  これは任意の自明でない部分群が$H$に含まれることに矛盾するので$\langle g\rangle$の位数は有限。  $\langle g\rangle$が位数$n$の有限巡回群であるとする。  $n$が素数べきではないとすると、$n$は異なる素因数$p,q$を持つ。  このとき$\langle g^p\rangle$は自明でない部分群であるが、$H$に含まれないので矛盾。  以上より、$n$は素数べきなので$G=\langle g\rangle$は位数が素数の巡回群である。  

&&&

&&&def 群の作用
  $G$を群、$X$を集合とする。  写像$\phi:G\times X\ni (a,x)\rightarrow \phi(a,x)\in X$で以下を満たすものを$G$の$X$への左作用という。  ただし、$\phi(a,x)$を$ax$と表記する。  (1)$a,b\in G$に対して、$a(bx)=(ab)x$  (2)単位元$e\in G$に対して、$ex=x$  同様にして、写像$\phi:G\ni a\rightarrow xa\in X$によって$G$の$X$への右作用が定まる。  &&&
&&&ex 自明な作用
  $G$を群、$X$を集合とする。  任意の$g\in G,x\in X$に対して、$gx=x$と$G$の作用を定義する。  これは右作用かつ左作用であり、自明な作用という。  以下では特に断らない限り左作用のみを考える。  &&&
&&&def 置換表現
  $G$を位数$n$の有限群とする。  $g\in G$に対して、写像$\rho_g:X\rightarrow X$を$\rho_g(x)=gx$と定めると、これは$X$上の全単射を定める。  つまり、$\rho_g$は$X$上の置換である。  写像$\rho:G\rightarrow S_n$を$\rho(g)=\rho_g$によって定める。  この写像$\rho$を$G$の$X$上の置換表現という。  &&&
&&&def 軌道・推移的・等質空間
  群$G$が集合$X$に作用しているとする。  $x\in X$に対して集合$O(x)$を  
$
 O(x)=\{gx|g\in G\} 
$
  と定義する。  $O(x)$を$x$の$G$による軌道という。  $O(x)=X$ならば、この作用は推移的であるといい、$X$を$G$の等質空間という。  &&&
&&&def 安定化群
  群$G$が集合$X$に作用しているとする。  $x\in X$に対して集合$S(x)$を  
$
 S(x)=\{g\in G|gx=x\} 
$
  と定義する。  $S(x)$を$x$の安定化群という。  &&&
&&&def 正規化群・中心化群
  $G$を群、$H$を部分群とする。  集合$N_G(H)$を  
$
 N_G(H)=\{g\in G|gHg^{-1}=H\} 
$
  と定義し、これを$H$の正規化群という。  集合$Z_G(H)$を  
$
 Z_G(H)=\{g\in G|gh=hg( ^\forall h\in H)\} 
$
  と定義し、これを$H$の中心化群という。  特に$Z(G)=Z_G(G)$を$G$の中心という。  &&&
&&&prop 中心より小さい群で割った群が巡回群なら可換群
  $G$を群、$N\subset Z(G)$を正規部分群とする。  $G/N$が巡回群ならば、$G$は可換群である。  &&&
&&&prf
  $G/N$は巡回群なので$G/N=\langle gN\rangle$と書ける。  よって、$G$の任意の元は適当な整数$i$と$n\in N$を用いて$g^in$と書ける。  $g^in,g^jn^\prime\in G$に対して、$n,n^\prime\in Z(G)$に注意すると、  
$
 (g^in)(g^jn^\prime)=g^{i+j}n^\prime n=(g^jn^\prime)(g^in) 
$
  が成り立つので、$G$は可換群である。  
  &&&
&&&def 共役・共役類)　 ===  $G$を群とする。  $a.b\in G$に対して$b=gag^{-1}$を満たす$g\in G$が存在するならば$a\sim b$と定義すると、これは$G$上の同値関係になる。  $a\sim b$のとき、$b$は$a$に共役であるという。  この同値類を共役類と呼び、$a$を含む共役類を$C(a)$と書く。このとき、  
$
 C(a)=\{gag^{-1}|g\in G\} 
$
  ===  命題 5.9 (共役類の数と中心化群で割った数は同じ
  $G$を群とする。  任意の$a\in G$に対して、  
$
 |C(a)|=|G/Z_G(a)|=(G:Z_G(a)) 
$
  が成り立つ。  &&&
&&&prf
  写像$f:G\ni x\rightarrow gag^{-1}\in C(a)$は全射。  「$f(x)=f(y)\Leftrightarrow x,y$は$G/Z_G(a)$の同じ類に属する」を示す。  ($\Rightarrow$)  $f(x)=f(y)$なので$xax^{-1}=yay^{-1}$が成り立つ。  変形して、$y^{-1}xa(y^{-1}x)^{-1}=a$より$y^{-1}x\in Z_G(a)$なので、$x,y$は$G/Z_G(a)$の同じ類に属する。  ($\Leftarrow$)  $x,y$1は$G/Z_G(a)$の同じ類に属するので、$a=xax^{-1}=yay^{-1}$。  よって、$f(x)=f(y)$が成り立つ。  以上より、$C(a)$の元と$G/Z_G(a)$の元が全単射を持つ。  
  &&&
&&&def 類等式
  $G$を有限群とする。  $G$の相異なる共役類を$C_1,\cdots,C_n$とすると、  
$
 |G|=|C_1|+\cdots+|C_n| 
$
  が成り立つ。  この等式を類等式という。
&&&

&&&def 対称群
  集合$X_n=\{1,\cdots,n\}$から$X_n$自身への全単射をn次の置換という。  $n$次の置換全体の集合$S_n$は写像の合成を積として群になる。  $S_n$を$n$次対称群という。  $n$次対称群は位数$n!$の有限群である。  &&&
&&&def 一般線型群
  実数を成分に持つ$n$次正則行列全体の集合を$GL(n,\mathbb{R})$と書く。  これは行列の積によって群になる。  複素数を成分に持つ$n$次正則行列についても同様で、$GL(n,\mathbb{R}),GL(n,\mathbb{C})$を$n$次の一般線型群という。  &&&
&&&rem 実数・複素数以外の体について
  体について既に知っている読者に向けて説明すると、一般線型群は実数や複素数だけでなく一般の体で定義される。  これ以降に出てくる行列によって定義される群も同様である。   &&&
&&&def 特殊線型群
  
$
 SL(n,\mathbb{R})=\{A\in GL(n,\mathbb{R})|\det A=1\} 
$
  と定義すると、これは行列の積によって群になる。  複素数についても同様で、$SL(n,\mathbb{R}),SL(n,\mathbb{C})$を$n$次の特殊線型群という。  特殊線型群は一般線型群の部分群である。  &&&
&&&def 直交群
  
$
 O(n)=\{A\in GL(n,\mathbb{R})|A ^tA=E\} 
$
  と定義すると、これは行列の積によって群になる。  $O(n)$を直交群という。  直交群は一般線型群の部分群である。  &&&
&&&def 特殊直交群(回転群)
  
$
 SO(n)=\{A\in O(n)|\det A=1\} 
$
  と定義すると、これは行列の積によって群になる。  $SO(n)$を特殊直交群、あるいは回転群という。  特殊直交群は直交群の(正規)部分群である。  &&&
&&&def ユニタリ群
  
$
 U(n)=\{A\in GL(n,\mathbb{C})|A ^t\overline{A}=E\} 
$
  と定義すると、これは行列の積によって群になる。  $U(n)$を$n$次のユニタリ群という。  ユニタリ群は一般線型群の部分群である。  &&&
&&&def 特殊ユニタリ群
  
$
 SU(n)=\{A\in U(n)|\det A=1\} 
$
  と定義すると、これは行列の積によって群になる。  $SU(n)$を$n$次の特殊ユニタリ群という。  特殊ユニタリ群はユニタリ群の部分群である。  &&&
&&&def 四元数群
  
$
 Q_8=\{\pm1,\pm i,\pm j,\pm k\} 
$
  と定義する。  
$
 ij=k,\ jk=i,\ ki=j 
$
 
$
 i^2=j^2=k^2=-1 
$
  によって演算を定めると、$Q_8$は位数8の非可換群になる。  $Q_8$を四元数群という。  &&&
&&&def 二面体群
  $3\leq n\in\mathbb{N}$とする。  $P_n$を単位円に接する正$n$角形で、1つの頂点を$(1,0)$に持つものとする。  
$
 D_n=\{A\in O(2)| AP_n=P_n\} 
$
  と定義すると、これは行列の積によって群になる。  $D_n$を二面体群という。
&&&

様々な群

本稿では、群の理論についてシローの定理の理解を最終目標として基礎事項を順に解説していく。 集合論と線形代数に関する基礎的な事項を前提としているので、これらを学んでいることが好ましい。